Winkeljagd

finde den markierten Winkel, mit einer benannten Regel pro Schritt

Rechenbeispiel — Winkeljagd

Schritte in der Kette	2
Verwendete Regeln	2
Festgelegt	5 / 6
Andere Wege zu diesem Winkel	6, mit 1 bis 3 Schritten
Gegeben	30°

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Winkeljagd

Eine Winkeljagd ist die Übung, einen unmarkierten Winkel in einer Figur zu finden. Dabei wendest du Schritt für Schritt bekannte Regeln auf bereits gefundene Winkel an. Die Regeln stammen aus dem kleinen, festen Repertoire deines Geometriekurses. Jede einzelne davon ist eine lineare Gleichung mit unbekannten Winkeln: Die Winkelsumme eines Dreiecks lautet a + b + c = 180, Scheitelwinkel bedeuten a = b, und so fort. Deshalb führt das Auflösen von Gleichungen bei einer Winkeljagd immer ans Ziel. Die wirklich interessante Frage ist also nicht, wie groß der Winkel ist. Spannend ist vielmehr, ob dir die Figur genug verrät, um ihn überhaupt zu finden, und wie viele Schritte du dann noch gehen musst.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

180°: die Innenwinkelsumme jedes Dreiecks und der Winkel auf einer Seite einer Geraden
360°: die Winkel um einen Punkt
rank: wie viele der unbekannten Winkel in der Figur durch die Vorgaben und Regeln tatsächlich festgelegt werden

Setzt voraus: Eine ebene Figur, die widerspruchsfrei gezeichnet ist. Jede Figur hier wird konstruiert, indem zuerst ihre Winkel gewählt und dann die Koordinaten umgesetzt werden. Sie kann also nicht versehentlich unmöglich sein – eine Garantie, die handgezeichnete Figuren im Schulbuch nicht mitbringen.

Du kannst die Frage beantworten, ohne dass die Figur komplett gelöst ist 🖖

Klick auf Ein Schritt und lies die Karte mit der Aufschrift Festgelegt. Dort steht 4 von 6. Die Figur enthält sechs unbekannte Winkel. Deine Angaben nageln zusammen mit den Regeln vier davon fest. Zwei bleiben frei: Die Transversale könnte BC in einem ganzen Bereich schneiden, ohne dass sich an deinen Vorgaben etwas ändert. Der Winkel, nach dem du gefragt wurdest, steht jedoch ohnehin fest. Es lohnt sich, diese Lücke auszuhalten. Festzustecken fühlt sich nämlich in beiden Fällen identisch an. Wer ∠ADB nicht finden kann, dem fehlt ein Schritt. Wer ∠BAD nicht finden kann, dem fehlt gar nichts, weil dieser Winkel hier keinen berechenbaren Wert hat. Die Unbekannten gegen das aufzurechnen, was die Regeln festlegen, trennt beides in einem einzigen Satz. Das beantwortet eine Frage, die reines Suchen nie klärt: ob es überhaupt eine Lösung gibt.

Neun Regeln, und die Wiederholung einer einzigen macht eine Jagd lang 🖖

Jede Kette, die dieses Werkzeug erzeugt, baut auf neun Regeln auf: der Winkelsumme im Dreieck und im Viereck, Nebenwinkeln, Scheitelwinkeln, dem Vollwinkel, den gleichen Basiswinkeln im gleichschenkligen Dreieck, Wechsel- und Stufenwinkeln an Parallelen sowie dem Zusammensetzen geteilter Winkel. Bei sieben der acht Figuren verwendet ein Lösungsweg fast nie eine der Regeln doppelt. Das Viereck tut dies nie. Bei der Kreuzung geschieht es in 0,0 % der Fälle, beim dreiteiligen Dreieck in 4,7 %. Dann gibt es die Treppe, bei der 30,1 % der Wege eine Regel dreimal oder öfter benötigen. Sie ist auch die einzige Figur, die acht Schritte erreicht. Diese beiden Tatsachen sind eigentlich ein und dieselbe: Die Figur wird lang durch ständige Wiederholung, indem sie einen Wert von einem Ende des Pfades zum anderen trägt, Wechselwinkel, dann Nebenwinkel, Biegung für Biegung. Die Länge entsteht durch Distanz, nicht durch Schwierigkeit.

Eine lange Winkeljagd liegt meist an der Aufgabe, nicht an dir 🖖

Klick ein paarmal auf Anderes Rätsel, ohne die Figur zu berühren. Der gesuchte Winkel bleibt oft gleich. Es ändert sich nur, welche Winkel dir vorgegeben wurden. Bei der Treppe lässt sich ∠A0A1A2 auf 32 verschiedene Arten berechnen. Der kürzeste Weg erfordert einen Schritt, der längste acht. Selbe Figur, selber Winkel, gleiches Ergebnis von 30°. Bei allen acht Figuren hier lassen sich 63,0% der Winkel auf Lösungswegen berechnen, die sich um zwei oder mehr Schritte unterscheiden, und 32,8% um drei oder mehr. Wenn sich ein Rechenweg also in die Länge zieht, liegt das meist an den vorgegebenen Winkeln und nicht an deinem Vorgehen. Die Karte Andere Wege zu diesem Winkel zeigt dir beide Zahlen für die jeweilige Bildschirmansicht an. Deshalb lohnt es sich, deinen Rechenweg mit dem anderer zu vergleichen, ohne dich zu verunsichern: Zwei korrekte Lösungswege von sehr unterschiedlicher Länge sind der Normalfall.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Schritt oder acht für denselben Winkel 5 Schritte
In der Treppenfigur ist ∠A0A1A2 genau 30°. Bestimme ihn zweimal: einmal mit den Winkeln, die es dir leicht machen, und einmal mit denen, die das Gegenteil tun. Überlege dann, was dieser Unterschied in Wahrheit aussagt. Wähle Treppe zwischen Parallelen und drücke auf Anderes Rätsel, bis die Frage nach ∠A0A1A2 sucht.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Antwort hängt von all dem nicht ab. In dieser Figur misst ∠A0A1A2 immer 30°. Dieser Wert gilt unabhängig von den jeweiligen Vorgaben. Die Zeichnung entstand nämlich, bevor die Frage überhaupt gestellt wurde.
  
  $∠ A_{0} A_{1} A_{2} = 3 0^{\circ}$
2. Das ist der einfache Weg. Liefert dir die Aufgabe die beiden benachbarten Winkel bei A1, besteht die gesamte Winkeljagd aus einer einzigen Subtraktion an einer Geraden. Die drei Winkel bei A1 unterhalb der unteren Parallele ergeben zusammen 180°, und zwei davon sind bekannt.
  
  $from ∠ N A_{1} A_{0} = 3 0^{\circ} and ∠ A_{2} A_{1} M = 12 0^{\circ} : 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$
3. Nun der schwierige Weg zum selben Winkel. Du erhältst je einen Winkel bei A0, bei A2 und bei A3. Bei A1 ist dagegen nichts gegeben. Jeder von ihnen muss entlang des Pfades wandern, um A1 zu erreichen. Das dauert acht Schritte, von denen drei zwischen den Parallelen wechseln.
  
  $from ∠ A_{1} A_{0} R, ∠ A_{3} A_{2} A_{1}, ∠ A_{2} A_{3} M : eight steps, three of them across the parallels$
4. Keiner der beiden Wege ist klüger als der andere. Sie unterscheiden sich nur darin, welche Winkel die Aufgabe für dich markiert hat. Diese Figur bietet 32 verschiedene Startbedingungen für dasselbe Ziel. Der kürzeste Weg braucht einen Schritt. Der längste acht.
  
  $what the question handed you both angles at A_{1} one angle at each of A_{0}, A_{2}, A_{3} steps 18$
5. Diese Spannweite ist nicht ungewöhnlich. Bei allen acht Figuren hier lassen sich 63,0% der Winkel auf Lösungswegen berechnen, die sich um zwei oder mehr Schritte unterscheiden, und 32,8% um drei oder mehr.
  
  $32 ways in, 1 \leq steps \leq 8$
Antwort

Die Länge einer Winkeljagd ist eine Eigenschaft der Aufgabe und nicht der Person, die sie löst. Das solltest du aus einem ganz praktischen Grund wissen: Zieht sich eine Berechnung in die Länge, überprüfst du am besten zuerst, ob ein anderer Winkel in der Figur leichter zu erreichen ist. Gehe nicht sofort davon aus, eine Abkürzung übersehen zu haben. Das erklärt auch, warum zwei richtige Lösungswege von völlig unterschiedlicher Länge der Normalfall sind und kein Zeichen für einen Fehler. Und genau deshalb ist die Arbeit eines Prüfers, der den Rechenweg statt des Endergebnisses bewertet, die deutlich anspruchsvollere Aufgabe.

$same figure, same angle, same 3 0^{\circ}$

Quellen (3)

The angle sum, which is the rule every chain on this page leans on hardest: Euclid, Elements, Book I, Proposition 32. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
Vertical angles, the rule that is the only bridge between the two halves of the crossing: Euclid, Elements, Book I, Proposition 15. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
The equal base angles, which is where the chase stops and the algebra starts: Euclid, Elements, Book I, Proposition 5 (the pons asinorum). D. E. Joyce (ed.), Clark University.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.