Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen

← Mathematik

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Zwei Werkzeuge, sonst nichts: ein Lineal, das eine Gerade durch zwei Punkte zeichnet, und ein Zirkel, der einen Kreis um einen Punkt durch einen anderen schlägt. Spiele die klassischen Konstruktionen Schritt für Schritt ab, prüfe, welche regelmäßigen Vielecke und Winkeldreiteilungen möglich sind, oder konstruiere selbst. Die Tabelle unter der Zeichnung berechnet die Längen und zeigt die zugehörige Algebra.

Interaktive Simulation wird geladen...

Lektion

Die Theorie — Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Eine Konstruktion verwendet zwei Operationen: Zeichne die Gerade durch zwei bereits konstruierte Punkte oder den Kreis um einen konstruierten Punkt durch einen anderen. An den Schnittpunkten von Geraden und Kreisen entstehen neue Punkte. Eine Länge heißt konstruierbar, wenn sie sich durch eine endliche Folge solcher Schritte erzeugen lässt. Ausgehend von einer Einheitsstrecke sind genau die Längen konstruierbar, die sich mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln gewinnen lassen. Eine Zahl, für die eine Kubikwurzel oder etwas anderes nötig ist, kann daher nicht konstruiert werden.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

n
die Seitenzahl eines regelmäßigen Vielecks
φ(n)
die Eulersche Phi-Funktion, also die Anzahl der ganzen Zahlen von 1 bis n, die mit n außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben
F_k
eine Fermat-Primzahl, 2^(2^k) + 1. Bekannt sind nur 3, 5, 17, 257 und 65537
cos θ
die Länge, mit der sich ein Winkel θ konstruieren lässt. Den Winkel oder diese Zahl zu konstruieren ist dasselbe Problem
deg
der Grad von cos(360°/n) über den rationalen Zahlen, φ(n) ÷ 2. Das n-Eck ist genau dann konstruierbar, wenn dieser Grad eine Potenz von 2 ist

Gauß konstruierte mit 18 das 17-Eck; das 7-Eck wird nie gelingen 🖖

Drück auf Das 17-Eck und sieh dir die Konstruktion an: Hier werden 41 Kreise und 30 Geraden gezeichnet, und die Abstände der siebzehn Eckpunkte stimmen bis auf fünfzehn Dezimalstellen überein. Carl Friedrich Gauß entdeckte 1796 mit achtzehn Jahren, dass die Konstruktion möglich ist. Angeblich wünschte er sich ein 17-Eck auf seinem Grabstein. Er zeigte: Ein regelmäßiges n-Eck lässt sich konstruieren, wenn n das Produkt aus einer Potenz von 2 und verschiedenen Fermat-Primzahlen ist; bekannt sind 3, 5, 17, 257 und 65537. Pierre Wantzel bewies 1837, dass keine anderen Werte von n möglich sind. Drück auf Warum kein 7-Eck?. Sieben ist zwar eine Primzahl, aber keine Fermat-Primzahl. Die eingeklappte Tabelle führt alle n von 3 bis 100 auf: Nur 24 davon sind konstruierbar. Auch das 9-Eck scheitert, weil der Faktor 3 zweimal vorkommt.

90° lassen sich in fünf Schritten dritteln, 60° niemals 🖖

Drück auf 90° dritteln: 30° ist ein Winkel des gleichseitigen Dreiecks, und fünf Konstruktionsschritte teilen den rechten Winkel in drei gleiche Teile. Drück nun auf 60° dritteln. Ein Drittel davon sind 20°, und cos 20° ist eine Nullstelle des kubischen Polynoms 8c³ − 6c − 1 = 0. Mit Zirkel und Lineal lassen sich nur Längen erzeugen, die durch die vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln erreichbar sind. Eine kubische Gleichung mit rationalen Koeffizienten, aber ohne rationale Nullstelle, besitzt keine mit Quadratwurzeln erreichbare Lösung. Die Tabelle prüft alle acht rationalen Kandidaten; keiner erfüllt die Gleichung. Wantzel veröffentlichte diesen Beweis in derselben Arbeit von 1837 und löste damit ein Problem, das seit zweitausend Jahren offen war. Unter den Winkeln dieser Seite, also den ganzzahligen Vielfachen von 3°, ist ein Winkel genau dann dreiteilbar, wenn er ein Vielfaches von 9° ist.

Ein Zirkel, der seine Öffnung vergisst, verliert nichts 🖖

Euklids drittes Postulat erlaubt nur, einen Kreis um einen Punkt durch einen anderen zu zeichnen. Der Zirkel fällt, wie man heute sagt, beim Anheben zusammen und kann daher keine Länge von einem Ort an einen anderen übertragen. Das wirkt wie eine schwere Einschränkung. Seine zweite Proposition zeigt jedoch, dass sich jede Länge trotzdem kopieren lässt, wenn man einige zusätzliche Kreise und Geraden zeichnet. Öffne Winkel übertragen und wechsle zwischen dem starren und dem zusammenfallenden Zirkel. In dieser Aufzeichnung benötigt der starre Zirkel 3 Kreise und 1 Gerade, der zusammenfallende dagegen 11 Kreise und 5 Geraden. Das Ergebnis ist dasselbe. Was sich mit dem einen Zirkel konstruieren lässt, gelingt auch mit dem anderen. Der vergessliche Zirkel macht die Konstruktionen lediglich länger.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Woher cos 72° im Fünfeck kommt 5 Schritte

    Mit der Konstruktion auf dieser Seite wird ein regelmäßiges Fünfeck in einen Kreis mit Radius 1 einbeschrieben: Bestimme den Mittelpunkt M des Radius OH₂, zeichne den Kreis um M durch A, den höchsten Punkt des Kreises, und nenne seinen Schnittpunkt mit dem Durchmesser N. Berechne die Länge ON, cos 72° und die Seitenlänge des Fünfecks. Drück zum Prüfen auf Regelmäßiges Fünfeck.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    1. M ist der Mittelpunkt eines Radius, also gilt:

    2. A liegt am höchsten Punkt des Kreises und bildet mit H₂ einen rechten Winkel. Nach dem Satz des Pythagoras gilt für MA:

    3. N liegt auf dem Kreis um M durch A, daher ist MN = MA. Außerdem liegt N auf der von O abgewandten Seite:

    4. ON ist die Seitenlänge des regelmäßigen Zehnecks. Ihre Hälfte ist der Kosinus des Mittelpunktswinkels im Fünfeck:

    5. Die Fünfeckseite AN ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks OAN:

    Antwort

    ON = 0,6180, cos 72° = 0,3090 = (√5 − 1) ÷ 4, und die Seitenlänge des Fünfecks beträgt 1,1756, also 2 sin 36°. In jedem Schritt wurden nur ein Kreis, eine Gerade und eine Quadratwurzel verwendet. Genau deshalb ist das Fünfeck konstruierbar: Für seinen Kosinus braucht man lediglich √5.

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.