Drehimpuls

Stell dich auf einen reibungsfreien Drehtisch, nimm in jede Hand eine Hantel, dreh dich und zieh sie an dich. Stell die Drehfrequenz, die Hanteln, das Trägheitsmoment deines eigenen Körpers und den Radius der Hände ein. Die Seite integriert die Bewegung live, zeigt, was konstant bleibt und was nicht, und summiert die Arbeit deiner Arme.

Rechenbeispiel — Drehimpuls

Trägheitsmoment, Hände außen	3,600 kg·m²
Trägheitsmoment, Hände innen	1,200 kg·m²
Drehimpuls, durchgehend konstant	22,62 kg·m²/s
Drehfrequenz, Hände innen	3,000 rev/s
Kinetische Energie, Hände außen	71,06 J
Kinetische Energie, Hände innen	213,18 J
Gewonnene kinetische Energie	142,12 J

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Drehimpuls

Der Drehimpuls eines Körpers, der sich um eine feste Achse dreht, ist L = Iω, sein Trägheitsmoment bezüglich dieser Achse mal seine Winkelgeschwindigkeit. Das Trägheitsmoment summiert jedes Massenstück mal dem Quadrat seines Abstands zur Achse auf, sodass eine Hantel, deren Schwerpunkt bei r liegt, m r² + I_own beiträgt, der Satz von Steiner; für zwei Scheiben im Abstand d zu beiden Seiten der Hand ist I_own = m d². Ohne äußeres Drehmoment um die Achse kann sich L nicht ändern, also gilt I_out ω_out = I_in ω_in, während sich die kinetische Energie ½ I ω² = L²/2I um die Arbeit ändert, die die Arme verrichten.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

I: Trägheitsmoment um die Achse des Drehtischs, kg·m²
ω: Winkelgeschwindigkeit in rad/s; die Seite gibt f = ω/2π in U/s an
L: Drehimpuls um die Achse, Iω, in kg·m²/s
I_b: das eigene Trägheitsmoment von Körper und Drehtisch, das sich durch das Heranziehen nicht ändert
d: die halbe Länge der Hantelstange, 0,1 m: ihre Scheiben sitzen im Abstand d auf beiden Seiten der Hand

Setzt voraus: Ein Drehtisch ohne Reibung im Lager und nichts anderes, das den Körper berührt, sodass kein Drehmoment um die Achse wirkt. Die Arme haben keine Masse; echte Arme, jeder einige Kilogramm schwer, würden zum Trägheitsmoment mit ausgestreckten Händen und zum Zuwachs beitragen. Jede Hantel besteht aus zwei punktförmigen Scheiben an einer leichten Stange, die waagerecht und quer zum Arm gehalten wird, und das Trägheitsmoment des Körpers selbst bleibt konstant, unabhängig davon, was die Arme tun. Die gezählte Arbeit ist die der Zugkraft mω²r, die die Hanteln auf ihren Kreisbahnen hält; die geringe Energie ihrer Ein- und Auswärtsbewegung ist an beiden Enden null und wird weggelassen.

Zieh die Hanteln heran und die kinetische Energie verdreifacht sich 🖖

Klicke auf Heranziehen, 2 kg und beobachte die zwei Pfeile an der Achse. L behält seine Länge, während sich die Drehzahl von 1 auf 3,000 U/s verdreifacht. Von außen wirkt kein Drehmoment auf die Achse, also muss L = Iω erhalten bleiben, während das Trägheitsmoment von 3,600 auf 1,200 kg·m² sinkt. Die kinetische Energie ½Iω² = L²/2I ist nicht auf diese Weise geschützt und steigt um denselben Faktor von 71,06 J auf 213,18 J an. Diese zusätzliche Energie hat eine Quelle. Damit die zwei Hanteln auf dem Radius r weiterkreisen, müssen die Hände sie mit 2mω²r nach innen ziehen. Das Heranziehen entlang dieser Zugkraft verrichtet Arbeit: die schattierte Fläche unter der Kurve im zweiten Diagramm. Die Ergebnistabelle summiert dies über tausend Streifen auf und kommt auf 142,12 J, was exakt dem Energiezuwachs bis zur letzten angezeigten Ziffer entspricht. Schiebst du die Hände wieder nach außen, verrichtet dieselbe Zugkraft stattdessen Arbeit an den Armen, und die Drehzahl fällt auf 1 U/s zurück.

Hände viermal so nah, aber nur die dreifache Drehfrequenz 🖖

Wären die Hanteln alles, als Punktmassen in den Händen, würde dich L = 2mr²ω beim Heranziehen von 0,8 m auf 0,2 m sechzehnmal schneller drehen lassen. Die Seite sagt 3,000. Das meiste, was sich dreht, bewegt sich nicht, wenn du anziehst. Dein Körper und der Drehtisch behalten ihre 1 kg·m², und jede Hantel behält den Teil ihres Trägheitsmoments, der zu ihrer eigenen Größe gehört, md² nach dem Satz von Steiner, egal wie nah du sie heranholst. Es gibt also eine Obergrenze: Mit beiden Hanteln auf der Achse ergibt die Zeile unter der Drehfrequenz 3,462 U/s, und kein noch so starkes Ziehen kommt darüber hinaus. Schwerere Hanteln machen einen größeren Anteil dessen aus, was sich dreht. Schwerer, 10 kg vervielfacht die Drehfrequenz um 7,000, aber ausgehend von nur einer Viertelumdrehung pro Sekunde müssen die Hände am Ende bereits 483,6 N halten.

Ganz ohne Drehimpuls kannst du dich trotzdem umdrehen 🖖

Klick auf Armschlag aus der Ruhe. L ist von Anfang bis Ende null, und jeder Schlag dreht den Körper dennoch um 25,00°. Schwinge die Arme um 45° mit ausgestreckten Händen, und der Körper dreht sich 32,50° in die andere Richtung, da die Hanteln 2,600 der 3,600 kg·m² ausmachen, die sich drehen. Zieh sie heran und schwinge zurück, und der Körper kommt nur 7,50° zurück, weil sie jetzt 0,200 von 1,200 sind. Die Arme enden dort, wo sie begonnen haben, relativ zum Körper; der Körper nicht. Ein Drehimpuls von null verbietet eine Drehung, die andauert: Zwischen den Schwingungen steht der Körper still, und Armschlag, Hände außen bringt ihn auf 0,00° zurück. Eine Katze, die kopfüber aus der Ruhe fallen gelassen wird, hat ebenfalls keinen Drehimpuls und landet auf ihren Pfoten. Thomas Kane und M. P. Scher veröffentlichten 1969 eine dynamische Erklärung dafür und 1970 eine Studie darüber, wie ein Mensch sich durch Bewegen seiner Gliedmaßen umdrehen kann.

Aufgabe vollständig gelöst

Wo auf dem Weg ist die Zugkraft am stärksten? 4 Schritte
Die 2-kg-Hanteln werden von 0,8 m auf 0,2 m bei L = 22,62 kg·m²/s herangezogen. Die Zugkraft, die die beiden Hände halten, beträgt am Anfang 126,3 N und am Ende 284,2 N. Ist sie am Ende am stärksten? Wenn nicht, wo, und wie stark? Klick auf Heranziehen, 2 kg, um den ersten Schritt zu überprüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Hände halten die Hanteln mit 2mω²r auf ihrer Kreisbahn, und ω = L/I(r), also hängt die Zugkraft nur von r ab:
  
  $F (r) = 2 m (\frac{L}{I ( r )})^{2} r = \frac{2 \times 2 \times 22 . 6 2 ^{2} r}{( 1 . 04 + 4 r ^{2} ) ^{2}} F (0.8) = 126.3 N, F (0.2) = 284.2 N$
2. Die Zeile für 0,30 m in der Tabelle liegt mit 313,2 N über beiden Enden, also befindet sich die größte Zugkraft irgendwo dazwischen. Setze die Ableitung von r/I² null, mit I′ = 4mr:
  
  $\frac{d}{d r} \frac{r}{I ^{2}} = \frac{I - 2 r I ^{'}}{I ^{3}} = \frac{I - 8 m r ^{2}}{I ^{3}} = 0 \Rightarrow I = 8 m r^{2}$
3. Schreibe I aus und löse nach r auf:
  
  $I_{b} + 2 m d^{2} + 2 m r^{2} = 8 m r^{2} \Rightarrow r^{* 2} = \frac{I _{b} + 2 m d ^{2}}{6 m} = \frac{1 . 04}{12} = 0.08667 \Rightarrow r^{*} = 0.2944 m$
4. Setze r* wieder in I und in die Zugkraft ein:
  
  $I (r^{*}) = 8 \times 2 \times 0.08667 = 1.3867 kg m^{2} F (r^{*}) = \frac{4 \times 22 . 6 2 ^{2} \times 0 . 2944}{1 . 386 7 ^{2}} = 313.3 N$
Antwort

Die Zugkraft ist am stärksten, wenn die Hände 0,2944 m von der Achse entfernt sind: 313,3 N auf die beiden Hände, 156,7 N auf jede, in etwa das Gewicht einer Masse von 16 kg. Weiter innen steigt die Drehung zwar noch an, aber r fällt schneller, als ω² wächst, und die letzten 9 cm erfordern weniger Zugkraft.

$r^{*} = 0.2944 m : F_{m a x} = 313.3 N = 2 \times 156.7 N (\approx 16 kg a hand)$

Lernpfad

Rotation und Drehimpuls

Quellen (3)

Conservation of angular momentum when the moment of inertia changes, and the skater's kinetic energy rising by I/I′ because of the work she does pulling her arms in, the page's first two claims: W. Moebs, S. J. Ling and J. Sanny, University Physics Volume 1, OpenStax, Houston, 2016. Section 11.3, "Conservation of Angular Momentum".
The falling cat, which turns over with no angular momentum, given a dynamical explanation: T. R. Kane and M. P. Scher, "A dynamical explanation of the falling cat phenomenon", International Journal of Solids and Structures 5(7), 663–670, 1969.
A person turning themselves round by moving their limbs, the page's third claim in a human body: T. R. Kane and M. P. Scher, "Human self-rotation by means of limb movements", Journal of Biomechanics 3(1), 39–49, 1970.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.