Reihenfolge der Renditen

Dieselben Renditen, nur in anderer Reihenfolge. Ohne Entnahmen kann die Reihenfolge nichts ändern. Mit Entnahmen entscheidet sie alles.

Rechenbeispiel — Reihenfolge der Renditen

Endwert, echte Reihenfolge	$4.414.533
Endwert, rückwärts	$9.790.543
Durchschnittliche Jahresrendite	10,31%
Jährliche Wachstumsrate (CAGR)	9,67%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Die Durchschnittsrendite ist nicht die Rate, mit der dein Geld wächst 🖖

Das arithmetische Mittel einer Renditereihe ist nicht die Rate, mit der dein Geld wächst — schon bevor du den ersten Cent entnimmst. Gewinne 50% und verliere dann 50%: Das Mittel ist 0%, aus einem Dollar sind aber 75 Cent geworden. Die Wachstumsrate liegt immer auf oder unter dem arithmetischen Mittel, und der Abstand beträgt annähernd die halbe Varianz — im Zeitraum ab 1966 bei 60/40 steht ein Mittel von 10,31% gegen eine Wachstumsrate von 9,67%, ein Abstand von 0,63 Prozentpunkten, wo die halbe Varianz 0,69 beträgt. Diese Bremse wirkt ganz ohne Entnahmen, und sie ist der Grund, warum die Durchschnittsrendite im Fondsprospekt die falsche Zahl zum Planen ist. Das Risiko der Renditereihenfolge legt darauf eine zweite, größere Strafe.

Dieselbe Entnahmeregel hält dreißig Jahre lang — oder sechs 🖖

Stelle das Startjahr auf 1982 und die Entnahme auf 12 % ein und das Kapital steht nach 30 Jahren immer noch. Stelle das Startjahr auf 1929 und ändere sonst nichts und es ist 1934 aufgebraucht. Derselbe Zeitraum, dieselbe 60/40-Mischung, dieselbe 3 %-Dynamik, dieselbe Regel; der einzige Unterschied ist, welche Jahre zuerst kamen. Gehe jeden 30-jährigen Start in der Historie durch und die größte Entnahme, die überlebt, reicht von 3,44 % im Jahr 1929 bis 12,10 % im Jahr 1982 — ein Faktor von dreieinhalb. Die berühmten 4 % sind keine Eigenschaft von Märkten. Es ist die Zahl, die auf den schlechtesten Start kalibriert wurde, den diese Historie zufällig enthält, was sie für jeden anderen falsch macht.

Überstehen und gut dastehen sind zwei verschiedene Fragen 🖖

Beginne 1928 und entnehme 4 % und das Feld meldet, dass das Kapital überstanden hat — mit verbleibenden 240.302 $ von einer Million. Die Entnahme hat sich bis dahin 29 Jahre lang um 3 % erhöht, sodass die letzte Entnahme 40.000 $ × 1,03²⁹ = 94.263 $ betrug: Ausgaben für zweieinhalb Jahre am Ende eines gerade abgelaufenen Plans. Der Ruheständler von 1982 unter derselben Regel endet mit 14.116.071 $. Die Anzeige nennt beide dasselbe Ergebnis, weil der Ruin der einzige Misserfolg ist, den sie definieren kann, und zwei Jahre vor dem Ruin zu landen ist nicht dasselbe Ergebnis, wie mit dem Vierzehnfachen des Startkapitals zu enden.

Aufgaben vollständig gelöst

$1.000.000 in einer 60/40-Mischung von 1966 bis 1995 ohne Entnahmen 5 Schritte
Zeigen Sie, dass die Reihenfolge von 30 Jahren Renditen das Endkapital nicht verändern kann, und messen Sie anschließend, was die Schwankungen darin dennoch kosten. Dies ist Keine Entnahmen: 1.000.000 $ in einem 60/40-Portfolio von 1966 bis 1995, ohne Entnahmen, wobei das Bedienfeld das arithmetische Mittel dieser Jahre mit 10,31 % angibt.
1. Ein Jahr multipliziert das Kapital mit 1 + r und tut weiter nichts damit. Führt man dies 30-mal aus, wird die gesamte Ruhestandsphase zu einem einzigen Produkt statt zu einem Prozess.
  
  $V_{n} = V_{0} k = 1 \prod n (1 + r_{k})$
2. Die Multiplikation ist kommutativ; die Umkehrung der Liste schreibt somit dieselben 30 Faktoren in einer anderen Reihenfolge auf und kann deren Produkt nicht verändern. Die beiden Kurven im Diagramm kreuzen sich mehrfach und landen dennoch am selben Punkt – dem Werkzeug bleibt dabei gar keine Wahl.
  
  $k = 1 \prod n (1 + r_{k}) = k = 1 \prod n (1 + r_{n + 1 - k})$
3. Multipliziert man die Faktoren aus, ver-16-facht dieser Zeitraum das Kapital nahezu.
  
  $V_{30} = 1 0^{6} \times 15.95399 = 15953990$
4. Die geometrische Wachstumsrate ist derjenige Einzelsatz, der dieses Produkt reproduziert; man zieht also die 30. Wurzel. Sie entspricht nicht dem Durchschnitt der Renditen und kann es auch gar nicht sein: Das eine basiert auf einem Produkt, das andere auf einer Summe.
  
  $g = (15.95399)^{1/30} - 1 = 0.0967 = 9.67%$
5. Stellen Sie sich nun ein Kapital vor, das in jedem einzelnen Jahr exakt die 10,31 % des Bedienfelds erzielt hat – mit demselben Mittelwert, aber völlig ohne Schwankung. Verzinsen Sie es über dieselben 30 Jahre mit Zinseszins und ziehen Sie das Ergebnis ab.
  
  $1 0^{6} \times (1.1031)^{30} = 18986571 ⟹ 18986571 - 15953990 = 3032581$
Antwort

15.953.990 $, von jedem Ende der Reihenfolge aus. Das Kapital mit konstanten 10,31 % endet stattdessen bei 18.986.571 $, sodass schwankende Renditen 3.032.581 $ kosten, ohne dass sich die Zahl eines einzigen Jahres geändert hätte – 19 % dessen, womit das Portfolio tatsächlich endet. Deshalb ist 9,67 % der ehrliche Wert und 10,31 % nicht: Ein Durchschnitt, den man nur hätte erzielen können, indem man nie von ihm abweicht, stand nie zur Verfügung. Der Verlust skaliert mit dem Quadrat der Streuung; ein Portfolio, das um denselben Mittelwert doppelt so stark schwankt, büßt daher etwa das 4-Fache ein. Die Reihenfolge kostet hier nichts. Die Volatilität war es noch nie.

$\overset{r}{ˉ} - g = 10.31% - 9.67% = 0.64%$
4 % Entnahme aus $1.000.000 in einer 60/40-Mischung von 1929 bis 1958 6 Schritte
Dieselbe Art von Reihenfolge, aber nun werden jährlich 40.000 $ entnommen. Der Zeitraum verzinst sich effektiv mit 6,58 % und Sie entnehmen 4 %, was nach reichlich Spielraum klingt. Dies ist Rentenbeginn 1929: 1.000.000 $ in einem 60/40-Portfolio von 1929 bis 1958, mit einer Entnahme im ersten Jahr von 4 % des Startkapitals, die mit den Preisen jährlich um 3 % steigt.
1. Eine Entnahmeregel legt Festbeträge fest, keinen Prozentsatz. 4 % der anfänglichen Million sind 40.000 $, und jedes spätere Jahr entnimmt dieselben 40.000 $, erhöht um zinseszinsliche 3 %. Der Stand des Kapitalkontos geht danach nie wieder in die Entnahme ein.
  
  $V_{k} = V_{k - 1} (1 + r_{k}) - W_{k}, W_{k} = 40000 \times 1.0 3^{k - 1}$
2. 1929 erzielte das Portfolio eine Rendite von -3,30 %. Zuerst verzinsen, dann subtrahieren: Das Jahreseinkommen wird von dem entnommen, was der Markt in diesem Jahr übrig gelassen hat.
  
  $V_{1} = 1 0^{6} (1 - 0.0330) - 40000 = 927000$
3. Löst man die Rekursion auf, teilt sie sich in einen Produktterm und einen Summenterm. Das Produkt gehört dem Ansparenden und bleibt unangetastet. Im Summenterm wird jede Entnahme nur mit den Jahren multipliziert, die nach ihr kommen – eine Entnahme von 1929 trägt 29 nachfolgende Faktoren, eine von 1958 keinen. Die Umkehrung der Reihenfolge lässt das Produkt unberührt und baut die Summe von Grund auf neu auf.
  
  $V_{n} = V_{0} k = 1 \prod n (1 + r_{k}) - k = 1 \sum n W_{k} j = k + 1 \prod n (1 + r_{j})$
4. Das Produkt liegt bereits vor, ohne dass man die Daten anfassen müsste. Das effektive Wachstum ist als seine 30. Wurzel definiert; man rechnet den Wert des Bedienfelds also wieder hoch.
  
  $k = 1 \prod 30 (1 + r_{k}) = (1.0658)^{30} \approx 6.767$
5. Berechnet man die Summe in beiden Richtungen: Identische Faktoren, identische Entnahmen; geändert hat sich nur, welche Faktoren hinter welcher Entnahme stehen. Vorwärts tragen die Entnahmen ein kombiniertes Gewicht von 196,47. Rückwärts 82,09.
  
  $S = k = 1 \sum 30 1.0 3^{k - 1} j = k + 1 \prod 30 (1 + r_{j}) ⟹ S_{\to} = 196.47, S_{\leftarrow} = 82.09$
6. Die Summe ist proportional zur Entnahme des ersten Jahres. Setzt man den Endwert gleich null und löst nach dieser Entnahme auf, handelt es sich um eine Umstellung, nicht um ein Ausprobieren. Dies liefert die höchste Anfangsentnahme, die die jeweilige Reihenfolge überstehen kann.
  
  $W_{1}^{*} = \frac{1 0 ^{6} \times 6.767}{196.47} = 34444 (3.44%), \frac{1 0 ^{6} \times 6.767}{82.09} = 82438 (8.24%)$
Antwort

Vorwärts ist das Kapital 1950 aufgebraucht; rückwärts enden dieselben 30 Jahre bei 3.484.161 $. Die kostendeckende Anfangsentnahme beträgt 34.444 $ in der einen und 82.438 $ in der anderen Richtung – 3,44 % gegenüber 8,24 %, ein Faktor von 2,39 allein durch die Umstellung. Dieses Verhältnis ist die entscheidende Größe für einen Ruhestandsplan, und keine der beiden Hauptkennzahlen kann sie liefern: Das Mittel von 7,63 % und das effektive Wachstum von 6,58 % sind beide so konstruiert, dass sie die Reihenfolge ignorieren. Dies widerlegt auch die Intuition, mit der diese Aufgabe begann. 4 % aus etwas zu entnehmen, das mit 6,58 % wächst, ist kein Spielraum von 2,58 Prozentpunkten, denn 4 % ist genau einmal ein Prozentsatz. Danach sind es 40.000 $ mit angehängter Inflationsdynamik. Im fünften Jahr ist diese Entnahme auf 45.020 $ angewachsen, und das vorwärts betrachtete Kapital, von dem sie abgeht, beträgt 459.742 $, während das rückwärts betrachtete Kapital an demselben Punkt bei 1.298.083 $ liegt – dieselbe Regel schlägt in der einen Reihenfolge mit 9,79 % zu Buche und in der anderen mit 3,47 %.

$\frac{8.24%}{3.44%} = 2.39$

Lernpfad

Risiko, gemessen

Führt zu Rebalancing

Quellen (4)

The withdrawal-rate question this tool is a demonstration of, tested against historical sequences rather than averages: P. L. Cooley, C. M. Hubbard and D. T. Walz, "Comparative Analysis of Retirement Portfolio Success Rates." Financial Services Review 12(2), 115–128, 2003.
Sequence-of-returns risk named and measured, which is the effect the two paths on this page differ by: A. Soni, "The Role of Annuities in Managing Sequence of Returns Risk Approaching and in Retirement." The Journal of Retirement 11(4), 26–39, 2023.
Ruin as the quantity of interest rather than a final balance — the reason this tool reports the year the pot is exhausted: D. Daraei and K. Sendova, "Determining Safe Withdrawal Rates for Post-Retirement via a Ruin-Theory Approach." Risks 12(4), 70, 2024.
And the standing objection to any single historical path, including the ones drawn here: M. E. Drew and A. Walk, "Just How Safe are ‘Safe Withdrawal Rates’ in Retirement?" Financial Planning Research Journal 1(1), 22–32, 2015.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-19

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Ruhestand ab 1929 - Ein 30-jähriger Ruhestand, der auf dem Hoch von 1929 beginnt: im ersten Jahr 4% des Startkapitals entnommen und die Entnahme danach jedes Jahr um 3% erhöht, aus einer 60/40-Mischung.
Ruhestand ab 1966 - Der Start 1966, dessen eigentlicher Schaden die Inflation war: dieselbe 60/40-Mischung und dieselbe Entnahmeregel, über einen Zeitraum, dessen Verluste früh kommen.
Ruhestand ab 2000 - Ein 25-Jahres-Zeitraum ab 2000, der mit drei aufeinanderfolgenden Verlustjahren beginnt, bevor sich überhaupt etwas erholt.
Ohne Entnahmen - Derselbe Zeitraum ab 1966 mit einer Entnahme von null, in dem beide Reihenfolgen beim identischen Wert enden müssen.