Mittelwert vs. Median Labor

Vergleiche Mittelwert und Median an einer diskreten Datenmenge mit verschiebbarem Ausreißer oder untersuche das Anwachsen des Anteils unter dem Mittelwert bei einer Log-Normalverteilung.

Rechenbeispiel — Mittelwert vs. Median Labor

Mittelwert (Durchschnitt)	1.020,00
Median (Zentralwert)	30,00
Verhältnis Mittel/Median	34,00

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Die Meisten verdienen unterdurchschnittlich — und dafür gibt es eine Formel 🖖

Der Mittelwert ist ein Schwerpunkt: Ein einzelner großer Wert kann ihn für fast alle unerreichbar nach oben ziehen. Der Median ist ein Zählwert: Die Hälfte der Bevölkerung liegt darüber, die Hälfte darunter.

Ein Ausreißer bewegt den Mittelwert unendlich, den Median gar nicht 🖖

Zieht man an einem einzelnen Wert, steigt der Mittelwert unbegrenzt um 1/n pro Einheit. Sobald ein Wert die Mitte überschreitet, ändert eine weitere Erhöhung den Median um keinen Cent.

Welche Kennzahl richtig ist, entscheidet die Frage 🖖

Wenn du wissen willst, wie groß die verteilte Gesamtsumme ist, etwa bei einem Budget, beim Steueraufkommen oder beim Kraftstoffverbrauch, nimm das arithmetische Mittel. Willst du wissen, was eine typische Person tatsächlich erhält, nimm den Median. Keines von beiden täuscht; sie beantworten verschiedene Fragen.

Aufgaben vollständig gelöst

Wie viele verdienen unterdurchschnittlich: allein aus Mittelwert und Median 6 Schritte
Die Einkommen folgen einer Lognormalverteilung mit σ = 1,5. Berechnen Sie, welcher Anteil der Personen weniger als den Mittelwert verdient. Zeigen Sie anschließend, dass σ gar nicht nötig war — ein veröffentlichter Mittelwert und Median genügen.
1. Lognormalverteilt bedeutet, dass der Logarithmus normalverteilt ist: ln X ist N(μ, σ²). Alles Folgende ist eine Aussage über ln X, die zurückübersetzt wird, und das ist schon der ganze Trick bei dieser Aufgabe.
  
  $ln X \sim N (μ, σ^{2})$
2. Der Median ist einfach. Die Hälfte von ln X liegt unter μ, und da der Logarithmus ordnungserhaltend ist, liegt die Hälfte von X unter e^μ. Der Median ist e^μ.
  
  $median = e^{μ}, mean = e^{μ + σ^{2} /2}$
3. Der Mittelwert ist nicht e^μ, und genau diese Differenz ist das eigentliche Thema. Bei einer Lognormalverteilung lautet er e^(μ + σ²/2) — der Mittelwert liegt um den Faktor e^(σ²/2) über dem Median, was bei σ = 1,5 gleich e^1,125 = 3,0802 ist.
  
  $\frac{mean}{median} = e^{σ^{2} /2} = e^{1.125} = 3.0802$
4. Nun zum Anteil. Zu fragen, welcher Anteil weniger als den Mittelwert verdient, heißt nach P(X < e^(μ + σ²/2)) zu fragen; bildet man auf beiden Seiten den Logarithmus, wird daraus P(ln X < μ + σ²/2) — eine Frage zur Normalverteilung mit einer ganz normalen Antwort.
  
  $P (X < e^{μ + σ^{2} /2}) = P (ln X < μ + \frac{σ ^{2}}{2})$
5. Standardisieren Sie: Subtrahieren Sie μ und dividieren Sie durch σ; dabei hebt sich μ auf. Das Ergebnis ist Φ(σ/2), und bei σ = 1,5 ist das Φ(0,75) = 0,7734. 77,34 % verdienen unter dem Mittelwert.
  
  $= Φ (\frac{μ + σ ^{2} /2 - μ}{σ}) = Φ (\frac{σ}{2}) = Φ (0.75) = 0.7734$
6. μ fällt heraus; die Skala spielt also keine Rolle: Ob der Median einer Grundgesamtheit 1, 148 oder 22.026 beträgt, die Anzeige liefert stets dieselben 77,3 %. Umgekehrt gilt σ = √(2 ln(Mittelwert/Median)): Allein aus dem Verhältnis ergibt sich σ und daraus wiederum der Anteil.
  
  $σ = 2 ln (\frac{mean}{median}) \Rightarrow share = Φ (\frac{σ}{2})$
Antwort

77,34 % bei σ = 1,5. Diesen Wert kannst du allein aus dem arithmetischen Mittel und dem Median bestimmen, ohne σ oder auch nur ein einziges Individualeinkommen zu kennen. Veröffentlicht ein Land ein Durchschnittseinkommen, das dem 1,5-Fachen des Medianeinkommens entspricht, folgt daraus σ = √(2 ln 1.5) = 0,9005. Damit verdienen 67,37 % der Erwerbstätigen weniger als der Durchschnitt, ganz ohne Mikrodaten oder Zugang zu Erhebungsdaten. Auch die Debatte am Stammtisch entscheidet die Formel ein für alle Mal: Φ(σ/2) ist für jedes σ > 0 größer als 0,5. In jeder lognormalverteilten Population verdient also mehr als die Hälfte weniger als das arithmetische Mittel; je ungleicher die Verteilung wird, desto näher rückt dieser Anteil an die gesamte Bevölkerung. In dieser Verteilungsfamilie gibt es keinen Fall, in dem die Aussage „Die meisten liegen über dem Durchschnitt“ zutrifft. Anders als der Median beantwortet das arithmetische Mittel eine Frage zur Gesamtsumme: Multiplizierst du es mit der Bevölkerungszahl, erhältst du die gesamte Lohnsumme. Genau deshalb dient es als volkswirtschaftliche Messgröße und beschreibt zugleich fast niemanden in dieser Volkswirtschaft.
Fünf Haushalte, einer davon falsch, und was sich trotzdem angeben lässt 6 Schritte
Ein Dorf mit fünf Haushalten meldet Einkommen von 10, 20, 30, 40 und 5.000. Berechne Mittelwert und Median, nimm dann an, eine der fünf Zahlen sei ein Tippfehler, und entscheide, was sich trotzdem aussagen lässt.
1. Das arithmetische Mittel ist die gleichmäßig aufgeteilte Summe: 5.100 auf fünf Haushalte verteilt ergibt 1.020. Beachte, was das bedeutet, bevor du weitergehst. Der Durchschnitt ist größer als vier der fünf Zahlen, aus denen er berechnet wurde.
  
  $\overset{x}{ˉ} = \frac{10 + 20 + 30 + 40 + 5000}{5} = \frac{5100}{5} = 1020$
2. Der Median ist eine Position, keine Summe. Sortiere die fünf Werte und nimm den dritten: 30. Vier Haushalte liegen unter dem Mittelwert und zwei unter dem Median – bei denselben Daten.
  
  $x_{(1)}, \dots, x_{(5)} = 10, 20, 30, 40, 5000 ⟹ med = x_{(3)} = 30$
3. Die Anzeigekarte Verhältnis Mittel/Median zeigt 34,00. Bei symmetrischen Daten steht sie bei 1; ein Wert von 34 ist die Aussage der Seite, dass die beiden Kennzahlen aufgehört haben, dasselbe Dorf zu beschreiben.
  
  $\frac{x ˉ}{med} = \frac{1020}{30} = 34.00$
4. Zieh den fünften Wert und beobachte das Mittel. Es verschiebt sich um ein Fünftel jeder hinzugefügten Einheit, ohne Begrenzung: Von einem Ende des Schiebereglers zum anderen läuft das Mittel von 22 bis 1.020.
  
  $\frac{\partial x ˉ}{\partial x _{5}} = \frac{1}{5} = 0.2 ⟹ x_{5} : 10 \to 5000 \Rightarrow \overset{x}{ˉ} : 22 \to 1020$
5. Der Median nimmt über denselben Schiebebereich nur zwei Werte an, 20 und 30, und die Sortierung ist der Grund. Alles unter 20 lässt 20 an dritter Stelle, alles über 30 lässt 30 dort, und dazwischen ist der fünfte Wert selbst der Median. Ob der Haushalt 5.000 oder fünf Millionen verdient – der Median ist in einem Fenster der Breite zehn gefangen.
  
  $x_{5} \leq 20 \Rightarrow med = 20; 20 \leq x_{5} \leq 30 \Rightarrow med = x_{5}; x_{5} \geq 30 \Rightarrow med = 30$
6. Nun die schwierigere Fassung der Frage. Du weißt, dass eine der fünf Zahlen falsch ist, aber nicht welche. Geh alle fünf Fälle durch: Der korrigierte Median muss zwischen 20 und 40 landen, ganz gleich, was der wahre Wert war. Das korrigierte Mittel könnte jeden beliebigen Wert annehmen.
  
  $med \in [20, 40], \overset{x}{ˉ} \in (- \infty, \infty)$
Antwort

Mittelwert 1.020, Median 30. Bei einer unbekannten falschen Zahl liegt der Median nachweislich in [20, 40]; das Mittel ist überhaupt nicht bestimmbar.

Dieses Fenster ist das, was Robustheit bedeutet, sobald man sie beziffert – und es reicht weiter als ein einzelner Fehler. Zwei dieser fünf Zahlen können beliebig sein, und der Median wird trotzdem zwischen der kleinsten und der größten der drei korrekten landen; drei können es nicht, denn zwei verbleibende Werte lassen die mittlere Position frei. Der Anteil, den eine Kennzahl verkraften kann, ist ihr Bruchpunkt: eins durch n für das Mittel, was mit wachsender Stichprobe gegen null geht, und einhalb für den Median. Die Kosten sind dieselbe Tatsache andersherum gelesen. Dieses Dorf hat einen Median von 30, ob der fünfte Haushalt 5.000 oder 50 verdient; der Median kann dir also nicht verraten, dass hier jemand reich ist. Keine der beiden Kennzahlen sagt beides zugleich, und deshalb werden sie zusammen angegeben.

$ε^{*} (\overset{x}{ˉ}) = \frac{1}{n} n \to \infty 0, ε^{*} (med) \to \frac{1}{2}$

Lernpfad

Eine Zahl für Viele: Statistisches Zusammenfassen

Führt zu spread-and-deviation

Quellen (2)

Why so many real distributions are log-normal, which is what makes the mean-median gap ordinary rather than exotic Limpert, E., Stahel, W. A. and Abbt, M. (2001). Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues. BioScience, 51(5), 341–352. doi:10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2
The mean and the median as answers to different questions, and the effect of a single extreme value Freedman, D., Pisani, R. and Purves, R. (2007). Statistics (4th ed.). W. W. Norton — on the median, the mean, and which one a skewed histogram calls for.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-09-03

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Beispielaufgaben

Ein Ausreißer (5.000) - Vier Werte bei 10, 20, 30, 40 und ein Ausreißer bei 5.000. Der Mittelwert wird auf 1.020,00 gezogen, während der Median bei 30,00 stehen bleibt.
Symmetrische Menge (50) - Fünf gleichmäßig verteilte Werte (10, 20, 30, 40, 50). Mittelwert (30,00) und Median (30,00) fallen exakt zusammen.
Milde Schiefe (σ = 0,5) - In einer mäßig schiefen Population (σ = 0,50) ist der Mittelwert das 1,13-fache des Medians, und 59,9% der Population liegen unter dem Mittelwert.
Starke Schiefe (σ = 1,5) - In einer stark schiefen Population (σ = 1,50) ist der Mittelwert das 3,08-fache des Medians, und 77,3% der Population liegen unter dem Mittelwert.