Die Effizienzlinie im Out-of-Sample-Test

Die Effizienzlinie wird aus einer Stichprobe von Renditen gezeichnet, und das Portfolio auf ihrem besten Punkt wurde gewählt, weil es in genau dieser Stichprobe am besten aussah. Halte es durch die folgenden Jahre und sieh, was davon übrig bleibt.

Rechenbeispiel — Die Effizienzlinie im Out-of-Sample-Test

Optimierer prognostizierte	0,829
Optimierer lieferte	0,494
Gleichgewichtung lieferte	0,757
Von Gleichgewichtung gewonnen	48 von 63

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Ein Optimierer kann eine Risikoprämie nicht von einer glücklichen Stichprobe unterscheiden 🖖

Passt man diese fünf Anlageklassen an 1928–1957 an, legt das Portfolio mit der besten Sharpe-Ratio 93,4% in 10-jährige Staatsanleihen. Das ist kein Urteil über Anleihen, das ist Arithmetik. Schatzwechsel zahlten in diesem Zeitraum 1,19% pro Jahr, und Anleihen schlugen sie bei einem Neuntel der Volatilität von Aktien, trugen in der Stichprobe also den höchsten Ertrag je Risikoeinheit — und genau das zu finden ist die ganze Aufgabe des Optimierers. Durch 1958–1987 gehalten — drei Jahrzehnte steigender Inflation und steigender Zinsen — erreichte es 0,029 gegenüber den 0,700, die es versprochen hatte, während die Gleichgewichtung auf 0,484 kam. Seine Rohrendite stieg dabei sogar, von 3,50% auf 6,36%, und genau deshalb ist die Rohrendite das Falsche, worauf man schauen sollte: Die Schatzwechsel stiegen noch schneller, auf 6,10%, sodass ein Portfolio, das 2,31% pro Jahr über dem Geldmarkt versprochen hatte, 0,25% lieferte, während sich seine Volatilität beinahe verdreifachte. Der Optimierer hat sich über die Vergangenheit nicht geirrt. Ihm wurde eine Frage über die Zukunft gestellt, und er hat eine Frage über die Stichprobe beantwortet, und nichts an der Methode unterscheidet die beiden.

Die drei Portfolios enden in exakt umgekehrter Reihenfolge 🖖

Auf dem Fenster, mit dem die Seite öffnet, verspricht die Tabelle eine Sharpe-Ratio von 0,829 für das optimierte Tangentialportfolio, 0,777 für Minimum-Varianz und 0,565 für Gleichgewichtung. Gehalten über die folgenden 16 Jahre liefern sie 0,494, 0,524 und 0,757: dieselben drei Portfolios in umgekehrter Reihenfolge. Die Reihenfolge ist kein Glück, sondern zeigt, wie stark jedes an die Stichprobe angepasst wurde — Tangential verwendet die geschätzten Mittelwerte und die geschätzten Kovarianzen, Minimum-Varianz verwendet nur die Kovarianzen, Gleichgewichtung keines von beiden. Gemittelt über alle 59 20-jährigen Anpassungs- und Haltefenster ist die Rangfolge dieselbe: 0,297, 0,460, 0,558.

Das Portfolio, das gebaut wurde, um ruhig zu sein, war das wilde 🖖

Minimum-Varianz versprach 5,32 % Volatilität auf diesem Fenster — niedriger als die 5,67 % des Tangentialportfolios — und lieferte 8,60 %, höher als die 7,93 % des Tangentialportfolios. Niedrigstes Versprechen, höchstes Ergebnis. Es ist nicht nur ein Fenster: Gehe jede Anpassungslänge von 10 bis 30 Jahren gegen jede Haltelänge von 5 bis 30 durch und die realisierte Volatilität des Tangentialportfolios liegt in 22.203 von 33.579 Fällen über seiner angepassten Volatilität. Ein Optimierer sucht nach der Ecke der geschätzten Kovarianzmatrix, in der das Risiko am kleinsten aussieht, und die Ecken, in denen eine Schätzung am kleinsten ist, sind genau diejenigen, in denen sie am ehesten zu klein ist.

Aufgabe vollständig gelöst

Der Mix aus US-Aktien und 10-jährigen Staatsanleihen mit der besten Sharpe-Ratio 7 Schritte
Zwei Anlagen, ein Zeitfenster: US-Aktien und 10-jährige US-Staatsanleihen, angepasst auf 1928–1976. Leiten Sie die Sharpe-optimale Mischung von Hand ab, vergleichen Sie sie mit dem Bedienfeld — und bestimmen Sie dann, wie viele der angezeigten Nachkommastellen die Daten tatsächlich stützen.
1. Klicken Sie auf Nur Aktien und Anleihen, um die Effizienzgrenze für dieses Zeitfenster anzupassen. Sechs Zahlen fließen ein und sonst nichts: die mittlere jährliche Rendite jedes Bausteins, die Volatilität jedes Bausteins, ihre Korrelation und der Geldmarktzins, der den risikofreien Zins definiert.
  
  $μ_{s} = 10.76%, μ_{b} = 3.23%, r_{f} = 2.47%, σ_{s} = 22.351%, σ_{b} = 4.2537%, ρ = - 0.0379$
2. Sharpe-Quotienten werden über dem Geldmarktzins gemessen, ziehen Sie also die Geldmarktrendite von beiden Mittelwerten ab. Aktien erzielten etwa das Elffache der Überschussrendite des Anleihebausteins. Die Kovarianz ist leicht negativ — eine kleine Zahl, die zwei Schritte weiter unten entscheidende Arbeit leistet.
  
  $e_{s} = μ_{s} - r_{f} = 8.285%, e_{b} = μ_{b} - r_{f} = 0.758%, σ_{s b} = ρ σ_{s} σ_{b} = - 0.00036058$
3. Eine Mischung, die w in Aktien hält, erzielt den gewichteten Mittelwert der beiden Überschussrenditen. Ihre Volatilität ist kein gewichteter Mittelwert: Der Kreuzterm macht die gesamte Diversifikation aus, und bei einer negativen Kovarianz wird er abgezogen.
  
  $e (w) = w e_{s} + (1 - w) e_{b}, σ (w) = w^{2} σ_{s}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{b}^{2} + 2 w (1 - w) σ_{s b}$
4. Bevor Sie der Formel vertrauen, testen Sie sie dort, wo die Antwort bereits auf der Seite steht. Setzen Sie w = ½, und die eigene Zeile Gleichgewichtung (1/N) des Werkzeugs weist 4,52% über dem Geldmarktzins bei 11,30% Volatilität aus. Beide stimmen überein, also sind die sechs Eingabewerte die richtigen sechs.
  
  $w = \frac{1}{2} : e = 4.52%, σ = 0.0127613 = 11.30%$
5. Nun maximieren Sie. Da die Sharpe-Ratio ein Quotient ist, muss ihr Maximum nicht an einem der beiden Enden liegen — und bei einer negativen Kovarianz tut es das auch nicht. Wenn man die Ableitung gleich null setzt, hebt sich die Quadratwurzel auf und es bleibt eine Formel mit denselben sechs Eingabewerten.
  
  $S (w) = \frac{e ( w )}{σ ( w )}, S^{'} (w) = 0 ⟺ w^{*} = \frac{e _{s} σ _{b}^{2} - e _{b} σ _{s b}}{e _{s} σ _{b}^{2} + e _{b} σ _{s}^{2} - ( e _{s} + e _{b} ) σ _{s b}}$
6. Setzen Sie die Werte ein. Öffnen Sie Die von jeder Methode gewählten Gewichtungen und in der Tangential-Zeile steht 27,2% Aktien, 72,8% Anleihen; die Tabelle darüber weist 6,72% prognostizierte Volatilität und eine prognostizierte Sharpe-Ratio von 0,418 aus. Ein Portfolio mit einem Viertel Aktien ist um 4,6 Prozentpunkte schwankungsärmer als der 50/50-Mix.
  
  $w^{*} = \frac{0.00015264}{0.00056096} = 0.2721 \Rightarrow 27.2% / 72.8%, σ (w^{*}) = 6.72%, S = \frac{2.81%}{6.72%} = 0.418$
7. Bewerten Sie nun die Eingabewerte, was das Werkzeug selbst nie tut. μ_s ist keine Tatsache über die Welt; es ist der Mittelwert von 49 Jahresrenditen mit einer Streuung von 22,351%, weist also einen eigenen Standardfehler auf. Setzen Sie μ_s um je einen Standardfehler nach oben und unten an und lösen Sie dieselbe Formel erneut.
  
  $SE (μ_{s}) = \frac{σ _{s}}{n} = \frac{22.351%}{49} = 3.19% \Rightarrow w^{*} \in [19.3%, 33.4%]$
Antwort

27,2% Aktien, 72,8% Anleihen — auf ein Zehntel Prozentpunkt genau gedruckt für eine Größe, die die Daten nur auf etwa ±7 Prozentpunkte festlegen. Ein einziger Standardfehler beim Aktien-Mittelwert allein lässt die optimale Gewichtung von 19,3% auf 33,4% schwanken, und das, obwohl die beiden Volatilitäten, die Korrelation und der Geldmarktzins weiterhin als exakt bekannt angenommen werden. Die Zielfunktion hilft nicht bei der Eingrenzung: Wertet man S(w) bei 24,1% und bei 30,9% aus, runden beide auf 0,417; die drei Nachkommastellen des Bedienfelds selbst können also Gewichtungen, die sieben Prozentpunkte auseinanderliegen, nicht voneinander unterscheiden. Das ist der stille Scherz der Effizienzgrenze — ihr am selbstbewusstesten aussehendes Ergebnis ist ihr am wenigsten bestimmtes. Weshalb die Gleichgewichtung, die gar nichts schätzt, hier 0,551 gegenüber den 0,440 des Optimierers lieferte.

$w^{*} = 27.2% μ_{s} \pm SE (μ_{s}) \Rightarrow w^{*} \in [19.3%, 33.4%]$

Lernpfad

Risiko, gemessen

Quellen (6)

The frontier itself, in the paper that defined it: H. Markowitz, "Portfolio Selection." The Journal of Finance 7(1), 77–91, 1952.
The result this page reproduces — across fourteen datasets, no optimised rule reliably beat equal weights out of sample: V. DeMiguel, L. Garlappi and R. Uppal, "Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy?" Review of Financial Studies 22(5), 1915–1953, 2009.
Why the optimiser behaves this way — it maximises over estimation error as readily as over return: R. O. Michaud, "The Markowitz Optimization Enigma: Is 'Optimized' Optimal?" Financial Analysts Journal 45(1), 31–42, 1989.
And how far the weights move for a small change in the estimated means, which is the mechanism behind everything above: M. J. Best and R. R. Grauer, "On the Sensitivity of Mean-Variance-Efficient Portfolios to Changes in Asset Means: Some Analytical and Computational Results." Review of Financial Studies 4(2), 315–342, 1991.
One of the standard repairs — shrink the covariance estimate rather than trust the sample one. This tool does not apply it, so the frontier shown is the raw sample frontier: O. Ledoit and M. Wolf, "Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix." The Journal of Portfolio Management 30(4), 110–119, 2004.
The older warning that a mean-variance optimum is only as meaningful as the set of assets you fed it: R. Roll, "A critique of the asset pricing theory's tests Part I: On past and potential testability of the theory." Journal of Financial Economics 4(2), 129–176, 1977.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-19

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Beispielaufgaben

Versprechen gegen Lieferung - Angepasst an 1990-2009 und gehalten durch 2010-2025: Der Wert des Portfolios mit der besten Sharpe-Ratio fällt von 0,829 auf 0,494, während die Gleichgewichtung von 0,565 auf 0,757 steigt.
Alles auf Anleihen - Angepasst an 1928-1957 legt der Optimierer 93,4% in Staatsanleihen — und erreicht 0,029 über die drei folgenden Jahrzehnte steigender Zinsen.
Als es funktionierte - Angepasst an 1970-1994 und gehalten durch 1995-2009 schlägt das optimierte Portfolio die Gleichgewichtung tatsächlich: 0,772 gegen 0,658.
Nur Aktien und Anleihen - Zwei Anlagen und eine 49-jährige Anpassung, bei der die Effizienzlinie eine einfache Kurve ist und das Tangentialportfolio 27,2% Aktien hält.