Risikoprämien und wie sicher man sein kann

Jede davon hat einen positiven Durchschnitt. Das ist nicht dasselbe wie verlässlich, und der Unterschied lässt sich messen.

Rechenbeispiel — Risikoprämien und wie sicher man sein kann

Durchschnitt pro Jahr	8,44%
Standardabweichung	19,70%
t-Statistik	4,24
Jahre mit Ertrag	66/98

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Ein Jahrhundert Daten ist eine kleine Stichprobe 🖖

Die Größenprämie erzielt über 98 Jahre im Durchschnitt 5,92% pro Jahr und war in 49 davon positiv. Ein Münzwurf, der im Mittel 5,92% zahlt, bleibt ein Münzwurf, und die Standardabweichung von 27,48% zeigt, warum: Um diesen Durchschnitt bei zwei Standardfehlern von null zu unterscheiden, bräuchte man rund 87 Jahre, und die Laufzeitprämie etwa 118 — mehr Geschichte, als die Daten enthalten. Das ist kein Argument dafür, dass Prämien erfunden wären. Es ist ein Argument dafür, dass die Zuversicht, die ihnen üblicherweise entgegengebracht wird, aus der Größe des Durchschnitts geborgt statt aus dem Umfang der Stichprobe verdient ist.

Eine größere Prämie kann die unsicherere sein 🖖

Wie viel Geschichte eine Prämie benötigt, hängt nur vom Verhältnis ihres Rauschens zu ihrer Größe ab: Platziere den Durchschnitt zwei Standardfehler von null entfernt und die Anforderung lautet n ≥ (2σ/μ)². Größe und Sicherheit sind daher getrennte Fragen, und auf dieser Historie stimmen sie nicht überein. Die Kreditprämie beträgt im Durchschnitt 2,08 % pro Jahr und benötigt etwa 39 Jahre; die Größenprämie ist mit 5,92 % im Durchschnitt fast dreimal so hoch und benötigt 87 Jahre. Gehe die vier durch und die Anforderung läuft über 22, 39, 87, 118 Jahre, während die Durchschnitte 8,44 %, 2,08 %, 5,92 %, 1,41 % betragen — dieselben vier Prämien in zwei Reihenfolgen, die nicht übereinstimmen.

Die Größenprämie war ein Phänomen der Jahre 1928–1976 🖖

Teile die Historie mit den Feldern für Start und Zeitraum in zwei Hälften. Über 1928–1976 schlugen kleine US-Unternehmen große um 10,70 % pro Jahr; über 1977–2025 betrug dieselbe Prämie 1,14 % mit einer t-Statistik von 0,42 und einer erforderlichen Stichprobengröße von 1.133 Jahren. Die Schlagzeile von 5,92 % ist der Durchschnitt einer großen ersten Hälfte und von fast nichts seitdem. Banz maß den Effekt 1981 nahe der Schnittstelle. Dieses Tool kann dir nicht sagen, ob seine Veröffentlichung die Prämie wegkonkurriert hat oder ob die erste Hälfte der Zufall war, und niemand sonst kann es — aber es kann dir sagen, dass ein 98-jähriger Durchschnitt nie eine Beschreibung beider Hälften war.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine Aktienrisikoprämie von 8,44 % und eine Standardabweichung von 19,70 % 6 Schritte
Drei Zahlen von den Karten entscheiden darüber, wie sicher die Aktienprämie ist: 8,44% pro Jahr, eine Standardabweichung von 19,70% und 98 Jahre. Leiten Sie die Gewissheit daraus ab — stellen Sie die Frage dann umgekehrt und ermitteln Sie, wie viel Historie eine Prämie dieser Form benötigen würde. Dies ist der Ausgangszustand des Werkzeugs: Aktien (S&P 500 − 3-Monats-Geldmarktpapier) über den gesamten Datensatz ab 1928.
1. Nichts Weiteres über den Markt geht im Folgenden ein. Nicht das Preisniveau, nicht die Anzahl der Crashes, nicht das Jahrzehnt, in dem Sie zufällig begonnen haben — ein Mittelwert, eine Streuung und eine Anzahl.
  
  $μ = 8.44%, σ = 19.70%, n = 98$
2. Ein einzelnes Jahr ist hochgradig unsicher; der Durchschnitt von 98 Jahren ist es nicht, und die Verbesserung entspricht genau der Quadratwurzel aus der Anzahl. Dividieren Sie, und das Feld Wie viel davon ist Messung und wie viel Rauschen weist dieselbe Zahl auf.
  
  $SE = \frac{σ}{n} = \frac{19.70%}{9.8995} = 1.99%$
3. Die t-Statistik ist dieser Durchschnitt, ausgedrückt in Einheiten seiner eigenen Unsicherheit; die Aktienprämie liegt somit vier Standardfehler weit über Null. Beachten Sie, welche Zahl die Arbeit geleistet hat: nicht, dass 8,44% groß ist, sondern dass 98 Jahre eine Schwankung von 19,70% auf 1,99% schrumpfen lassen.
  
  $t = \frac{μ}{SE} = \frac{8.44}{1.99} = 4.24$
4. Führen Sie die Rechnung nun rückwärts durch. Setzen Sie die Hürde bei zwei Standardfehlern an und lösen Sie stattdessen nach n auf; die benötigten Jahre hängen dann allein vom Verhältnis σ/μ ab. Eine größere Prämie ist also nicht automatisch sicherer: Verdoppeln Sie den Durchschnitt und die Streuung gleichzeitig, und die Anforderung verändert sich nicht. Dasselbe Feld gibt 22 aus.
  
  $t = 2 : n_{m i n} = (\frac{2 σ}{μ})^{2} = (\frac{2 \times 19.70}{8.44})^{2} = 4.668 2^{2} = 21.79 \to 22$
5. Wählen Sie Laufzeit (10-jährige Anleihe − 3-Monats-Geldmarktpapier) im Dropdown-Menü Prämie. Der Durchschnitt fällt auf 1,41% und die Streuung auf 7,63%, und die Anforderung springt auf 118 Jahre gegenüber einer Historie von 98 Jahren. Laufzeit verfehlt die Hürde nicht, weil 1,41% klein ist, sondern weil 7,63% im Vergleich dazu groß ist.
  
  $μ = 1.41%, σ = 7.63% : n_{m i n} = (\frac{2 \times 7.63}{1.41})^{2} = 10.822 7^{2} = 117.13 \to 118 > 98$
6. Hören Sie schließlich auf, nach n aufzulösen. Achtundneunzig Jahre sind keine Wahlmöglichkeit — es ist der gesamte jährliche Datensatz —; fixieren Sie diesen Wert also und lösen Sie nach dem kleinsten Durchschnitt auf, der die Hürde überwinden könnte. Bei einer aktienähnlichen Volatilität entspricht dies schlicht dem doppelten Standardfehler.
  
  $n = 98 : μ_{m i n} = \frac{2 σ}{n} = 2 SE = 2 \times 1.99% = 3.98%$
Antwort

Ein Standardfehler von 1,99%, t = 4,24 und 22 Jahre hätten gereicht — aber bei einer Streuung von 19,70% und 98 Datenjahren könnte eine Prämie von durchschnittlich unter 3,98% pro Jahr niemals von null unterschieden werden. Diese Untergrenze gehört eher zum Archiv als zur Strategie, und jede Prämie im Dropdown-Menü trägt ihre eigene Version davon: 2σ/√98 ist 5,55% für Größe, 1,54% für Laufzeit, 1,30% für Kredit. Stellt man diese neben die Durchschnittswerte, die das Werkzeug für jede ausgibt — 5,92%, 1,41%, 2,08% —, hat man alle vier Urteile bestimmt, ohne eine einzige t-Statistik zu berechnen, wobei Laufzeit die einzige ist, die unter ihrer eigenen Untergrenze liegt, und zwar um 0,13 Punkte. Warten bringt fast nichts, da die Untergrenze wie √n fällt: Zehn weitere Datenjahre verschieben die Aktien-Untergrenze von 3,98% auf 3,79%, und eine Halbierung auf 1,99% würde 392 Jahre dauern. Das Werkzeug berechnet, wie viele Jahre eine Prämie einer bestimmten Größe benötigen würde. Es berechnet niemals die kleinste Größe, die dieser Datensatz jemals aufweisen könnte — und das ist die Zahl, die im Voraus darüber entscheidet, welche Argumente über Prämien Argumente über Märkte und welche Argumente über Rauschen sind.

$n_{m i n} = (\frac{2 σ}{μ})^{2} ⟺ μ_{m i n} = \frac{2 σ}{n} = \frac{2 \times 19.70%}{9.8995} = 3.98%$

Lernpfad

Risiko, gemessen

Führt zu Effizienzlinie, gehalten die Größe des Fehlerbalkens um eine langfristige Durchschnittsrendite.

Quellen (3)

The equity premium stated as a problem rather than a fact — it is too large for standard theory to explain, which is itself a reason to hold the estimate loosely: R. Mehra and E. C. Prescott, "The equity premium: A puzzle." Journal of Monetary Economics 15(2), 145–161, 1985.
The size effect, in the paper that first measured it: R. W. Banz, "The relationship between return and market value of common stocks." Journal of Financial Economics 9(1), 3–18, 1981.
And the standing warning that a mean return is measured far less precisely than it is quoted: R. C. Merton, "On estimating the expected return on the market: An exploratory investigation." Journal of Financial Economics 8(4), 323–361, 1980.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-19

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Beispielaufgaben

Aktien, gesamter Zeitraum - Die Aktienprämie von 1928-2025: die stärkste der vier — und in einem Drittel der Jahre trotzdem negativ.
Größe, gesamter Zeitraum - Die Größenprämie über den gesamten Zeitraum — ein großer Durchschnitt, der nur in etwa der Hälfte der Jahre positiv war.
Laufzeit, gesamter Zeitraum - Die Laufzeitprämie, deren t-Statistik selbst bei 98 Jahren Daten unter 2 bleibt.
Aktien seit 1990 - Die Aktienprämie seit 1990, ein kürzerer Zeitraum und entsprechend weniger sicher.