Paralleltransport auf einer Kugel

Zeichne eine Schleife auf eine Kugel und führe einen Pfeil an ihr entlang, sodass er immer in dieselbe Richtung zeigt. Die Seite zeigt, wo er ankommt, wie weit das vom Startpunkt entfernt ist und wie die Drehung mit der eingeschlossenen Fläche zusammenhängt.

Rechenbeispiel — Paralleltransport auf einer Kugel

Seiten, als Mittelpunktswinkel	90,00°, 90,00°, 90,00°
Winkel bei A	90,00°
Winkel bei B	90,00°
Winkel bei C	90,00°
Die drei Winkel zusammen	270,00°
Winkelüberschuss	90,00°
Flächenanteil der Kugel	0,1250
Eingeschlossene Fläche	1,5708 R²

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Lektion

Die Theorie — Paralleltransport auf einer Kugel

Paralleltransport führt einen Pfeil entlang eines Weges auf einer Fläche, ohne ihn zu drehen: Bei jedem Schritt bleibt der Pfeil in der Fläche und ändert sich nur so weit, wie die Fläche es erzwingt. Führst du einen Pfeil auf einem flachen Blatt um eine beliebige geschlossene Schleife, kehrt er so zurück, wie er losgezogen ist. Auf einer gekrümmten Fläche kann er gedreht zurückkehren. Diese Drehung entspricht der über die Fläche innerhalb der Schleife aufsummierten Krümmung, abzüglich ganzer Umdrehungen. Auf einer Kugel mit dem Radius R sind das Fläche/R² im Bogenmaß, was für ein Dreieck aus Großkreisbögen sein Winkelexzess A + B + C − 180° ist.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

E: der Winkelüberschuss eines Dreiecks, A + B + C − 180°; im Bogenmaß entspricht er der eingeschlossenen Fläche in Einheiten von R²
R: der Radius der Kugel; hier für die Erde 6.371,0088 km
φ: der Breitengrad des Kreises, um den der Pfeil geführt wird

Nie gedreht, und doch kommt der Pfeil um 90° abweichend zurück 🖖

Klick auf Drei rechte Winkel. Das Dreieck verläuft vom Nordpol hinunter zum Äquator, ein Viertel um ihn herum und wieder hinauf zum Pol, und alle drei seiner Winkel betragen 90°. Beobachte nun den orangefarbenen Pfeil. Entlang jeder Seite behält er denselben Winkel zur Seite bei, was auf einer gekrümmten Fläche alles ist, was „nicht drehen“ bedeuten kann, und an jeder Ecke bewegt er sich überhaupt nicht. Er erreicht den Pol wieder um 90° gegen den Uhrzeigersinn gedreht gegenüber dem gestrichelten Pfeil, als der er gestartet ist. Die Anzeige verrät, wo die 90° geblieben sind. Jemand, der das Dreieck abläuft, dreht sich an jeder Ecke um 90°, insgesamt also um 270°, und ein geschlossener Weg auf Papier dreht sich um exakt 360°. Die fehlenden 90° sind die Drehung des Pfeils, und sie entsprechen auch der Fläche des Dreiecks: π/2 in Einheiten von R², ein Achtel der Kugel.

Nur die Fläche zählt, und Foucaults Paris ist fast ein Achtel der Kugel 🖖

Klick auf Gleiche Fläche, rund: ein Breitenkreis bei 48,59° N, wo sin φ = 3/4 gilt. Die Kappe darüber ist also ein Achtel der Kugel, genau wie der Oktant. Ein Kreis hat keine Ecken und auch sonst nichts mit diesem Dreieck gemeinsam, und der Pfeil kehrt um dieselben 90° gedreht zurück. Die Drehung hängt ausschließlich von der umschlossenen Fläche ab: 720° mal dem eingeschlossenen Anteil der Kugel, abzüglich ganzer Umdrehungen, und das zweite Diagramm ordnet jede Schleife auf einer einzigen Linie an. Klick auf Paris, 48,836° N, die geografische Breite des Foucaultschen Pendels in Corioliseffekt und Foucaultsches Pendel: der Pfeil kehrt um 88,98° gegen den Uhrzeigersinn gedreht zurück. Das Pendel ist dieser Pfeil. In einem Sterntag trägt die Erde seine Schwingung einmal um den Breitenkreis, nichts verdreht es, und gegenüber dem sich drehenden Boden fällt es um 360° − 88,98° = 271,02° im Uhrzeigersinn zurück. Das entspricht den 11,32° pro Stunde, die diese Seite für Paris angibt. Bei 30° N nimmt die Kappe ein Viertel der Kugel ein, und der Pfeil kehrt genau umgekehrt zurück.

Eine Ameise kann den Radius ihrer Welt bestimmen, ohne sie zu verlassen 🖖

Die Drehung geteilt durch die Fläche ist für jede Schleife auf einer Kugel gleich, die weniger als deren Hälfte umfasst. Sie beträgt 1/R²: Dieses Verhältnis ist die Krümmung. Klick auf London, Tokio, Los Angeles. Auf der Erde bedeckt das Dreieck 47.696.300 km² und dreht den Pfeil um 67,33°, was 1,17508 Radiant entspricht, und √(47.696.300 / 1,17508) ergibt 6.371,0 km: den Erdradius, ermittelt aus zwei Messungen auf der Oberfläche. Um das zu sehen, brauchst du eine große Schleife. Halbiere die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks, und sobald es klein ist, fällt die Drehung auf ein Viertel (die Tabelle: 4,059, 4,015, 4,004). Ein Dreieck mit 100 km langen Seiten dreht den Pfeil also um 22,0 Bogensekunden. Vermesser berücksichtigen genau das seit Legendre: Jeder Winkel eines kleinen sphärischen Dreiecks ist um fast genau ein Drittel des Exzesses größer als beim ebenen Dreieck mit denselben Seiten.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Dreieck, dessen Winkel sich zu 181° addieren 4 Schritte
Auf der Erde hat ein gleichseitiges Dreieck aus Großkreisbögen Winkel, die sich zu exakt 181° addieren. Wie viel Fläche bedeckt es, und wie lang sind seine Seiten? Klick zuerst auf Drei rechte Winkel: Dort beträgt der Überschuss 90° und die Seite gibt die Fläche auf der Erde an.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Beim Oktanten ist der Überschuss eine Vierteldrehung, und die Fläche ist dieser Überschuss in Radiant, multipliziert mit R²:
  
  $E = 27 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 90.0 0^{\circ} = \frac{π}{2}, A = \frac{π}{2} R^{2} = 63, 758, 235 km^{2}$
2. Ein Überschuss von 1° ist π/180 Radiant, also ergibt sich die Fläche sofort, unabhängig von der Form des Dreiecks:
  
  $A = \frac{π}{180} \times 6371.008 8^{2} = 708, 424.8 km^{2}$
3. Für die Seiten nutzen wir die Tatsache, dass das Dreieck gleichseitig ist. Jeder Winkel beträgt 181°/3, und der Kosinussatz für ein sphärisches Dreieck mit drei gleichen Seiten s vereinfacht sich zu cos A = cos s / (1 + cos s), was umgestellt cos s ergibt:
  
  $A = \frac{18 1 ^{\circ}}{3} = 60.333 3^{\circ}, cos s = \frac{cos A}{1 - cos A} = \frac{0 . 49495324}{0 . 50504676} = 0.9800147 \Rightarrow s = 11.474 1^{\circ}$
4. und die Seite in Kilometern ist dieser Winkel in Radiant multipliziert mit R:
  
  $s = 11.474 1^{\circ} \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} \times 6371.0088 km = 1, 275.9 km$
Antwort

708.425 km², mit Seiten von 1.275,9 km. Ein flaches Dreieck mit denselben drei Seiten hätte Winkel von exakt 60° und eine Fläche von etwa 704.900 km², also 0,50 % weniger. Ein ganzer Grad Überschuss erfordert ein Dreieck von der Größe eines großen Landes: Halbiert man seine Seiten, sinkt der Überschuss auf 0,249°, etwa ein Viertel. Das ist der Grund, warum sich die Winkel eines auf einem Feld abgeschrittenen Dreiecks zu 180° addieren, soweit es ein Winkelmesser beurteilen kann.

$A = 708, 425 km^{2}, s = 1, 275.9 km$

Lernpfad

Geometrie auf einer gekrümmten Fläche

Quellen (2)

The turn of a parallel-transported vector round a circle of latitude, 2π(1 − sin φ), equal to the area of the cap it bounds on the unit sphere; the Foucault pendulum as that transport, with Paris turning about 271° against the ground in a sidereal day; and, for a geodesic triangle, the curvature inside equal to the angle sum minus π: O. Stoytchev, "From Foucault's Pendulum to the Gauss–Bonnet Theorem", arXiv:1701.01666 [math.HO] (2017).
The area of a spherical triangle, (A + B + C − π)r², proved from lunes; the law of cosines the results table uses for the angles; and Legendre's theorem, that each angle of a small spherical triangle exceeds the flat triangle's with the same sides by a third of the excess, with its use in measuring the Earth: I. Todhunter, Spherical Trigonometry for the Use of Colleges and Schools, 5th edition, Macmillan, 1886, Arts. 96–97 and 106–108 (Project Gutenberg ebook 19770).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.