Coriolis-Effekt und Foucaultsches Pendel

Wähle einen Breitengrad. Die Seite lässt Foucaults Pendel über einem Boden schwingen, der sich mit der Erde mitdreht, live integriert, in einem Zeitraffer, den du bestimmst. Darunter überquert ein Ball ein sich drehendes Karussell, gesehen vom Boden und vom Karussell aus, und ein Stein fällt einen Minenschacht hinab. Jeder Wert wird aus der Erddrehung Ω berechnet.

Rechenbeispiel — Coriolis-Effekt und Foucaultsches Pendel

Wie schnell sich die Ebene gegen den Boden dreht	11,32°/h
Zeit für eine volle Umdrehung der Ebene	31,79 h
Wie weit sie sich in 24 Stunden dreht	271,76°
Eine Schwingung, hin und zurück	6,65 s
Dasselbe, in Vielfachen von g	1,12×10⁻⁶ g
Fallzeit für die Schachttiefe, ohne Luft	5,686 s
Wo der Stein landet: östlich des Lots um	28,85 mm

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Coriolis-Effekt und Foucaultsches Pendel

Die Coriolisbeschleunigung ist der Term −2Ω × v, der auftritt, wenn Bewegung aus einem rotierenden Bezugssystem mit der Winkelgeschwindigkeit Ω, hier dem Boden, beschrieben wird. Sie steht im rechten Winkel zur Geschwindigkeit. Sie ändert also die Richtung eines Körpers und nie seine Geschwindigkeit, und keine Kraft verursacht sie. Für Bewegungen auf dem Boden zählt nur der Anteil der Erddrehung um die lokale Senkrechte, Ω sin φ: Er dreht die Ebene eines Foucaultschen Pendels mit dieser Rate und liefert den Coriolisparameter f = 2Ω sin φ. Der Anteil entlang des Bodens, Ω cos φ, drückt senkrechte Bewegungen nach Osten oder Westen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

Ω: die Erddrehung, 7,292115×10⁻⁵ rad/s: eine Umdrehung gegen den Sternenhimmel in 23,93 h
φ: Breitengrad, negativ südlich des Äquators
f: Coriolisparameter, 2Ω sin φ: die seitliche Beschleunigung eines Körpers, der sich über den Boden bewegt, pro Meter pro Sekunde seiner Geschwindigkeit
Ro: Rossby-Zahl U/(fL): die Beschleunigung, die eine Bewegung von sich aus hat, im Verhältnis zu ihrer Coriolisbeschleunigung

Setzt voraus: Kleine Schwingungen, sodass die Pendelbewegung aus zwei Schwingungen im rechten Winkel besteht. Der zentrifugale Anteil der Erddrehung ist in g eingefaltet. Dieser Vektor zeigt entlang des Lots, und g = 9,80665 m/s² gilt überall. Der Stein fällt im Vakuum. Das Karussell ist flach und reibungsfrei, also schiebt nichts den Ball an, sobald er gerollt wurde.
Versagt, wenn: Ein echtes Pendel, dessen Schwingung sich zu einer leichten Ellipse geöffnet hat, präzediert von selbst, mit einer Rate, die mit der Breite der Ellipse wächst. Deshalb ließ Foucault sein Pendelgewicht los, indem er den Faden durchbrannte, der es zur Seite hielt. So gab er ihm keinen seitlichen Schubs. Luft bremst einen fallenden Ball: Reichs Ball brauchte etwa 6,01 s für den Fall, gegenüber 5,69 s im Vakuum. Über Hunderte von Kilometern ändert sich f mit dem Breitengrad, den diese Seite als konstant annimmt.

In Paris braucht die Ebene 31,79 Stunden für eine Umdrehung, nicht 24 🖖

Klick auf Pariser Observatorium, 1851 und lass es mit einer Stunde pro Sekunde laufen. Nichts dreht die Schwingung um die Senkrechte. Der Boden dreht sich unter ihr, und ein Boden dreht sich nur mit dem Anteil der Erddrehung, der auf seiner eigenen Senkrechten liegt: beim Breitengrad φ ist das Ω sin φ. Am Nordpol ist das alles, und die Ebene dreht sich einmal in 23,93 h, wobei sie mit der gestrichelten Einmal-am-Tag-Linie Schritt hält. Bei 48,836° N sind es 11,32°/h statt 15,04°/h. Eine volle Umdrehung braucht also 31,79 h, und nach 24 Stunden hat die Ebene erst 271,76° zurückgelegt. Léon Foucault sagte genau das in seiner Notiz, die am 3. Februar 1851 in den Comptes rendus gedruckt wurde: Er gab das Sinusgesetz an und berichtete, dass die Ebene in „unseren Breitengraden“ in vierundzwanzig Stunden keine ganze Umdrehung vollführt. Am Äquator dreht sich der Boden überhaupt nicht um die Senkrechte, und die Ebene bleibt dort, wo sie losgelassen wurde, solange das Pendelgewicht schwingt. Südlich davon dreht sich der Boden in die andere Richtung, und Sydney ergibt 8,38°/h gegen den Uhrzeigersinn.

Gemessen an ihrer eigenen Bewegung spürt Wasser in einem Waschbecken mehr Coriolisbeschleunigung als Foucaults 11 m langes Pendel 🖖

Beim 11 m langen Pendel in Paris übersteigt die seitliche Corioliskraft nie das 1/8.600-fache der Kraft, die das Pendelgewicht schwingen lässt. Wasser, das ein Becken mit 0,1 m/s überquert, bekommt eine Coriolisbeschleunigung von 1,12×10⁻⁶ g und weicht auf seinem Weg über 0,2 m um 0,022 mm zur Seite ab. Verglichen mit der Eigenbewegung des Wassers ist das eine Rossby-Zahl von 4.550, neben den 8.600 des Pendels in der Tabelle unten. Was die beiden trennt, ist alles andere. Nichts außer der Erde dreht die Schwingungsebene eines Pendels. Deshalb fügt jede Schwingung dieselbe winzige Drehung hinzu, und eine Stunde summiert sich auf 11,32°. Wasser in einem Becken behält jeden Wirbel, mit dem es eingegossen wurde, und das Abfließen konzentriert ihn, so wie ein Eisläufer sich schneller dreht, wenn er die Arme anzieht. Das Einfüllen, ein Luftzug oder eine warme Wand entscheiden also lange vor der Erde. Im Jahr 1962 ließ Ascher Shapiro am MIT einen Tank gegen den Uhrzeigersinn abfließen, indem er ihn mit einem Wirbel im Uhrzeigersinn füllte, ihn abdeckte, die Raumtemperatur konstant hielt und 24 Stunden wartete. Der Schwimmer über dem Abfluss begann sich erst nach 12 bis 15 Minuten eines 20-minütigen Abflussvorgangs zu drehen. Ein Wettersystem von 1.000 km Durchmesser, das sich mit 10 m/s bewegt, sitzt am anderen Ende der Tabelle mit einer Rossby-Zahl von 0,0911, und dort hat die Rotation das Sagen.

Ein Stein, der in einen Minenschacht fällt, landet im Osten, nicht im Westen 🖖

Wenn sich der Boden unter einem fallenden Stein wegdrehen würde, landete einer, der 158,5407 m über dem Grund eines Schachts in Freiberg losgelassen wird, 1,67 km weiter westlich. Das ist die Strecke, die der Boden dort in den 5,686 s des Falls nach Osten wandert. Klick auf Freiberger Schacht, 1831: Er landet 27,65 mm weiter östlich. Der Stein bewegte sich mit der Oberkante des Schachts, als er losgelassen wurde, und die Oberkante ist weiter von der Erdachse entfernt als der Grund. Deshalb startet er mit etwas mehr Geschwindigkeit nach Osten als der Boden, auf den er fällt. Vom drehenden Boden aus beschrieben ist das die Coriolisbeschleunigung, 2Ω cos φ mal die Abwärtsgeschwindigkeit des Steins, und sie zeigt in beiden Hemisphären nach Osten. Zwischen dem 19. August und Anfang September 1831 ließ Ferdinand Reich 106 Kugeln den Drei-Brüder-Schacht hinabfallen, eine mittlere Fallhöhe von 158,5407 m bei 50°53′22,81″ N, und maß 28,396 mm nach Osten. Er maß auch 4,374 mm nach Süden und traute dem Wert nicht. Jeder Term nach Süden in der Theorie liegt in der Größenordnung von Ω²ht², hier etwa 0,03 mm. Der Stein reagiert auf den Anteil der Erddrehung entlang des Bodens, Ω cos φ, genau umgekehrt wie das Pendel: nichts am Pol, am meisten am Äquator.

Aufgabe vollständig gelöst

Schieße einen Ball direkt den Schacht hinauf: Wo kommt er herunter? 5 Schritte
In Freiberg wird ein Ball vom Grund des Reichschen Schachts gerade nach oben geschossen, gerade schnell genug, um die Oberkante 158,5407 m weiter oben zu erreichen, und fällt wieder zurück. Wo landet er im Verhältnis zu seinem Abschusspunkt? Klick auf Freiberger Schacht, 1831, um den ersten Schritt zu überprüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Der Stein auf dieser Seite, der von oben fallengelassen wird, fällt 5,686 s lang und landet 27,65 mm weiter östlich. Der Ball sieht denselben Breitengrad und dasselbe g:
  
  $t = \frac{2 h}{g} = \frac{2 \times 158 . 5407}{9 . 80665} = 5.686 s, x = \frac{1}{3} g Ω t^{3} cos φ = 27.65 mm east$
2. Um 158,5407 m aufzusteigen, muss er mit v₀ = √(2gh) starten, und er ist für 2v₀/g in der Luft:
  
  $v_{0} = 2 g h = 2 \times 9.80665 \times 158.5407 = 55.76 m/s, T = \frac{2 v _{0}}{g} = 11.37 s$
3. Im rotierenden Bezugssystem ist die Coriolisbeschleunigung −2Ω × v. Ihr östlicher Anteil ist −2Ω cos φ mal der Aufwärtsgeschwindigkeit, v₀ − gt: nach Westen auf dem Weg nach oben, nach Osten auf dem Weg nach unten.
  
  $a_{E} = - 2Ω cos φ (v_{0} - g t)$
4. Einmal integriert ergibt das die seitliche Geschwindigkeit. Am höchsten Punkt, t = v₀/g, treibt der Ball mit Ω cos φ v₀²/g nach Westen. Der Weg nach unten dauert genau so lange. Sein Schub nach Osten bringt diese Geschwindigkeit genau bei der Landung auf null zurück, ohne den Ball zurückzubringen.
  
  $v_{E} (t) = - 2Ω cos φ (v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}) : v_{E} (\frac{v _{0}}{g}) = - \frac{Ω cos φ v _{0}^{2}}{g} = - 14.59 mm/s, v_{E} (\frac{2 v _{0}}{g}) = 0$
5. Noch einmal über den gesamten Flug integriert, T = 2v₀/g:
  
  $x_{E} (T) = - 2Ω cos φ (\frac{1}{2} v_{0} T^{2} - \frac{1}{6} g T^{3}) = - \frac{4}{3} Ω cos φ \frac{v _{0}^{3}}{g ^{2}} = - 110.58 mm$
Antwort

Er landet 110,58 mm westlich von seinem Abschusspunkt, viermal so weit, wie der fallengelassene Stein nach Osten landet, und ohne verbleibende seitliche Geschwindigkeit. Das Verhältnis ist in jeder Höhe und auf jedem Breitengrad exakt 4, da beide Entfernungen sich wie Ω cos φ h^3/2/√g verhalten.

$x_{E} = - 110.58 mm = - 4 \times 27.646 mm (west)$

Lernpfad

Rotation und Drehimpuls

Quellen (3)

Foucault's own announcement: the pendulum's plane turns against the floor at the Earth's rotation times the sine of the latitude, so that at Paris it does not make a whole turn in twenty-four hours; first a 2 m pendulum in a cellar, then 11 m in the Meridian Room of the Paris Observatory: L. Foucault, "Démonstration physique du mouvement de rotation de la terre au moyen du pendule." Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 32 (1851), 135–138.
The eastward fall measured: 106 balls dropped down the Drei-Brüder-Schacht at Freiberg in August and September 1831, a mean fall of 158.5407 m at 50°53′22.81″ N, landing 28.396 mm east (and 4.374 mm south, which Reich doubted), against his own computed 27.512 mm: F. Reich, Fallversuche über die Umdrehung der Erde, angestellt auf hohe oberbergamtliche Anordnung in dem Drei-Brüderschachte bei Freiberg. Freiberg: J. G. Engelhardt, 1832, pp. 46–47.
A sink's drain direction is set by how it was filled, unless everything else is removed: Shapiro filled a tank with a clockwise swirl, covered it, kept the room's temperature steady, let it settle for 24 hours, and saw it drain counterclockwise: A. H. Shapiro, "Bath-Tub Vortex." Nature 196 (1962), 1080–1081. doi:10.1038/1961080b0

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.