Geladene Teilchen in einem Magnetfeld

Wähle ein Teilchen, die Spannung, die es beschleunigt hat, und die Stärke des Magnetfelds, das es durchquert. Die Seite berechnet den Kreis, auf dem es sich bewegt, wie lange ein Umlauf unter Berücksichtigung der Relativitätstheorie dauert und wie sich dieselbe Spannung und dasselbe Feld auf fünf weitere Teilchen auswirken.

Rechenbeispiel — Geladene Teilchen in einem Magnetfeld

Ruheenergie	938,272 MeV
Kinetische Energie aus der Spannung	10,00 keV
Lorentzfaktor γ	1,000011
Geschwindigkeit	1,384×10⁶ m/s
Impuls	2,315×10⁻²¹ kg·m/s
Radius der Kreisbahn	9,633 mm
Umlaufzeit ohne Relativität	43,73 ns
Umlaufzeit	43,73 ns

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Lektion

Die Theorie — Geladene Teilchen in einem Magnetfeld

Eine Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit v durch ein Magnetfeld B bewegt, spürt den magnetischen Anteil der Lorentzkraft, F = q v × B. Diese wirkt im rechten Winkel sowohl zur Geschwindigkeit als auch zum Feld und hat den Betrag qvB, wenn beide senkrecht aufeinander stehen. Eine Kraft, die stets quer zur Bewegung wirkt, verrichtet keine Arbeit. Deshalb ändert sich zwar die Richtung, nicht aber die Geschwindigkeit, und die Flugbahn bildet einen Kreis. Sein Radius beträgt r = p/(|q|B), also Impuls geteilt durch das Produkt aus Ladung und Feld. Ein Umlauf dauert T = 2πγm/(|q|B). Bei Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit entspricht γ bis auf viele Nachkommastellen genau 1. Damit enthält die Umlaufzeit überhaupt keine Geschwindigkeit mehr. Ihr Kehrwert, qB/(2πm), ist die Zyklotronfrequenz.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

q: die Ladung des Teilchens in Coulomb. Sie ist ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e = 1,602176634×10⁻¹⁹ C. Ihr Vorzeichen bestimmt die Drehrichtung
B: das Magnetfeld in Tesla, das überall auf dem Weg des Teilchens gleich stark ist
r: Radius der Kreisbahn. Er wird durch den Impuls bestimmt, nicht durch die Geschwindigkeit oder die Energie allein
T_0: die Umlaufzeit ohne Berücksichtigung der Relativitätstheorie, 2πm/(|q|B)
γ: der Lorentzfaktor, 1 + K/(mc²). Die tatsächliche Umlaufzeit beträgt γT₀

Setzt voraus: Ein homogenes, zeitlich konstantes Feld, durch das sich das Teilchen exakt quer hindurchbewegt. Jeder Anteil der Geschwindigkeit entlang der Feldlinien bliebe davon unberührt und würde aus dem Kreis eine Helix machen. Angenommen wird außerdem ein Vakuum, sodass nichts das Teilchen abbremst. Es wird davon ausgegangen, dass das Teilchen keine Strahlung abgibt, obwohl eine kreisende Ladung dies eigentlich tut. Bei der Voreinstellung für das Elektron liegt die pro Umlauf abgestrahlte Energie unter einem Millionstel Elektronenvolt. Bei einem Gigaelektronenvolt in einem starken Feld wird daraus jedoch ein spürbarer Verlust. Aus diesem Grund müssen Elektronensynchrotrons ständig neue Energie einspeisen. Die Uran-Ionen sind einfach geladene Atome. Ihre Masse entspricht der Atommasse abzüglich eines Elektrons.
Versagt, wenn: Die Relativitätstheorie ist bereits integriert, ein schnelles Teilchen bringt die Berechnungen der Seite also nicht an ihre Grenzen. Das Problem ist der Magnet. Ein reales Feld wird zu den Rändern hin schwächer. In einem Zyklotron muss es so geformt sein, dass es den Strahl fokussiert und gleichzeitig nahe an der Resonanz bleibt, genau wie in Roses Arbeit von 1938 beschrieben. In einem echten Zyklotron führt das elektrische Feld im Spalt nach jedem halben Umlauf neue Energie zu. Die reale Bahn ist daher eine Spirale aus Halbkreisen mit wachsendem Radius und kein perfekter Kreis. Zudem stoßen sich viele Ionen in einem Strahl gegenseitig ab und weiten ihn auf. Dieses Problem war bedeutsam genug, um es in den Titel von William Parkins' Bericht über das Calutron aus der Kriegszeit aufzunehmen.

Doppelt so schnell, ein doppelt so großer Kreis, dieselben 43,73 ns 🖖

Drück zuerst Proton, 10 kV und dann Proton, 40 kV. Bei vierfacher Energie verdoppelt sich die Geschwindigkeit und mit ihr der Bahnradius: von 9,633 auf 19,27 mm. Ein Umlauf dauert in beiden Fällen 43,73 ns. Die Geschwindigkeit kürzt sich heraus: Der Radius beträgt mv/(qB), die Umlaufzeit 2πr/v. Übrig bleibt 2πm/(qB), ganz ohne v. Auf dieser Kürzung beruht Ernest Lawrences und Stanley Livingstons Veröffentlichung über das Zyklotron aus dem Jahr 1932. Auch ein schnelleres Proton braucht für seinen Halbkreis nicht weniger Zeit. Deshalb kann eine feste Hochfrequenz am Spalt zwischen zwei hohlen Elektroden das Proton bei jedem Durchgang im richtigen Moment beschleunigen, während es sich auf einer immer weiteren Spiralbahn nach außen bewegt. So erzeugten Lawrence und Livingston Protonen mit 1,22 MeV in einer Röhre, an die nie mehr als 4.000 V angelegt wurden. In der Darstellung mit drei Bahnen markieren die Punkte auf jedem Umlauf jeweils ein Viertel der klassischen Umlaufzeit. Bei diesen Energien liegen die Punkte auf allen drei Kreisen auf denselben vier Speichen.

Ein 20-MeV-Proton verspätet sich um 2,132%, und eine feste Frequenz kann nicht folgen 🖖

Die genaue Umlaufzeit lautet 2πγm/(qB). Dabei wächst γ mit der Energie. Bei Proton, 20 MV gilt γ = 1,021316, sodass jeder Umlauf 44,66 ns statt 43,73 ns dauert. Die antreibende Radiofrequenz ist jedoch weiterhin auf das langsame Proton abgestimmt. Mit jedem Umlauf kommt das Teilchen etwas später am Spalt an. Diese Verzögerung summiert sich, bis es schließlich zu einem Zeitpunkt eintrifft, an dem das Feld in die falsche Richtung zeigt. Für ein Elektron ist der nutzbare Bereich winzig. Stellst du 20 kV ein, verlängert sich sein Umlauf bereits um 3,914%. Bei Elektron, 1 MV beträgt γ = 2,956951, was fast der dreifachen Zeit des langsamen Wertes entspricht. Das zweite Diagramm zeigt T ÷ T₀ für vier Teilchen. Jede Kurve steigt an, sobald die kinetische Energie einige Prozent der Ruheenergie erreicht. Bei einem Elektron entspricht dies einigen Dutzend keV, bei einem Proton einigen Dutzend MeV. M. E. Rose berechnete 1938, dass ein Zyklotron mit fester Frequenz bei 50 kV an den Elektroden und einem sorgfältig geformten Feld Protonen auf 13,9 MeV beschleunigen könnte, oder auf 14,9 MeV mit einem noch komplexeren Feld. Die Beispielrechnung weiter unten schätzt diese Obergrenze etwas grober ab und zeigt, warum sie nur mit der Quadratwurzel der Spannung ansteigt.

Uran-238 ist 1,28% schwerer und seine Bahn nur 0,638% größer 🖖

Jedes Teilchen erhält bei gleicher Spannung dieselbe Energie pro Ladungseinheit. Der Impuls eines langsamen Teilchens ist √(2mK). Bei gleicher Ladung verhält sich der Radius also wie die Quadratwurzel der Masse. Uran-235, 35 kV kreist bei 1,2145 m. In der Tabelle daneben bewegt sich Uran-238, mit 238,0502 u gegenüber 235,0434, auf einer Bahn von 1,2223 m. Das entspricht 1,28% mehr Masse und einem 1,00638-mal so großen Radius. In einem Instrument, das den Strahl über einen Halbkreis zu einem Auffänger lenkt, landen die beiden Isotope 15,5 mm voneinander entfernt. Das ist exakt die doppelte Differenz der Radien. Mehr Trennung kann ein Magnet bei diesen Einstellungen nicht leisten, und genau diese Methode nutzten die Calutrons während des Krieges zur Isolierung von Uran-235.

Aufgabe vollständig gelöst

Wie weit kann ein Zyklotron mit fester Frequenz ein Proton beschleunigen? 6 Schritte
Ein Zyklotron besitzt einen 1,5 T starken Magneten, hohle Elektroden mit 0,5 m Radius und führt einem Proton bei jedem Umlauf 100 keV zu. Berechne die nötige Radiofrequenz, die Energie eines Protons beim Erreichen des Randes und ob eine feste Frequenz es überhaupt bis dorthin bringen kann. Klick auf Proton, 10 kV, um den ersten Schritt zu überprüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Frequenz ist die Zyklotronfrequenz eines langsamen Protons, die die Seite bei 10 kV ausgibt:
  
  $f_{0} = \frac{q B}{2 π m} = \frac{1 . 602177 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 . 5}{2 π \times 1 . 672622 \times 1 0 ^{- 27}} = 22.87 MHz T_{0} = 43.73 ns$
2. Am Rand beträgt der Radius 0,5 m, der Impuls ist also qBR. Als pc geschrieben entspricht dies einer Energie:
  
  $p c = q B R c = 1.602177 \times 1 0^{- 19} \times 1.5 \times 0.5 \times 2.997925 \times 1 0^{8} J = 224.84 MeV$
3. Die kinetische Energie ist die Gesamtenergie abzüglich der Ruheenergie. Ließe man die Relativitätstheorie weg, ergäben sich 26,94 MeV und damit 1,4% zu viel:
  
  $K = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2} - m c^{2} = 224.8 4^{2} + 938.2 7^{2} - 938.27 = 26.56 MeV \frac{( p c ) ^{2}}{2 m c ^{2}} = 26.94 MeV$
4. Bei dieser Energie liegt γ bei 1,028312. Ein Umlauf am Rand dauert folglich 2,83% länger als einer in der Mitte:
  
  $γ = 1 + \frac{26 . 56}{938 . 27} = 1.028312 \Rightarrow T_{rim} = 1.028312 T_{0}$
5. Mit 100 keV pro Umlauf benötigt das Proton 266 Umläufe bis dorthin. Auf dem Umlauf k verspätet es sich um den Bruchteil γ − 1 = kΔE/mc² eines Umlaufs. Diese Verzögerung summiert sich auf 3,78 volle Zyklen der Radiofrequenz, bis es den Rand erreicht:
  
  $n = \frac{26 . 56}{0 . 1} \approx 266 k = 1 \sum n \frac{k Δ E}{m c ^{2}} = \frac{Δ E}{m c ^{2}} \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{0 . 1}{938 . 27} \times \frac{266 \times 267}{2} = 3.78$
6. Es wird nur vorwärts beschleunigt, solange das Feld im Spalt in die Flugrichtung zeigt. Das ist in der Hälfte jedes Zyklus der Fall. Folglich nimmt es keine weitere Energie auf, sobald die aufsummierte Verspätung einen halben Zyklus erreicht, was einer Phase von π entspricht:
  
  $\frac{Δ E}{m c ^{2}} \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow n (n + 1) = \frac{938 . 27}{0 . 1} = 9383 \Rightarrow n = 97, K = 9.7 MeV \approx m c^{2} Δ E = 9.69 MeV$
Antwort

Der Magnet kann ein Proton mit 26,56 MeV auf seiner Randbahn halten. Eine feste Frequenz vermag eines bei 100 keV pro Umlauf auf etwa 9,7 MeV zu beschleunigen, danach gerät das Proton aus dem Takt. Vervierfachst du die Energie pro Umlauf auf 400 keV, verdoppelt sich diese Obergrenze lediglich auf 19,2 MeV, da sie sich gemäß √(mc²·ΔE) verhält. Diese Schätzung rechnet für jeden Umlauf großzügig mit vollen 100 keV. Roses Berechnung von 1938 ging von einem speziell geformten Feld aus und erreichte 13,9 MeV bei 50 kV an den Elektroden. Dabei fand er dasselbe Quadratwurzelgesetz. Die Maschinen, die noch höhere Energien erreichten, senken die Frequenz mit zunehmender Energie des Protons. Das gleicht das γ wieder aus, das von einer festen Frequenz ignoriert wird.

$K_{m a x} \approx m c^{2} Δ E : Δ E = 100 keV \Rightarrow 9.7 MeV, Δ E = 400 keV \Rightarrow 19.2 MeV$

Quellen (3)

The cyclotron paper, and claim 1 in its authors' words: because the radii are proportional to the velocities, the time for a half circle is independent of them. It reports 1.22 MeV protons from a tube with at most 4,000 V applied: E. O. Lawrence and M. S. Livingston, "The Production of High Speed Light Ions Without the Use of High Voltages." Physical Review 40(1), 1932, pp. 19-35. DOI 10.1103/PhysRev.40.19
Why a fixed-frequency cyclotron tops out: the field has to be shaped for focusing and for resonance at once, and with 50 kV on the dees the best fields give protons of 13.9 and 14.9 MeV, with maximum energies rising as the square root of the dee voltage: M. E. Rose, "Focusing and Maximum Energy of Ions in the Cyclotron." Physical Review 53(5), 1938, pp. 392-408. DOI 10.1103/PhysRev.53.392
Separating uranium-235 from uranium-238 with magnets during the Second World War, told by one of the physicists who did it, and the beam-spreading problem that dominated the work: W. E. Parkins, "The Uranium Bomb, the Calutron, and the Space-Charge Problem." Physics Today 58(5), 2005, pp. 45-51. DOI 10.1063/1.1995747

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.