Gewichtetes Mittel Labor

Lege Werte und Gewichte für jede Gruppe fest. Beobachte, wie das gewichtete Mittel als physikalischer Drehpunkt wirkt, während der einfache Durchschnitt die Gruppengrößen ignoriert.

Rechenbeispiel — Gewichtetes Mittel Labor

Gewichtetes Mittel	63,00
Durchschnitt der Durchschnitte	75,00
Abweichung des einfachen Dsch.	-12,00
Anteil der größten Gruppe	90,0 %

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Der Durchschnitt der Durchschnitte ist nicht der Durchschnitt 🖖

Mittelt man zwei Gruppen-Prozentsätze, gewichtet man beide Gruppen gleich — unabhängig davon, wie viele Personen in ihnen sind. Wenn eine Gruppe 90% der Population stellt und die andere 10%, ist die gleiche Gewichtung ein Rechenfehler.

Der Mittelwert ist ein physikalischer Drehpunkt 🖖

In der Mechanik ist der Schwerpunkt der Punkt, an dem gewichtete Abstände sich zu Null aufheben: Σ wᵢ(xᵢ − x̄) = 0. Ein Mittelwert wirkt genau als solcher Drehpunkt.

Bei zwei Gruppen übersteigt die Abweichung nie die halbe Spannweite 🖖

Ganz gleich, wie extrem das Ungleichgewicht ausfällt, bei zwei Gruppen kann der Abstand zwischen dem einfachen und dem gewichteten Mittel niemals die halbe Distanz zwischen dem kleineren und dem größeren Wert überschreiten. Sind die Gruppen gleich groß, liegt die Differenz bei null. Bei einer Aufteilung von 1/99 beträgt sie 49 % der Spannweite und erreicht die exakte Hälfte erst im Grenzwert. Nimm nun eine dritte Gruppe hinzu, und diese Schranke fällt. Teste das am besten direkt im Werkzeug, anstatt es blind zu glauben: Vier Gruppen bei 0 und eine bei 100 setzen das einfache Mittel auf 20 und das gewichtete Mittel auf knapp 100. Das entspricht einem Abstand von vier Fünfteln der Spannweite. Die Begrenzung auf die Hälfte ergab sich überhaupt nur, weil das einfache Mittel von ZWEI Zahlen exakt in deren Mitte liegt.

Aufgabe vollständig gelöst

Durchschnittliche Erhöhung für zwölf Personen mit 45.000, die 6% erhalten, und achtundvierzig mit 72.000 7 Schritte
Zwölf Personen mit einem Gehalt von 45.000 bekommen 6 % mehr. Achtundvierzig Personen mit 72.000 bekommen 2 %. Wie hoch war die durchschnittliche Erhöhung? Es gibt zwei vertretbare Antworten und eine falsche, und meistens wird ausgerechnet die falsche zitiert.
1. Die verlockende Lösung ist, einfach die beiden Prozentsätze zu mitteln. Das gibt einer Abteilung von zwölf Leuten das gleiche Gewicht wie einer von achtundvierzig – genau der Fehler, den das obige Tool aufzeigen soll. Notiere dir die Zahl trotzdem, denn 4 % ist der Wert, der am Ende in der Bekanntmachung steht.
  
  $\frac{6% + 2%}{2} = 4.00%$
2. Gewichtet man stattdessen nach der Mitarbeiterzahl, zählt jede Person genau einmal. Das ist die ehrliche Antwort auf die Frage "Was hat der durchschnittliche Angestellte bekommen?", und sie liegt bereits mehr als einen Prozentpunkt unter der verkündeten Zahl.
  
  $\frac{12 ( 6% ) + 48 ( 2% )}{12 + 48} = \frac{72 + 96}{60} = 2.80%$
3. Geld wird allerdings nicht pro Kopf bezahlt. Die zweite Abteilung ist viermal so groß und jeder dort verdient mehr, sie macht also 86 % der gesamten Lohnsumme aus. Rechne ruhig einmal aus, was jede Gruppe vor der Gehaltserhöhung tatsächlich kostet.
  
  $12 \times 45, 000 = 540, 00048 \times 72, 000 = 3, 456, 000$
4. Gewichtet man nach der Lohnsumme, erhält man den Wert, den das Budget spürt – also den Prozentsatz, um den die Gehaltskosten tatsächlich gestiegen sind. Dieser ist noch einmal niedriger, weil die höhere prozentuale Erhöhung auf den kleineren Topf entfiel.
  
  $\frac{540 , 000 ( 6% ) + 3 , 456 , 000 ( 2% )}{3 , 996 , 000} = \frac{32 , 400 + 69 , 120}{3 , 996 , 000} = 2.54%$
5. Beide Antworten sind richtig. Sie beantworten unterschiedliche Fragen, und welche man braucht, hängt davon ab, ob man Menschen oder Geld zählt. Das Geld ist in beiden Fällen dasselbe, und ihm ist es völlig egal, welcher Durchschnitt zitiert wird.
  
  $32, 400 + 69, 120 = 101, 520$
6. Nun zu dem Teil, den dir dieses Tool nicht zeigen kann. Jeder der obigen gewichteten Durchschnitte geht davon aus, dass vorher und nachher dieselben Personen da sind. Nehmen wir mal zwanzig Angestellte, zehn mit 30.000 und zehn mit 60.000 – im Schnitt also 45.000.
  
  $10 \times 30, 000 + 10 \times 60, 000 = 900, 000 \Rightarrow \overset{x}{ˉ} = 45, 000$
7. Entlässt man die zehn Geringstverdienenden und kürzt das Gehalt aller Verbleibenden um 10 %, liegt der Durchschnitt plötzlich bei 54.000. Er ist um ein Fünftel gestiegen, obwohl jeder einzelne noch Beschäftigte ein Zehntel eingebüßt hat und zehn weitere alles verloren haben. Nirgendwo wurde ein Gewichtungsfehler gemacht; die betrachtete Gruppe hat sich schlichtweg unter der Durchschnittslinie verändert. Deshalb muss die Aussage "der Durchschnittslohn ist gestiegen" immer im Zusammenhang damit gelesen werden, wer überhaupt noch gezählt wurde.
  
  $10 \times (60, 000 \times 0.9) = 540, 000 \Rightarrow \overset{x}{ˉ} = 54, 000 (+ 20%)$
Antwort

2,80 % gewichtet nach Mitarbeiterzahl, 2,54 % gewichtet nach Lohnsumme und etwa 101.500 pro Jahr an tatsächlichem Geld. Die 4 % sind die einzige Zahl, die schlichtweg falsch ist, und genau sie wird verkündet.

Lernpfad

Eine Zahl für Viele: Statistisches Zusammenfassen

Führt zu Mittelwert vs. Median den Mittelwert als physikalischen Drehpunkt, an dem Gruppengrößen als Gewichte wirken.

Quellen (2)

The weighted mean, the balance-point property, and why averaging averages misleads Freedman, D., Pisani, R. and Purves, R. (2007). Statistics (4th ed.). W. W. Norton — Part II, on averages and the pitfalls of pooling groups of unequal size.
The reversal this tool deliberately does NOT claim Simpson, E. H. (1951). The Interpretation of Interaction in Contingency Tables. Journal of the Royal Statistical Society: Series B, 13(2), 238–241.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-25

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Beispielaufgaben

10 zu 90% und 90 zu 60% - Klasse A (10 Schüler) erreicht 90%; Klasse B (90 Schüler) erreicht 60%. Der Durchschnitt von 90% und 60% beträgt 75,00%, aber das echte gewichtete Mittel liegt bei 63,00% — zwölf Punkte niedriger.
Gleiche Gruppengrößen - Bei gleichen Gruppengrößen (50 und 50) entspricht der einfache Durchschnitt (75,00%) exakt dem gewichteten Mittel (75,00%).
Gehaltserhöhung: 10% vs 2% - 10 Personen erhalten 10% Erhöhung, 90 Personen erhalten 2%. Der Durchschnitt von 10% und 2% ergibt 6,00%, aber die tatsächliche Erhöhung über alle 100 Personen beträgt 2,80%.
Extremes Verhältnis: 1 zu 99 - 1 Person erreicht 90%, 99 erreichen 60%. Das gewichtete Mittel ist 60,30%, während der einfache Durchschnitt 75,00% angibt — ein Abstand von -14,70 Punkten.