Die Euler-Gerade und die Dreieckszentren

Zieh an einem beliebigen Eckpunkt. Drei der vier Zentren verlassen die rote Gerade nie. Das vierte landet nur dann auf ihr, wenn das Dreieck gleichschenklig ist.

Rechenbeispiel — Die Euler-Gerade und die Dreieckszentren

Schwerpunkt G	(2,667, 1,667)
Umkreismittelpunkt O	(3,000, 1,700)
Höhenschnittpunkt H	(2,000, 1,600)
Inkreismittelpunkt I	(2,491, 1,687)
HG : GO	2,000
I abseits der Geraden	0,0372

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Lektion

Die Theorie — Die Euler-Gerade und die Dreieckszentren

Ein Dreieckszentrum ist ein Punkt, der durch das Dreieck selbst bestimmt wird, nicht durch das Papier, auf dem es gezeichnet ist. Wenn du das Dreieck verschiebst, drehst oder skalierst, wandert der Punkt mit. Vier dieser Zentren sind klassisch. Jedes von ihnen markiert den Treffpunkt einer ganz bestimmten Familie von drei Linien. Die Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt. Die Mittelsenkrechten der Seiten treffen sich im Umkreismittelpunkt, die Höhen im Höhenschnittpunkt und die Winkelhalbierenden im Inkreismittelpunkt. Dass sich diese drei Linien in jedem der vier Fälle überhaupt in einem einzigen Punkt treffen, ist für sich genommen bereits ein Theorem.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

G: der Schwerpunkt, der Durchschnitt der drei Eckpunkte, auf dem das Dreieck perfekt balancieren würde
O: der Umkreismittelpunkt, von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt, weshalb er das Zentrum des Kreises ist, der durch sie verläuft
H: der Höhenschnittpunkt, an dem sich die drei Höhen treffen. Er ist das einzige der vier Zentren ohne eigenen Kreis
I: der Inkreismittelpunkt, von allen drei Seiten gleich weit entfernt. Er ist der einzige, der immer im Inneren bleibt

Versagt, wenn: Beim gleichseitigen Dreieck. Das ist der einzige Fall, über den diese Seite nichts zu sagen hat. Alle vier Zentren fallen im selben Punkt zusammen. Jede Linie durch diesen Punkt enthält sie alle, und die Euler-Gerade ist keine definierte Gerade mehr. Die Seite gibt dort „überhaupt keine Gerade“ aus, anstatt willkürlich eine festzulegen.

Drei Konstruktionen ohne Gemeinsamkeiten, und eine Gerade 🖖

Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten. Der Höhenschnittpunkt entsteht dort, wo sich die drei Höhen kreuzen. Das sind drei unterschiedliche Geradenfamilien, und keine dieser drei Definitionen erwähnt auch nur eine der anderen.

Zieh einen Eckpunkt, wohin du möchtest. Die drei Punkte bewegen sich, bleiben aber stets auf einer einzigen Geraden.

Der Schwerpunkt liegt immer zwischen den beiden anderen und nimmt stets dieselbe Position ein. HG ist exakt doppelt so lang wie GO. In der Zeile HG : GO steht 2,000, ganz egal, wie du ziehst. Euler fand das 1763 heraus. Seine Abhandlung erschien 1767, und seitdem trägt die Gerade seinen Namen.

Der Inkreismittelpunkt gesellt sich nur bei zwei gleich langen Seiten dazu 🖖

Das vierte Zentrum entsteht dort, wo sich die Winkelhalbierenden schneiden. Es befindet sich als einziges immer im Inneren des Dreiecks. Aus diesem Grund kann hier ein Kreis eingeschrieben werden. Genau durch diesen Punkt verläuft die Euler-Gerade nicht.

Meistens jedenfalls. Das untere Diagramm stellt den Abstand des Inkreismittelpunkts zur Geraden dar, während der ausgewählte Eckpunkt zur Seite gleitet. Beim Startdreieck dieser Seite berührt die Kurve fünfmal die Null. Bei jeder dieser Berührungen hat das Dreieck zwei gleich lange Seiten. In einem Fall sitzt C genau über dem Mittelpunkt von AB. In zwei Fällen ist CA angewachsen, bis sie AB entspricht. In den anderen beiden Fällen ist es CB.

Das ist schon die ganze Bedingung. Ein gleichschenkliges Dreieck besitzt eine Symmetrieachse. Jedes Zentrum muss darauf liegen. Und diese Achse ist die Euler-Gerade.

Bei exakt 90° landet ein Zentrum auf einer Seite und ein anderes auf einer Ecke 🖖

Ein spitzwinkliges Dreieck behält alle vier Zentren in seinem Inneren. Schieb einen Winkel über 90° hinaus, und zwei von ihnen verlassen es gemeinsam. Der Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt treten auf gegenüberliegenden Seiten aus.

Der Moment dazwischen lohnt sich für einen Zwischenstopp. Klick auf Rechter Winkel. In der Zeile Umkreismittelpunkt O steht (2,000; 1,500). Das ist der Mittelpunkt der Hypotenuse von (4; 0) nach (0; 3). Die Zeile Höhenschnittpunkt H zeigt (0,000; 0,000), also den rechtwinkligen Eckpunkt selbst. Eines auf einer Seite, eines auf einer Ecke. Beide befinden sich im selben Moment exakt auf dem Rand.

Der Inkreismittelpunkt tritt nie nach draußen. Ein Kreis, der in das Dreieck passen soll, kann seinen Mittelpunkt nirgendwo anders haben.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine Gerade, die niemand gezeichnet hat 6 Schritte
Ein Dreieck hat die Eckpunkte A = (0; 0), B = (6; 0) und C = (2; 5). Bestimme den Schwerpunkt, den Umkreismittelpunkt und den Höhenschnittpunkt aus ihren eigenen Definitionen. Zeige, dass die drei Punkte kollinear sind. Finde das Verhältnis, in dem der Schwerpunkt die Strecke zwischen den beiden anderen teilt.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Zuerst der Schwerpunkt, denn für ihn brauchst du keine Geometrie. Die Seitenhalbierenden treffen sich im Durchschnitt der Eckpunkte. Also ist G = ((0 + 6 + 2)/3; (0 + 0 + 5)/3) = (8/3; 5/3). Die Zeile Schwerpunkt G zeigt (2,667; 1,667).
  
  $G = \frac{A + B + C}{3} = (\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 0 + 5}{3}) = (\frac{8}{3}, \frac{5}{3})$
2. Der Umkreismittelpunkt ist der Punkt, der von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt ist. Der gleiche Abstand zu A und B setzt ihn auf x = 3, die Mittelsenkrechte einer horizontalen Strecke. Der gleiche Abstand zu A und C liefert 3² + y² = (3 − 2)² + (y − 5)². Das y² kürzt sich auf beiden Seiten weg: 9 = 1 + 25 − 10y, also 10y = 17 und y = 1,7. O = (3; 1,7), und die Zeile Umkreismittelpunkt O stimmt damit überein.
  
  $3^{2} + y^{2} = (3 - 2)^{2} + (y - 5)^{2} \Rightarrow 9 = 26 - 10 y \Rightarrow y = 1.7, O = (3, 1.7)$
3. Der Höhenschnittpunkt benötigt zwei Höhen und keinerlei Ergebnisse aus Schritt 2. Die Höhe von A steht senkrecht auf BC. Deren Richtung ist C − B = (−4; 5). Jeder Punkt darauf erfüllt somit −4x + 5y = 0. Die Höhe von B steht senkrecht auf AC mit der Richtung (2; 5) und verläuft durch (6; 0). Das ergibt 2(x − 6) + 5y = 0. Setzt man y = 4x/5 in die zweite Gleichung ein, erhält man 2x − 12 + 4x = 0. Also ist x = 2 und y = 1,6. H = (2; 1,6).
  
  $- 4 x + 5 y = 0, 2 (x - 6) + 5 y = 0 \Rightarrow 6 x = 12 \Rightarrow H = (2, 1.6)$
4. Bleibt noch die Behauptung. Von O aus ist der Schritt zu G (8/3 − 3; 5/3 − 17/10) = (−1/3; −1/30). Der Schritt zu H ist (2 − 3; 1,6 − 1,7) = (−1; −1/10). Zwei Vektoren sind parallel, wenn ihr Kreuzprodukt null ergibt: (−1/3)(−1/10) − (−1/30)(−1) = 1/30 − 1/30 = 0. Es verschwindet exakt. Alles in Brüchen, völlig ohne Rundung.
  
  $(G - O) = (- \frac{1}{3}, - \frac{1}{30}), (H - O) = (- 1, - \frac{1}{10}), (- \frac{1}{3}) (- \frac{1}{10}) - (- \frac{1}{30}) (- 1) = 0$
5. Der zweite Vektor entspricht genau dem 3-Fachen des ersten. H ist also 3-mal so weit von O entfernt wie G, und G liegt exakt dazwischen. Dadurch entfallen 2 Teile auf HG und 1 Teil auf GO. In Längen ausgedrückt: GO = √(1/9 + 1/900) = √101/30 = 0,334996 und HG = √(4/9 + 1/225) = √101/15 = 0,669992. Die Zeile HG : GO zeigt 2,000. Die √101 kürzt sich sauber weg, anstatt durch Rundung verloren zu gehen.
  
  $GO = \frac{101}{30}, H G = \frac{101}{15}, \frac{H G}{GO} = 2$
6. Das vierte Zentrum schließt sich nicht an. Mit a = |BC| = √41, b = |CA| = √29 und c = |AB| = 6 liegt der Inkreismittelpunkt bei (aA + bB + cC)/(a + b + c) = (2,491; 1,687). Die Zeile I abseits der Geraden zeigt 0,0372. Das ist ein kleiner Wert, der nicht null ist. Zieh C auf x = 3, und er wird zu 0,0000, weil das Dreieck dann gleichschenklig ist.
  
  $I = \frac{a A + b B + c C}{a + b + c}, a = 41, b = 29, c = 6 \Rightarrow I = (2.491, 1.687)$
Antwort

Exakt 2. Das gilt für absolut jedes Dreieck, das du zeichnen kannst. Der Schwerpunkt liegt nicht einfach irgendwo auf der Strecke vom Höhenschnittpunkt zum Umkreismittelpunkt. Er befindet sich immer genau bei zwei Dritteln der Strecke. Das Tool kann dir allerdings nicht zeigen, warum das so ist. Das Ziehen eines Eckpunkts liefert nur Belege, aber keinen Beweis. Der kürzeste Beweis legt den Ursprung in den Umkreismittelpunkt, sodass |A| = |B| = |C| = R. Dann betrachtet man den einzigen Punkt P = A + B + C. Es folgt P − A = B + C, und (B + C)·(C − B) = |C|² − |B|² = 0. P liegt also auf der Höhe von A. Die gleichen zwei Zeilen setzen ihn auf die beiden anderen Höhen, wodurch P zum Höhenschnittpunkt wird. Der Schwerpunkt ist P/3, also exakt ein Drittel des Weges vom Ursprung zu P. Und dieser Ursprung war genau der Umkreismittelpunkt.

$H - O = 3 (G - O) ⟹ \frac{H G}{GO} = 2$

Quellen (3)

The paper the line is named after, in which Euler works out all four centres in coordinates and then notices that three of them are collinear: L. Euler, "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum." Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 11 (for 1765), printed 1767, pp. 103–123. Euler Archive E325; reprinted in Opera Omnia I.26, pp. 139–157.
The nine-point circle, the fifth point this page draws and the one with the longest list of claimants: K. W. Feuerbach, Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks. Wiessner, Nürnberg, 1822.
A modern textbook treatment of the four centres and the line, at the level this page is pitched: H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry Revisited. Mathematical Association of America, New Mathematical Library 19, 1967, chapter 1.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.