Die hyperbolische Ebene

Die Ebene mit konstanter negativer Krümmung, dargestellt in der Poincaré-Scheibe. Konstruiere ein Dreieck und vergleiche seine Winkel und seinen Flächeninhalt mit einem flachen Dreieck. Setze einen Punkt neben eine Gerade und schau, welche Geraden durch ihn die ursprüngliche Gerade nie schneiden, oder vergleiche einen Kreis mit 2πr.

Rechenbeispiel — Die hyperbolische Ebene

Seiten, als Abstände in der Ebene	1,0000, 1,0000, 1,0000
Winkel bei A	52,643°
Winkel bei B	52,643°
Winkel bei C	52,643°
Die drei Winkel zusammen	157,93°
Flächeninhalt	0,385
Als Anteil von π	12,26%
Ein flaches Dreieck mit denselben Seiten (Heron)	0,43

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Die hyperbolische Ebene

Die hyperbolische Ebene ist die vollständige, einfach zusammenhängende Fläche, deren Gaußsche Krümmung überall dieselbe negative Zahl ist. Hier gilt K = −1, Längen werden also in Einheiten des Krümmungsradius und Flächen in dessen Quadrat angegeben. Die Fläche eines Dreiecks ist π minus seine Winkelsumme. Durch einen Punkt, der nicht auf einer Geraden liegt, verlaufen unendlich viele Geraden, die diese nie schneiden. Die Poincaré-Scheibe zeichnet die gesamte unendliche Ebene in einen Kreis: Geraden werden zu Bögen, die den Rand im rechten Winkel treffen, Winkel werden winkeltreu dargestellt und Längen schrumpfen in Richtung des Randes, der unendlich weit entfernt ist.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

K: die Gaußsche Krümmung, an jedem Punkt dieser Ebene −1
Π(d): der Parallelwinkel: Geraden durch einen Punkt im Abstand d zu einer Geraden schneiden diese nur innerhalb von Π(d) zum Lot

Kein Dreieck hier enthält mehr als π, egal wie lang seine Seiten sind 🖖

Klick auf Gleichseitig, Seite 1. Die Seiten sind Geraden dieser Ebene, die als Bögen gezeichnet werden, weil die Scheibe eine Karte ist, und die Winkel addieren sich zu 157,93°. Die Differenz zu 180° ist die Fläche: 180° − 157,93° = 22,07°, was im Bogenmaß 0,385 entspricht. Klick nun auf Gleichseitig, Seite 10. Jeder Winkel hat sich auf 0,772° geschlossen, die Summe beträgt 2,32° und die Fläche ist 3,101, also 98,71 % von π, während ein flaches Dreieck mit Seiten der Länge 10 eine Fläche von 43,30 hätte. Da die Fläche gleich π minus der Winkelsumme ist und Winkel nicht unter null fallen können, enthält kein Dreieck in dieser Ebene mehr als π, völlig unabhängig von seinen Seiten. Die Tabelle zeigt die Annäherung: Seite 5 erreicht bereits 84,41 % von π, Seite 20 erreicht 99,99 %. Nur ein Dreieck, dessen Ecken ins Unendliche gewandert sind und das drei Winkel von 0° hat, fasst exakt π.

Durch einen Punkt neben einer Geraden verlaufen unendlich viele Geraden, die diese nie schneiden 🖖

Klick auf Parallelen im Abstand 1. Die schwarze Linie ist eine Gerade dieser Ebene und der Punkt ist 1 von ihr entfernt. Beobachte, wie sich die Gerade durch den Punkt dreht. Sie schneidet die schwarze Gerade nur, solange sie auf der einen oder anderen Seite innerhalb von 40,395° zum Lot liegt. Lobatschewski nannte diesen Winkel den Parallelwinkel, Π(d), und gab ihn 1840 als tan(Π/2) = e^−d an. Die beiden pinken Geraden bei exakt Π(d) nähern sich der schwarzen Geraden zu ihren Enden hin an und erreichen sie nie, und jede Gerade dazwischen in den verbleibenden 99,21° verfehlt sie ebenfalls. Die Geometrie von Euklid kennt genau eine Parallele durch den Punkt; diese hier hat unendlich viele. Klick auf Parallelen im Abstand 3: Π(d) ist auf 5,700° gesunken und 168,60° der Richtungen verfehlen die Gerade. Wenn du den Punkt stattdessen ganz nah heranholst, verengt sich der Fächer auf fast null, nämlich 55,05° bei d = 0,5. In der Nähe der Geraden verhält sich die Ebene also fast wie Papier.

Der Rand eines Kreises wächst exponentiell, und der Großteil einer Kreisscheibe liegt in der Nähe ihres Randes 🖖

Klick auf Kreis mit Radius 10. Der Umfang beträgt 2π sinh 10 = 69.198,18, im Vergleich zu 62,83 auf Papier. Er ist also 1.101-mal so lang. Die Innenfläche, 2π(cosh 10 − 1) = 69.191,90, ist fast dieselbe Zahl, und 63,22 % davon liegen innerhalb eines Abstands von 1 zum Rand. Weit draußen multipliziert jeder Schritt von 1 den Rand fast mit e. Henderson und Taimina häkeln nach dieser Regel ein Modell dieser Ebene: In jeder neuen Reihe machen sie aus N Maschen N + 1, sodass jede Reihe um denselben Faktor länger ist als die vorherige. Der Stoff nimmt so mehr Rand auf, als auf einem flachen Blatt Platz hätte, und muss sich daher falten und wellen. Der Sattel in Gauß’ Theorema Egregium wurde am Rand auf die gleiche Weise länger. Tippe hier r = 0,5 ein, und der Ring liefert eine Krümmung von −1,0126 (die Schätzung ist nur exakt, wenn der Ring schrumpft). Der Ring des Sattels ergab beim selben Radius −0,884. Diese Ebene ist überall mit −1 gekrümmt, der Sattel hingegen nur in seinem Zentrum.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Dreieck, das nur durch seine Winkel bekannt ist 4 Schritte
Ein Dreieck in dieser Ebene hat Winkel von 30°, 45° und 60°. Wie groß ist seine Fläche und wie lang sind seine Seiten? Auf dem Papier hat diese Frage keine Antwort: Jede Vergrößerung eines Dreiecks behält seine Winkel bei. Klick zuerst auf Gleichseitig, Seite 1, wo die Seite eine Winkelsumme und eine Fläche ausgibt.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Bei der Voreinstellung ist die Fläche gleich π minus der Winkelsumme, im Bogenmaß:
  
  $A = π - (A + B + C) = (18 0^{\circ} - 157.9 3^{\circ}) \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} = 0.385$
2. Dieselbe Regel liefert sofort die Fläche für dieses Dreieck:
  
  $A = (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 6 0^{\circ}) \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} = \frac{π}{4} = 0.7854$
3. Für die Seiten gibt es in dieser Ebene einen zweiten Kosinussatz, der Winkel als Eingabe nimmt und eine Seite als Ausgabe liefert:
  
  $cosh a = \frac{cos 3 0 ^{\circ} + cos 4 5 ^{\circ} cos 6 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ} sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{0 . 866025 + 0 . 353553}{0 . 612372} = 1.991564 \Rightarrow a = 1.3121$
4. und die anderen beiden genauso, ausgehend von B und von C:
  
  $cosh b = \frac{cos B + cos C cos A}{sin C sin A} \Rightarrow b = 1.6231, cosh c = \frac{cos C + cos A cos B}{sin A sin B} \Rightarrow c = 1.8131$
Antwort

Fläche π/4 = 0,7854, Seiten 1,3121, 1,6231 und 1,8131. Kein anderes Dreieck hat diese Winkel: Vergrößerst du es, wächst seine Fläche, also muss seine Winkelsumme sinken. Ähnliche Dreiecke unterschiedlicher Größe existieren in dieser Ebene nicht. Die Winkel eines Dreiecks tragen hier eine Längenskala in sich, nämlich den Krümmungsradius.

$A = \frac{π}{4} = 0.7854, a, b, c = 1.3121, 1.6231, 1.8131$

Lernpfad

Geometrie auf einer gekrümmten Fläche

Quellen (2)

The angle of parallelism: through a point at distance p from a line, the lines within Π(p) of the perpendicular cut it and the rest do not, with tan ½Π(x) = e⁻ˣ: N. Lobachevsky, Geometrical Researches on the Theory of Parallels (Berlin, 1840), translated by G. B. Halsted, Scientiae Baccalaureus 1(3), February 1891 (scan at the University of Missouri Digital Library).
A model of the hyperbolic plane crocheted by increasing the stitches from N to N + 1 in every row, so each row is the same factor longer than the last; and the area of an ideal triangle, with all three corners at infinity, equal to π times the square of the plane's radius: D. W. Henderson and D. Taimiņa, "Crocheting the Hyperbolic Plane", The Mathematical Intelligencer 23(2) (2001), 17–28.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.