Gaußsches Theorema egregium

Wähl eine Fläche und einen Abstand r. Eine Ameise krabbelt von einem Punkt aus auf jeder geraden Linie die Strecke r. Die Seite vergleicht den Ring der Endpunkte mit dem Wert 2πr, den er auf einem Blatt Papier hätte. Aus der Differenz berechnet sie die Krümmung der Fläche.

Rechenbeispiel — Gaußsches Theorema egregium

Länge C über 720 Speichen	6,2832
Länge auf flachem Blatt, 2πr	6,2832
Derselbe Ring aus der Formel	6,2832
C / 2πr	1,00000
Differenz, 2πr − C	0,0000
Radius bei gleichem Umfang	1,0000
Krümmung nur aus dem Ring	0,000 / R²
Zwei Hauptkrümmungen im Zentrum	1/R und 0

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Gaußsches Theorema egregium

Die Gaußsche Krümmung K an einem Punkt einer Fläche ist das Produkt ihrer zwei Hauptkrümmungen an diesem Punkt. Das sind die stärkste und die schwächste Biegung der Fläche in einer beliebigen Richtung durch den Punkt, jeweils versehen mit einem Vorzeichen für die Seite, zu der sie sich biegt. Das Theorema egregium (1827) von Gauß besagt, dass K nur von Längen abhängt, die innerhalb der Fläche gemessen werden. Biegt man eine Fläche ohne sie zu dehnen, bleibt K somit unverändert. Eine Messung, die K von innen ermittelt: Der Ring der Punkte im Abstand r vom Punkt hat die Länge C = 2πr − (π/3)K r³ + …. K ist folglich der Grenzwert von 3(2πr − C)/(πr³), wenn r schrumpft.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

K: Die Gaußsche Krümmung im Zentrum, das Produkt κ₁κ₂ der zwei Hauptkrümmungen; 1/R² auf einer Kugel mit Radius R
C: Die Länge des Rings aus Punkten im Abstand r vom Zentrum, gemessen entlang der Fläche
r: Die vom Zentrum aus entlang der Fläche zurückgelegte Strecke

Ein Zylinder ist so flach wie dieses Blatt, und eine Ameise kann es beweisen 🖖

Klick auf Zylinder, r = R und dann auf Kugel, r = R. Beide Flächen krümmen sich an der Oberseite um 1/R. Von außen betrachtet sind beide offensichtlich rund. Geht die Ameise auf dem Zylinder vom Zentrum aus 1 in jede Richtung, markiert sie einen Ring von 6,2832 Länge. Das ist exakt der Wert, den sie auf einem Blatt Papier markieren würde. Auf der Kugel ist der Ring 5,2871 lang. Entlang seiner Längsachse krümmt sich der Zylinder überhaupt nicht. Seine zwei Hauptkrümmungen sind 1/R und 0. Die Gaußsche Krümmung K ist ihr Produkt, also 0. Gauß hat 1827 bewiesen, dass sich K aus Längen berechnen lässt, die innerhalb der Fläche gemessen werden. Wenn du eine Fläche verbiegst, ohne sie zu dehnen, ändert sich K folglich nicht. Dieses Resultat ist seither als das Theorema egregium bekannt, das bemerkenswerte Theorem. Rollst du Papier zu einer Röhre auf, wird nichts gedehnt. Die Röhre behält K = 0 bei. Keine Ameise, die einen Ausschnitt davon vermisst, kann feststellen, dass er jemals gerollt wurde. Das ist auch der Grund, warum ein an der Kruste gefaltetes Stück Pizza nicht mehr nach unten klappt. Da es in die eine Richtung gekrümmt ist, muss es entlang seiner Länge gerade bleiben.

Keine flache Weltkarte behält ihre Entfernungen bei, und der Ring verrät das Maß 🖖

Klick auf Erde, 1.000 km. Jeder Punkt des orangen Rings ist auf dem Boden gemessen 1.000 km vom Zentrum entfernt. Der Ring hat einen Umfang von 6.257,42 km. Ein flacher Kreis mit 1.000 km Radius ist 6.283,19 km lang. Eine Karte, die alle Entfernungen vom Zentrum korrekt wiedergibt, muss den Rand also 25,77 km zu lang zeichnen. Eine Karte, die den Rand korrekt und rund hält, muss die Radien mit 995,90 km zeichnen, also 4,10 km zu kurz. Auf jeder flachen Karte ist zwangsläufig eine der beiden Entfernungen falsch. Das Theorem erklärt, warum auch die raffinierteste Projektion diesem Problem nicht entgeht. Die Krümmung, die den Ring verkürzt, lässt sich ohne Dehnung nicht beseitigen. Klick auf Erde, 2.000 km. Bei doppeltem Radius fällt der Rand um 205,4 km zu kurz aus. Das ist 7,97-mal so viel. Die Abweichung wächst mit der dritten Potenz des Radius. Deshalb kann ein Stadtplan die Erdkrümmung ignorieren, die Karte eines Kontinents jedoch nicht. Das Map Projection Distortion Lab zeigt, was jede Projektion stattdessen opfert.

Auf einem Sattel fällt der Ring zu lang aus 🖖

Klick auf Sattel, r = R/2. Die Ameise geht 0,5 in jede Richtung. Der Ring misst 3,2573 und ist damit länger als die 3,1416 eines flachen Kreises. Eine Kugel verkürzt den Ring und ein Sattel verlängert ihn. Das liegt daran, dass gerade Linien auf einem Sattel schneller auseinanderlaufen, als sie es auf Papier tun würden. Auf einer Kugel laufen sie langsamer auseinander, bis sie sich am fernen Pol wieder treffen. Das Vorzeichen von 2πr − C entspricht dem Vorzeichen von K. Die Ameise erfährt also, in welche Richtung ihre Welt gekrümmt ist, ohne eine der beiden Biegungen sehen zu müssen. Die Gaußsche Krümmung K ist der Grenzwert von 3(2πr − C)/(πr³) für einen schrumpfenden Ring. Das ist die von Bertrand und Puiseux 1848 veröffentlichte Reihenentwicklung der Ringlänge, aufgelöst nach K. Die Tabelle unten zeigt die Annäherung an diesen Grenzwert. Auf der Kugel, deren Krümmung überall 1/R² beträgt, liegt der Schätzwert bei 0,9876 für r = R/2 und bei 0,9995 für R/10. Auf dem Sattel lauten die Werte −0,8838 und −0,9945. Ein Ring mit Radius R/2 erreicht bereits Bereiche, in denen dieser Sattel schwächer gekrümmt ist als in seinem Zentrum.

Aufgabe vollständig gelöst

Wie groß muss ein Kreis sein, bevor ein Maßband die Erdkrümmung bemerkt? 4 Schritte
Das Maßband eines Vermessers ist auf ein Millionstel genau, das ist ein Millimeter pro Kilometer. Wie groß muss ein Kreis auf der Erde abgesteckt werden, bevor sein Umfang messbar kürzer als 2πr ausfällt? Klick zuerst auf Erde, 1.000 km: Die Seite liefert dir C/2πr für eine Kreisscheibe dieser Größe.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Bei 1.000 km ist der Umfang um 1 − 0,99590 von 2πr zu kurz. Auf einer Kugel gilt C = 2πR sin(r/R) und sin x / x = 1 − x²/6 + …. Der Bruchteil beträgt in führender Ordnung also (r/R)²/6:
  
  $1 - 0.99590 = 0.00410 \approx \frac{1}{6} (\frac{1 , 000}{6 , 371 . 0088})^{2} = 0.00411$
2. Setze diesen Bruchteil gleich einem Millionstel und löse nach r/R auf:
  
  $\frac{1}{6} (\frac{r}{R})^{2} = 1 0^{- 6} \Rightarrow \frac{r}{R} = 6 \times 1 0^{- 6} = 0.0024495$
3. und der Radius auf der Erde ist dieser Wert mal R:
  
  $r = 0.0024495 \times 6, 371.0088 km = 15.606 km$
4. Rechne nach. Der Umfang des ebenen Kreises beträgt 2π × 15,606 km, und ein Millionstel davon ist
  
  $2 π \times 15.606 km = 98.055 km, 98.055 km \times 1 0^{- 6} = 9.8 cm$
Antwort

Etwa 15,6 km im Radius, also ein Kreis mit 31 km Durchmesser. Sein Umfang von 98 km fällt 9,8 cm kürzer aus als 2πr. Das ist der Punkt, an dem das Maßband die Krümmung registriert. Die Abweichung wächst mit der dritten Potenz des Radius. Ein Kreis mit einem Zehntel dieser Größe fällt also nur ein Tausendstel so viel zu kurz aus, nämlich einen Zehntelmillimeter. Eine Stadtvermessung kann den Boden daher wie ein flaches Blatt behandeln.

$r \approx 15.6 km, 2 π r - C \approx 9.8 cm$

Lernpfad

Geometrie auf einer gekrümmten Fläche

Quellen (3)

The measure of curvature as one over the product of the two extreme radii of curvature (Art. 8), and the theorem that it stays unchanged when a surface is developed upon another, with surfaces developable on a plane having curvature zero everywhere (Art. 12): C. F. Gauss, General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, translated by J. C. Morehead and A. M. Hiltebeitel, Princeton University Library, 1902, Arts. 8 and 12, pp. 15 and 20–21 (Project Gutenberg ebook 36856).
The length of the ring traced by a short thread of length s turned about a point on a surface, 2πs − πs³/(3R₁R₂) to fourth order, from which the product of the principal radii, and so Gauss's curvature, is recovered by a measurement made on the surface: J. Bertrand, "Démonstration d'un théorème de M. Gauss", Journal de mathématiques pures et appliquées, 1re série, 13 (1848), 80–82; and V. Puiseux, "Sur le même théorème", same volume, 87–90.
The folded pizza slice as the theorem in the kitchen: a surface with zero Gaussian curvature bent one way must stay flat the other way, so curling the crust stiffens the slice along its length: A. Bhatia, "How a 19th Century Math Genius Taught Us the Best Way to Hold a Pizza Slice", WIRED, 5 September 2014.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.