Gyroskop

Lass das Rad rotieren, wähle den Winkel, unter dem die Achse losgelassen wird, und entscheide, ob du ihm beim Loslassen einen seitlichen Schubs gibst. Die Seite integriert die Bewegung, während du zusiehst. Sie zeigt an, wie tief das Rad fällt, wie schnell es sich dreht und wie stark die Lehrbuchformel vom tatsächlichen Verhalten abweicht.

Rechenbeispiel — Gyroskop

Trägheitsmoment Achse (Ring)	0,180 kg·m²
Trägheitsmoment Zapfen (quer)	0,170 kg·m²
Eigendrehimpuls	11,31 kg·m²/s
Drehmoment (Gewichtskraft)	3,923 N·m
Stetige Rate (Näherungsformel)	0,3468 rad/s
Eine Umdrehung bei dieser Rate	18,12 s
Simul. Drehrate (39 Nutationen)	0,3468 rad/s
Simulation vs. Formel	−0,005%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Gyroskop

Ein Gyroskop ist hier ein rotierendes Rad, dessen Achse an einem Ende auf einem festen Zapfen ruht. Bei waagerechter Achse übt seine Gewichtskraft ein Drehmoment τ = mgl um den Zapfen aus. Dieses wirkt horizontal und im rechten Winkel zur Achse. Da das Drehmoment die Änderungsrate des Drehimpulses ist, wird der Eigendrehimpuls L = I₃ω₃ seitwärts gedreht, anstatt nach unten zu kippen. Bei stetiger Präzession dreht sich die Achse mit Ω = mgl/L um die Vertikale. Wird sie aus der Ruhe losgelassen, fällt sie zunächst ein wenig und nutiert dann. Sie pendelt zwischen ihrer Ausgangshöhe und einem tiefsten Punkt auf etwa 2I₁mgl/L² Radiant darunter, und das rund L/(2πI₁)-mal pro Sekunde.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

L: Drehimpuls der Rotation um die Achse, I₃ω₃
Ω: stetige Präzessionsrate, mgl/L, die Rate, mit der sich die Achse um die Vertikale dreht
I_3: Trägheitsmoment um die Achse; mR² für einen Ring
I_1: Trägheitsmoment um eine Achse durch den Zapfen im rechten Winkel zur Radachse, ml² + ½mR²
l: Abstand vom Zapfen zum Mittelpunkt des Rades
k: seitliche Drehrate beim Loslassen, in Einheiten von Ω

Setzt voraus: Angenommen wird ein starres Rad auf einer leichten Achse, das als Ring mit seiner gesamten Masse auf dem Rand betrachtet wird und auf einem reibungsfreien Punktzapfen ruht. Die Schwerebeschleunigung beträgt 9,80665 m/s². Es gibt weder Luftwiderstand noch Reibung, sodass die Energie sowie der Drehimpuls um die Vertikale und um die Radachse vollständig erhalten bleiben. Die Ergebnistabelle zeigt, wie gut der Integrator diese Erhaltungssätze abbildet.
Versagt, wenn: Ein echter Zapfen hat Reibung. Diese dämpft das Taumeln und lässt das Rad etwas unterhalb des Startpunktes sanft präzedieren. Die Reibung im Lager verlangsamt zudem die Rotation. Wenn L abnimmt, beschleunigt sich die Präzession und das Absinken wird stärker, bis das Rad umfällt.

Losgelassen fällt ein rotierendes Rad, bevor es sich dreht 🖖

Klick auf Loslassen bei 10 U/s und schau dir das zweite Feld an. Seitliches Drehen bedeutet, dass sich der Mittelpunkt des Rades bewegt. Diese kinetische Energie muss irgendwoher kommen, also kann das Rad im Moment des Loslassens nicht sofort präzedieren. Es fällt zuerst. Die Achse sinkt um 0,597° ab, ihr Mittelpunkt um 2,09 mm. Am tiefsten Punkt hat die seitliche Drehrate 0,6937 rad/s erreicht, das Doppelte ihres Durchschnitts. Dann steigt die Achse wieder auf die Ausgangshöhe. Dort stoppt die Seitwärtsbewegung abrupt und der Zyklus beginnt von vorn. Das Ende der Achse zeichnet eine Reihe von Spitzen, 10,59 davon pro Sekunde. Peraire und Widnall nennen dies in ihren MIT-Vorlesungen zur Dynamik eine Zykloidenbewegung, und David Tong aus Cambridge leitet exakt dieses Verhalten ab, wenn man einen Kreisel andreht und loslässt. Ein so kleines Absinken ist kaum zu erkennen. Die Reibung an einem echten Zapfen dämpft das Taumeln glatt, weshalb ein Vorführrad in der Luft zu schweben scheint. Der graue Schatten zeigt dasselbe Rad ohne Rotation, das nach 0,39 s senkrecht herabhängt.

Rotiert es doppelt so schnell, dreht es sich halb so schnell 🖖

Das Drehmoment der Gewichtskraft um den Zapfen beträgt bei waagerechter Achse 3,923 N·m. Es ändert L jede Sekunde um 3,923 kg·m²/s, und zwar immer seitwärts. Je größer L ist, desto länger dauert es, die Achse herumzuschwenken, weshalb die Drehrate Ω = mgl/L lautet: eine Umdrehung in 9,06, 18,12 und 36,23 s bei 5, 10 und 20 U/s. Das Absinken verhält sich proportional zu 1/L². Es verringert sich bei jeder Verdopplung auf ein Viertel. Die Simulation liefert 2,386°, 0,597° und 0,149°. Die Formel Ω = mgl/L geht davon aus, dass L genau auf der Achse liegt. Das stimmt aber nur, solange der Eigendrehimpuls den durch die Seitwärtsdrehung hinzugefügten Anteil weit übertrifft. Die Tabelle führt dies für niedrigere Raten aus. Das simulierte Rad dreht sich bei 5 U/s um 0,087 % langsamer als es die Formel vorgibt, bei 2 U/s um 3,026 % und bei 1 U/s um 21,481 %. Dort schwingt das Rad 39,013° nach unten und ähnelt eher einem verdrillten Pendel als einem Gyroskop.

Schieb die Achse seitwärts an, und das Rad steigt 🖖

Ein Stoß gegen das Achsenende bewirkt ein Drehmoment, und genau wie das der Gewichtskraft bewegt es die Spitze von L in Richtung des Drehmoments, nicht des Stoßes. Ein Schubs in die Richtung, in die sich das Rad ohnehin dreht, erzeugt ein aufwärts gerichtetes Drehmoment, sodass die Achse steigt. Klick auf Angeschoben mit 2Ω. Wenn das Rad bereits mit der doppelten stetigen Rate seitwärts drehend losgelassen wird, steigt die Achse um 0,597°, exakt die gleiche Strecke, die das unangeschobene Rad gefallen ist. Seine mittlere Drehrate liegt weiterhin bei 0,3468 rad/s. Hältst du es mit einem Schubs von −1 zurück, sinkt es um 1,195° und damit doppelt so tief. Klick auf Loslassen mit Ω und es gibt überhaupt kein Absinken und keine Nutation. Für eine waagerechte Achse ist die stetige Präzession bei exakt mgl/L nämlich eine Lösung der vollständigen Gleichungen bei jeder Rotationsgeschwindigkeit. Stell den Schubs auf 1 und lies die Tabelle. Bei 1 U/s, wo das Loslassen aus der Ruhe eine Abweichung von 21,481 % ergab, dreht sich das Rad nun mit 3,4684 rad/s, also genau mit dem Wert der Formel. Der Fehler bei geringer Rotation ist der Preis dafür, das Rad aus der Ruhe loszulassen. Tongs Aufzeichnungen beschreiben treffend, dass es „genau den richtigen Schubs“ braucht, damit ein Kreisel ohne Auf- und Abbewegung präzediert.

Aufgabe vollständig gelöst

Was trägt der Zapfen, und wie schnell muss das Rad rotieren? 5 Schritte
Das Rad rotiert mit 10 U/s und waagerechter Achse in stetiger Präzession. Wie stark drückt der Zapfen auf die Achse, nach oben und zur Seite? Und welche Rotationsgeschwindigkeit würde das Absinken nach dem Loslassen aus der Ruhe unter 0,1° halten? Klick auf Loslassen bei 10 U/s, um den ersten Schritt zu überprüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Der Rotationsdrehimpuls und die stetige Drehrate stehen auf der Seite:
  
  $L = I_{3} ω_{3} = 0.180 \times 2 π \times 10 = 11.31 kg m^{2} /s Ω = \frac{m g l}{L} = \frac{3 . 923}{11 . 31} = 0.3468 rad/s$
2. Bei stetiger Präzession mit waagerechter Achse bleibt der Mittelpunkt auf einer Höhe. Das Rad hat also keine vertikale Beschleunigung, und der Zapfen drückt mit genau der Gewichtskraft nach oben. Die Rotation trägt davon nichts:
  
  $N_{z} = m g = 2 \times 9.80665 = 19.61 N$
3. Der Mittelpunkt bewegt sich auf einem Kreis mit Radius l bei Ω, der Zapfen muss ihn also auch zum Ständer hin drücken:
  
  $N_{h} = m l Ω^{2} = 2 \times 0.2 \times 0.346 8^{2} = 0.0481 N$
4. Für die zweite Frage stellst du die Schneller-Kreisel-Näherung für das Absinken um, mit δ = 0,1° = 0,001745 rad:
  
  $δ = \frac{2 I _{1} m g l}{L ^{2}} \Rightarrow L \geq \frac{2 I _{1} m g l}{δ} = \frac{2 \times 0 . 170 \times 3 . 923}{0 . 001745} = 27.64 kg m^{2} /s$
5. und teilst durch I₃ und 2π:
  
  $ω_{3} = \frac{27 . 64}{0 . 180} = 153.6 rad/s = \frac{153 . 6}{2 π} rev/s = 24.44 rev/s$
Antwort

Der Zapfen trägt 19,61 N nach oben, das gesamte Gewicht des Rades, und 0,0481 N seitwärts zum Ständer hin, was weniger als einem Viertelprozent davon entspricht. Durch die Rotation wird das Rad nicht leichter. Um das Absinken unter 0,1° zu halten, sind 24,44 U/s nötig. Löst man die Energiegleichung für diese exakte Rotation, erhält man ein Absinken von 0,0999997°. Die Näherung ist dort also auf etwa 2,5 Millionstel genau.

$N_{z} = 19.61 N, N_{h} = 0.0481 N, f \geq 24.44 rev/s (exact drop 0.099999 7^{\circ})$

Lernpfad

Rotation und Drehimpuls

Quellen (2)

The heavy symmetric top from its Lagrangian: the two conserved momenta and the energy, the three kinds of nutation, why a top that is spun and simply let go falls first and traces cusps, and why precessing without bobbing needs exactly the right push: D. Tong, "Classical Dynamics", lecture notes for a final-year undergraduate course, University of Cambridge, chapter 3 "The Motion of Rigid Bodies", section 3.6 "The Heavy Symmetric Top".
Steady precession from Euler's equations in Euler angles, the gyroscopic limit in which the precession rate is the weight's moment over the spin angular momentum, and the names unidirectional, looping and cuspidal for the three kinds of unsteady motion: J. Peraire and S. Widnall, "Lecture L30 - 3D Rigid Body Dynamics: Tops and Gyroscopes", 16.07 Dynamics, MIT OpenCourseWare, Fall 2009.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.