Goldener Schnitt & Fibonacci-Spirale

Die Fibonacci-Rekursion ersetzt ein Verhältnis immer wieder durch 1 plus seinen Kehrwert: F(n)/F(n-1) = 1 + F(n-2)/F(n-1). Sobald sich dieses Verhältnis bei x stabilisiert, muss x = 1 + 1/x gelten, also x² = x + 1, und die positive Lösung ist phi. Die Spirale ist ein geometrisches Bild derselben Selbstähnlichkeit: Jedes größere Quadrat enthält das vorherige Rechteck plus ein neues Quadrat.

Beobachte das Balkendiagramm: aufeinanderfolgende Fibonacci-Verhältnisse liegen abwechselnd knapp über und knapp unter φ, und der Abstand schrumpft mit jedem Schritt. Bei 21/13 = 1.615 bist du schon weniger als 0.003 von φ entfernt, und wenige Terme später stimmt das Verhältnis auf so viele Dezimalstellen mit φ überein, wie die Anzeige darstellen kann. Die Konvergenz ist schnell, und kein einzelnes Über- oder Unterschätzen bleibt lange weit daneben.

Als Kettenbruch geschrieben ist φ = [1; 1, 1, 1, …] — nur Einsen, die kleinstmöglichen Koeffizienten. Das macht φ zur Zahl, die sich am schlechtesten durch Brüche annähern lässt, und ihre besten Näherungen sind genau die Fibonacci-Verhältnisse, die dieses Werkzeug zeigt. Die Natur nutzt das: Samen im Abstand von 360°/φ² ≈ 137.5° reihen sich nie zu Lücken auf und sorgen so für die dichte, gleichmäßige Packung von Sonnenblumen und Tannenzapfen.