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Textaufgaben: Von der Geschichte zur Gleichung

Lies die Geschichte, wähle Buchstaben für die Unbekannten und notiere die beschriebenen Gleichungen. Du erfährst, ob deine Gleichungen das Gleiche aussagen wie die Geschichte, und falls nicht, welcher Teil noch fehlt. Danach werden sie Schritt für Schritt gelöst. Neue Zahlen liefern eine neue Geschichte vom selben Typ.

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Lektion

Die Theorie — Textaufgaben: Von der Geschichte zur Gleichung

Eine Textaufgabe beschreibt Größen in ganzen Sätzen. Sie zu übersetzen bedeutet, Unbekannte zu wählen, also Buchstaben für die Größen, die im Text fehlen. Jede in der Geschichte enthaltene Tatsache schreibst du dann als Gleichung auf. Wenn jede Gleichung linear ist und die Unbekannten nur als Vielfaches einer Zahl vorkommen, lässt sich das System durch Elimination lösen. Du addierst Vielfache einer Gleichung zur anderen, bis nur noch eine Unbekannte übrig ist. Ein System hat entweder genau eine Lösung, gar keine oder unendlich viele. Welcher dieser drei Fälle eintritt, zeigt die Elimination. Ob die Geschichte diese Antwort überhaupt zulässt, wie etwa ein negatives Volumen oder einen Monat vor Beginn eines Pakets, überprüfst du direkt an der Geschichte selbst.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

x, y, z
die Unbekannten. Du schreibst zuerst auf, wofür sie stehen. Ein System stimmt nur für die Buchstaben, mit denen es aufgestellt wurde.
a₁x + b₁y = c₁
eine lineare Gleichung. Jede Tatsache in der Geschichte liefert eine davon.
0 = c
bleibt bei der Elimination übrig, wenn c ≠ 0 ist. Die Fakten widersprechen sich, es gibt keine Lösung.
0 = 0
bleibt bei der Elimination übrig, wenn eine Tatsache nur eine andere wiederholt. Sie bringt keine neue Information. Bleiben am Ende weniger Gleichungen als Unbekannte übrig, gibt es unendlich viele Antworten.

Eine Dose Münzen und eine Mischung sind dieselbe Aufgabe 🖖

Klick auf Eine Dose Münzen und schreib die passenden Gleichungen auf: x + y = 21 für die Anzahl, 0,10x + 0,20y = 2,90 für den Wert. Klick jetzt auf Mischungen: x + y = 45 für das Volumen, 0,25x + 0,60y = 20,7 für die Menge des gelösten Stoffes. Zwei Geschichten, die gar nichts miteinander zu tun haben, aber dieselbe Form von Gleichungen hervorbringen. Du hast eine Gesamtsumme, und dieselbe Summe noch einmal, bei der jeder Teil mit seinem jeweiligen Wert gewichtet wird. Eintrittskarten zu zwei Preisen und Geldanlagen zu zwei Zinssätzen folgen exakt diesem Muster. Die Algebra dahinter bleibt immer gleich. Die Aufgabe testet, ob du erkennst, welche Summe womit gewichtet wird.

Eine richtige Lösung kann die falsche Frage beantworten 🖖

Klick auf Zusammen arbeiten. Die Arbeit ist nach 4 h der einen und 10 h der anderen Arbeitskraft erledigt, oder nach 6 h und 5 h. Nimmt man nur die Stunden als Unbekannte, sind die Gleichungen nicht mehr linear: 4/A + 10/B = 1. Schreibt man sie stattdessen mit Geschwindigkeiten auf, also dem Anteil an der Arbeit pro Stunde, sieht das so aus: 4x + 10y = 1 und 6x + 5y = 1, woraus x = 1/8 und y = 1/20 folgt. Die Frage ist jedoch, wie lange jeder allein brauchen würde. Die Antwort ist der Kehrwert: 8 h und 20 h, nicht 1/8 und 1/20. Klick jetzt auf Einholen und gib der Zeit von Jonas den Buchstaben, der für Lena gedacht war. Das System lässt sich immer noch sauber lösen. Die Seite weist dich aber darauf hin, dass deine Gleichungen nur mit vertauschtem x und y zur Geschichte passen. Die Antwort teilt nämlich jedem Fahrer die Zeit des anderen zu.

Manche Systeme haben keine Lösung, und die Elimination verrät den Grund 🖖

Klick auf Parallele Tarife. Studio A kostet 25 € Aufnahmegebühr und Studio B 55 €, und beide berechnen 19 € pro Monat. Rechne das durch, und alles mit einer Unbekannten fällt weg. Übrig bleibt 0 = −30 (oder 0 = 30, wenn Studio B zuerst steht). Der Abstand von 30 € besteht ab dem ersten Tag, und kein noch so langer Zeitraum kann ihn schließen. Klick dann auf Ein Tarif, zwei Namen. Das Paket von Studio B kostet 166 € für 6 Monate. Das ist exakt die Gebühr von Studio A mit 10 € plus sechs Monate zu je 26 €. Von da an verlangen beide 26 €. Wenn du hier eliminierst, erhältst du 0 = 0. Beide Gleichungen bilden dieselbe Gerade. Die Gleichung für Studio B beschreibt die Kosten erst ab dem sechsten Monat. Deshalb besagt die Geschichte selbst, und nicht die Elimination, dass jeder Monat ab dem sechsten eine Lösung darstellt. Ein Widerspruch und zu wenige voneinander unabhängige Fakten sind die zwei Gründe, warum ein lineares System keine eindeutige Lösung haben kann. Beides lässt sich klar aus der Geschichte ableiten.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Die Dose Münzen, aufgestellt und gelöst 5 Schritte

    Eine Dose enthält 21 Münzen, alles 10-Cent- oder 20-Cent-Münzen, die zusammen 2,90 € wert sind. Stell die Gleichungen auf und finde heraus, wie viele Münzen es von jeder Sorte gibt. Klick auf Eine Dose Münzen und gib sie ein, um sie zu prüfen.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    1. Wähle die Unbekannten und schreibe auf, wofür jede steht:

    2. Eine Tatsache zählt die Münzen, die andere zählt ihren Wert in Euro:

    3. Multipliziere die zweite Gleichung mit 10, um die Kommazahlen loszuwerden, und ziehe dann die erste davon ab:

    4. Setze y wieder in die erste Gleichung ein:

    5. Prüfe das Ergebnis an der Geschichte, nicht nur an den Gleichungen:

    Antwort

    Es gibt 13 Zehn-Cent-Münzen und 8 Zwanzig-Cent-Münzen. Die Überprüfung im letzten Schritt ist entscheidend: 21 Münzen im Wert von 2,90 €. Genau das stand in der Geschichte, statt nur zwei Zahlen zu liefern, die bloß die von jemandem aufgeschriebenen Gleichungen erfüllen.

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.