Simulator für Keplersche Gesetze

Demonstriere die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung. Passe die große Halbachse, die Exzentrizität und die Zentralmasse an, um die Umlaufbahn zu animieren, und sieh den Geschwindigkeitsvektor sowie die Flächenkeile.

Rechenbeispiel — Simulator für Keplersche Gesetze

Geschwindigkeit im Perihel	45.5 km/s
Geschwindigkeit im Aphel	19.5 km/s

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Die Flächensatz ist der Drehimpuls in Verkleidung 🖖

Kepler entdeckte seine drei Gesetze, indem er jahrelang die mit bloßem Auge gewonnenen Präzisionsdaten von Tycho Brahe auswertete – Jahrzehnte bevor jemand wusste, warum sich Planeten so verhalten. Das hier umschaltbare Gesetz der „gleichen Flächen in gleichen Zeiten" ist keine geometrische Zufälligkeit: Es ist eine direkte Folge der Drehimpulserhaltung, da die Schwerkraft stets entlang der Verbindungslinie zwischen Planet und Stern wirkt und die Umlaufbahn niemals seitlich verdrehen kann. Deshalb rast ein Planet im Perihel am schnellsten und kriecht im Aphel am langsamsten – die Erhaltung von L = r×v zwingt die Geschwindigkeit, mit kleinerem r zuzunehmen. Newtons Gravitationsgesetz, das Kepler noch unbekannt war, erklärte schließlich, warum das von ihm bereits geometrisch gefundene Muster zutreffen musste.

Was Exzentrizität wirklich bedeutet 🖖

Die Exzentrizität ist die eine Zahl, die dieser Regler steuert - sie misst, wie stark eine Umlaufbahn gestreckt ist. Bei e = 0 entsteht ein perfekter Kreis; schiebt man sie Richtung 1, streckt sich die Ellipse zur Kometenbahn, wobei der Stern außermittig in einem Brennpunkt sitzt, nie in der Mitte. Überraschend für viele: Die Erdbahn hat e = 0.017, ist also fast ein Kreis. Die Jahreszeiten entstehen durch die Neigung der Erdachse, nicht durch den wechselnden Abstand zur Sonne.

Warum sich die Ellipse perfekt schließt 🖖

Der Planet zeichnet für immer exakt dieselbe Ellipse nach - er driftet nie zu einer langsam rotierenden Rosette. Das ist nicht selbstverständlich. Das Bertrand-Theorem beweist, dass nur zwei Kraftgesetze gebundene Bahnen nach einem einzigen Umlauf schließen lassen: die invers-quadratische Gravitation (1/r²) und die harmonische Federkraft (∝ r). Jedes andere Potenzgesetz hinterlässt Bahnen, die sich nie ganz wiederholen. Die saubere, geschlossene Ellipse ist ein Fingerabdruck der exakten 1/r²-Form der Gravitation.

Aufgaben vollständig gelöst

Eine Umlaufbahn mit e = 0,4 um einen Stern mit einer Sonnenmasse 5 Schritte
Eine Umlaufbahn hat a = 1 AU und e = 0.4 um einen Stern mit Sonnenmasse. Finde die Geschwindigkeit an beiden Enden und finde dann die Größe, die auf dem gesamten Weg gleich bleibt.
1. Eine Ellipse mit der großen Halbachse a und der Exzentrizität e kommt am nächsten bei a(1−e) und am weitesten entfernt bei a(1+e). Diese beiden Radien sind die gesamte Geometrie, die die Aufgabe benötigt.
  
  $r_{p} = a (1 - e) = 0.6 AU, r_{a} = a (1 + e) = 1.4 AU$
2. Die Vis-Viva-Gleichung liefert die Geschwindigkeit bei jedem Radius allein aus dem Radius und der großen Halbachse. Weder die Masse des kreisenden Körpers geht ein, noch die Information, wo er gestartet ist.
  
  $v = μ (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$
3. Werte an beiden Enden aus. Der Visualisierer oben gibt genau diese zwei Zahlen für diese Umlaufbahn aus, und er tut dies durch Ausführen derselben Gleichung statt durch eine Simulation.
  
  $v_{p} = \frac{μ}{a} \cdot \frac{1 + e}{1 - e} = 45.5 km/s, v_{a} = \frac{μ}{a} \cdot \frac{1 - e}{1 + e} = 19.5 km/s$
4. Bilde nun das Verhältnis und beobachte, wie sich die Masse des Sterns kürzt. Das Geschwindigkeitsverhältnis hängt von der Exzentrizität ab und von sonst nichts — nicht von a, nicht vom Stern. Ein Komet mit e = 0.99 kommt 199-mal schneller an, als er das ferne Ende verlässt.
  
  $\frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{1 + e}{1 - e} = \frac{1.4}{0.6} = 2.333$
5. Dieses Verhältnis ist ein getarnter Erhaltungssatz. Multipliziere jede Geschwindigkeit mit ihrem Radius, und die beiden Produkte sind gleich: Der Drehimpuls pro Masseneinheit ist konstant, was die Umlaufbahn also an Entfernung gewinnt, muss sie an Geschwindigkeit abgeben.
  
  $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a} ⟹ 0.6 \times 45.5 = 1.4 \times 19.5 = 27.3$
Antwort

45.5 km/s am Perihel, 19.5 km/s am Aphel, ein Verhältnis von genau 2.333 = (1+e)/(1−e). Beide Produkte aus Radius und Geschwindigkeit ergeben 27.3, was Keplers zweites Gesetz als Zahl ausgedrückt ist: Die Regel „gleiche Flächen in gleichen Zeiten“ bedeutet einfach rv = konstant. Deshalb verbringen Kometen fast ihre gesamte Zeit im äußeren Teil einer Umlaufbahn und durchqueren das innere System in Wochen — eine Tatsache über Flächen, nicht darüber, dass die Gravitation ihre Stärke ändert.

$\frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{1 + e}{1 - e} (the constant is L = m r v)$
Bruchteil des Jahres, den ein Planet beim Kriechen durch die ferne Hälfte verbringt 6 Schritte
Die Tafel gibt der Bahn eine Umlaufzeit von 1,000 Jahren und setzt das Perihel auf 0,6000 AE gegen 1,400 im Aphel. Sie animiert, wie der Planet durch die ferne Hälfte kriecht, und verrät nie, wie lange er dort bleibt. Rechne das aus — als Bruchteil des Jahres, allein aus der Exzentrizität.
1. Beginne beim Gedruckten. Die beiden Apsiden liegen bei a(1−e) und a(1+e); diese Bahn reicht also mehr als doppelt so weit hinaus, wie sie hereinkommt.
  
  $T = a^{3/2} = 1.000, r_{p} = a (1 - e) = 1.00 (1 - 0.400) = 0.6000, r_{a} = a (1 + e) = 1.400$
2. Das zweite Keplersche Gesetz ist hier das ganze Werkzeug, und es ist eine Aussage über Flächen, nicht über Abstände: der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Verweildauer ist also überstrichene Fläche und sonst nichts.
  
  $\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m} = const ⟹ Δ t \propto A$
3. Zerschneide die Ellipse entlang der kleinen Achse. Beide Hälften haben dieselbe Fläche — aber die Sonne steht nicht im Mittelpunkt, sondern in einem Brennpunkt, um c = ae versetzt. Von dort aus gesehen ist die ferne Hälfte die halbe Ellipse plus das Dreieck zwischen Brennpunkt und Schnitt.
  
  $A_{f} = \frac{1}{2} π ab + \frac{1}{2} (2 b) (c), c = a e$
4. Teile durch die Gesamtfläche, und fast alles kürzt sich weg. Sowohl a als auch b verschwinden, und übrig bleibt ein verblüffend sauberes Ergebnis: der Anteil ist ein Halb plus die Exzentrizität durch π.
  
  $\frac{A _{f}}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{b c}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π}$
5. Setze die Exzentrizität dieser Bahn ein. Fast 63 % des Jahres entfallen auf die äußere Hälfte — der Planet ist dort draußen nicht bloß langsamer, er ist zwei Drittel seines Lebens dort.
  
  $e = 0.400 : \frac{1}{2} + \frac{0.400}{π} = 0.5000 + 0.1273 = 0.6273$
6. Nun die der Erde, die nur 0,0167 beträgt.
  
  $e = 0.0167 : \frac{1}{2} + 0.00532 = 0.50532, 2 (0.00532) (365.25) = 3.88 d$
Antwort

Für die ferne Hälfte werden ½ + e/π der Umlaufzeit benötigt: bei der dargestellten Bahn sind das 62,73%, bei der Erde 50,53%. Der letzte Wert ist klein, aber durchaus spürbar: Die Erde verbringt 3,88 Tage mehr jenseits der kleinen Achse als diesseits. Teilt man dieselbe exzentrische Bahn entlang einer anderen Linie, erklärt sich auch die unterschiedliche Länge der Jahreszeiten. Anfang Januar durchläuft die Erde ihr Perihel; deshalb fällt der schnelle Teil ihrer Bahn auf den Winter der Nordhalbkugel, der etwa fünf Tage kürzer ist als der Sommer. In die Herleitung gingen weder Umlaufzeit noch Masse oder Größe der Bahn ein, sondern allein ihre Form.

$\frac{A _{f}}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} : e = 0.400 \Rightarrow 62.73%, e = 0.0167 \Rightarrow 50.53%$

Lernpfad

Umlaufbahnen aus zwei Zahlen

Führt zu Vis-viva-Gleichung die Ellipse und die beiden Zahlen, die sie definieren: die große Halbachse und die Exzentrizität.

Quellen (2)

Kepler working from Tycho Brahe’s observations, and the laws themselves: J. Kepler, Astronomia Nova, 1609 — translated by W. H. Donahue as New Astronomy, Cambridge University Press, 1992. ISBN 978-0-521-30131-2.
Equal areas as conservation of angular momentum: H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, 3rd ed., §3.2. Addison-Wesley, 2002. ISBN 978-0-201-65702-9.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-03

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Beispielaufgaben

Erde - Erde: nahezu kreisförmige Bahn, e=0.017
Mars - Mars: spürbare Exzentrizität, e=0.093
Merkur - Merkur: höchste Exzentrizität unter den Planeten, e=0.206
Halleyscher Komet - Halleyscher Komet: stark exzentrisch, e=0.967