Großkreise

Wähle zwei Orte auf dem Globus. Die Seite fliegt die kürzeste Route zwischen ihnen und daneben jene, die stur einen Kurs hält. Sie zeigt beide Kurse sowie Längen an und zerlegt die Strecke in Etappen, wie es in der Navigation üblich ist.

Rechenbeispiel — Großkreise

Winkel A zu B vom Erdzentrum	78,78°
Großkreis, die kürzeste Route	8.760,1 km
Anfangskurs beim Verlassen	311,7°
Endkurs bei der Ankunft in B	214,1°
Größter Abstand zum Äquator	62,26° N
Änderung der Mercator-Höhe	−0,4208
Der eine Kurs, der B erreicht	258,4°
Länge auf diesem einen Kurs	9.732,5 km

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Großkreise

Ein Großkreis entsteht dort, wo eine Ebene durch den Mittelpunkt einer Kugel ihre Oberfläche schneidet. Sein kürzerer Bogen zwischen zwei Punkten ist der kürzeste Weg zwischen ihnen auf der Kugel, quasi die Kugel-Version einer Geraden. Eine Loxodrome kreuzt jeden Meridian im selben Winkel. Du kannst ihr also mit einem einzigen Kompasskurs folgen. Auf der Mercator-Karte bildet sie eine Gerade. Sofern nicht beide Orte auf dem Äquator oder auf demselben Meridian liegen, ist der Großkreis kürzer und sein Kurs ändert sich ununterbrochen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

σ: der Winkel zwischen den beiden Orten, vom Erdmittelpunkt aus betrachtet; der Großkreis ist Rσ lang, wobei σ im Bogenmaß angegeben wird
θ: ein Kurs, im Uhrzeigersinn ab Norden gemessen: θ₁ beim Verlassen von A, θ₂ bei der Ankunft in B
ψ: die isometrische Breite, ln tan(45° + φ/2): die Höhe des Breitengrads φ auf der Mercator-Karte für eine Einheitskugel
R: der Erdradius, hier der mittlere Radius von 6.371,0088 km

Setzt voraus: Eine Kugel mit dem mittleren Erdradius. Die Erde ist um etwa 1 Teil in 298 abgeplattet. Auf dem WGS 84-Ellipsoid ist der kürzeste Weg von London Heathrow nach Los Angeles laut der Vincenty-Methode 8.781,1 km lang. Das ist 0,24 % länger als die 8.760,1 km der Kugel. Betrachtet man unterschiedlichste Routen, weicht die Kugel schlimmstenfalls um etwa ein halbes Prozent ab, besonders auf kurzen Nord-Süd-Routen nahe dem Äquator.

Um eine Stadt im Südwesten zu erreichen, starte nach Nordwesten 🖖

Klick London nach Los Angeles. Los Angeles liegt 17,5 Breitengrade südlich von London und 118 Grad westlich. Ein Navigator, der stur einen Kurs von 258,4° hält, käme nach 9.732,5 km an. Die kürzeste Route startet mit 311,7° nach Nordwesten, überquert den Süden Grönlands bei 62,26° N und sinkt mit 214,1° auf Südwestkurs nach Los Angeles hinab. Sie ist 8.760,1 km lang und damit 972,4 km kürzer. Schau dir die cyanfarbene Nadel auf dem Kompass an. Sie schwenkt um 97,5°, obwohl sich die Route nie nach links oder rechts biegt. Was sich bewegt, ist Norden: Jeder Meridian läuft im selben Pol zusammen, sodass ein Großkreis jeden in einem anderen Winkel kreuzt. Auf der flachen Karte unten ist die gerade Linie die Route mit einem festen Kurs, und der Großkreis wölbt sich zum Pol, um fast tausend Kilometer zu sparen.

Ein Breitenkreis ist keine Gerade 🖖

Madrid liegt auf 40,49° N und New York auf 40,64° N. Die Route mit gleichbleibendem Kurs verläuft zwischen ihnen fast exakt nach Westen, auf 270,2°, und beinahe genau entlang des Breitenkreises: 5.930,8 km. Der Großkreis startet in Madrid auf 294,7°, überquert den Atlantik weiter nördlich auf 46,30° N und erreicht das Ziel 169,9 km früher. Einem Breitenkreis zu folgen, wirkt wie eine Gerade. Das ist ein Trugschluss. Abseits des Äquators ist jeder Breitenkreis ein um den Pol gezogener Kleinkreis. Um exakt auf 40,49° N zu bleiben, müsstest du alle 100 km um 0,768° in Richtung Pol einlenken. Lässt du das Steuer los, driftest du entlang eines Großkreises nach Süden ab. Der Äquator ist der einzige Breitenkreis, bei dem du nicht gegenlenken musst, da sein Mittelpunkt als einziger mit dem Erdmittelpunkt übereinstimmt.

Halbiere die Etappen und der Umweg schrumpft auf ein Viertel, bis die Route nah an einem Pol vorbeiführt 🖖

Schiffe folgten Großkreisen schon lange vor der Erfindung von Autopiloten. Sie nutzten dafür wenige Etappen mit festen Kursen zwischen Wegpunkten. Klick auf Vier Etappen. Die Strecke von London nach Los Angeles auf 299,2°, 267,1°, 236,5° und 219,3° ist 74,6 km länger als der Großkreis, während ein einziger Kurs 972,4 km mehr kostet. Die Tabelle zeigt die Halbierung auf: 972,4, 282,0, 74,6, 18,9, 4,8 km. Das Verhältnis pendelt sich bei 4 ein. Der Grund dafür ist, dass der zusätzliche Weg einer kurzen Etappe kubisch mit ihrer Länge wächst. Halbierst du die Etappe, kostet jede nur noch ein Achtel so viel Wegstrecke, aber es gibt doppelt so viele davon. Klick Singapur nach New York und die Regel bricht zusammen. Diese Route verläuft 2,53° am Pol vorbei. Dort schwenkt ein fester Kurs um den Pol herum, anstatt ihn direkt zu passieren. Zwei Etappen kosten hier immer noch 2.976,7 km extra gegenüber 3.160,4 km für eine Etappe. Die Verhältnisse schwanken von 1,06 auf bis zu 3,92 und zurück auf 2,27. Erst ab 32 Etappen, die jeweils etwa 480 km lang sind, liegt das Verhältnis wieder bei 4.

Aufgabe vollständig gelöst

Einen Kurs für immer halten 4 Schritte
Verlasse einen Punkt auf dem Äquator mit einem Kurs von 45° nach Nordosten und ändere ihn nie. Wie weit reist du, bevor du den Nordpol erreichst, und wie oft umrundest du ihn auf dem Weg? Klick zuerst London nach Los Angeles: Die Seite berechnet die Länge dieser Loxodrome, und dieselbe Regel beantwortet unsere Frage.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die hier berechnete Länge für die Route mit gleichbleibendem Kurs von London nach Los Angeles, aufgeteilt in einen Nord-Süd- und einen Ost-West-Anteil, beide als Winkel am Erdmittelpunkt im Bogenmaß gemessen:
  
  $d_{r} = R Δ φ^{2} + (q Δ λ)^{2} = 6371.0088 \times 0.30595 6^{2} + 1.49667 8^{2} = 9, 732.5 km$
2. Entlang einer Loxodrome ändert sich der Kurs nie, weshalb jeder Kilometer denselben Gewinn nach Norden bringt, nämlich cos θ eines Kilometers. Vom Äquator bis zum Pol ist es ein Viertelmeridian, πR/2:
  
  $d = \frac{π R /2}{cos 4 5 ^{\circ}} = \frac{10 , 007 . 56}{0 . 707107} = 14, 152.8 km$
3. Der Längengrad macht die andere Hälfte aus. Auf einer Loxodrome gilt tan θ = Δλ/Δψ. Bei 45° entspricht der gewonnene Längengrad also der Änderung der isometrischen Breite ψ im Bogenmaß, und jede 2π davon bedeuten eine Umrundung des Pols. Ein Grad vor dem Pol, 157,3 km Spirale vor dem Ende:
  
  $Δ λ = tan 4 5^{\circ} Δ ψ = ψ (8 9^{\circ}) = 4.7413 \Rightarrow n = \frac{4 . 7413}{2 π} = 0.755$
4. Aber ψ hört nie auf zu wachsen. Dicht am Pol entspricht ψ fast genau dem Logarithmus von 2 geteilt durch die verbleibende Poldistanz. Jeder Zehnerschritt näher an den Pol addiert also denselben Betrag und damit denselben Anteil einer Umrundung:
  
  $ψ (φ) \approx ln \frac{2}{π /2 - φ} \Rightarrow Δ n = \frac{ln 10}{2 π} = 0.3665$
Antwort

14.152,8 km und unendlich viele Umrundungen. Die Distanz ist endlich, da jeder Kilometer der Spirale 0,707 km nach Norden gutmacht. Die gesamte Spirale ist somit das √2-Fache eines Viertelmeridians. Die Umrundungen enden nie, weil ψ keine Obergrenze besitzt. Sie kommen jedoch spät und fallen klein aus: 0,755 einer Umrundung bei 89° N, 1,488 bei 89,99° N mit noch 1,573 km verbleibender Spirale, und von dort aus weitere 0,3665 einer Umrundung für jeden Zehnerschritt näher heran. Die Mercator-Karte kann das Ende nicht darstellen, da der Pol unendlich weit oben auf dem Blatt liegt.

$d = 14, 152.8 km, n \to \infty, n (89.9 9^{\circ}) = 1.488$

Lernpfad

Geometrie auf einer gekrümmten Fläche

Quellen (2)

Geodesics on the Earth: the great circle as the sphere's shortest path, Clairaut's relation sin α₀ = sin α cos β that fixes how the heading changes along one (on a sphere, the sine rule), and the WGS 84 semi-axes this page's mean radius (2a + b)/3 is taken from: C. F. F. Karney, "Algorithms for geodesics", Journal of Geodesy 87(1), 43–55 (2013).
The ellipsoidal distance the lesson compares the sphere with: Vincenty's iterative inverse formula, used here on the WGS 84 ellipsoid for London Heathrow to Los Angeles (8,781.1 km against the sphere's 8,760.1 km): T. Vincenty, "Direct and inverse solutions of geodesics on the ellipsoid with application of nested equations", Survey Review 23(176), 88–93 (1975).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.