Umlaufzeitrechner

T = 2π√(a³/GM) — Keplers Drittes Gesetz verbindet Bahngröße mit Umlaufzeit

Rechenbeispiel — Umlaufzeitrechner

Umlaufzeit	1.54 h

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Die Bahnhöhe bestimmt die Umlaufzeit nicht 🖖

Das Feld heißt nicht ohne Grund große Halbachse: Die Exzentrizität kommt in T = 2π√(a³/GM) überhaupt nicht vor. Gib 42.164 km ein, und das Werkzeug liefert 23,94 h – den geostationären Kreis. Eine Ellipse, die im Perigäum bis auf 6.771 km herabreicht und im Apogäum auf 77.557 km hinausschwingt, hat dieselbe große Halbachse und damit dieselben 23,94 h – und das, obwohl sie den tiefsten Punkt mit 10,41 km/s durchfliegt und am höchsten Punkt auf 0,91 km/s dahinkriecht. Die ISS, kreisförmig auf ebendiesen 6.771 km, ist nach 1,54 h zurück.

Die Masse des umlaufenden Körpers fällt heraus 🖖

In der Formel T = 2π√(a³/GM) steht M, die Masse des Zentralkörpers, aber nicht die des Satelliten. Eine Feder und eine voll beladene Raumstation umkreisen die Erde in gleicher Höhe in exakt derselben Zeit. Die Umlaufzeit hängt nur davon ab, wie groß die Bahn ist und was man umkreist, nie davon, wie schwer man selbst ist.

Ein Tunnel durch die Erde hält Bahntakt 🖖

Lässt man eine Kugel in einen reibungsfreien Tunnel quer durch die Erde fallen, erreicht sie die andere Seite und kehrt in etwa 84.5 Minuten zurück. Genau das ist die Umlaufzeit eines Satelliten, der die Erdoberfläche streift. Beide folgen demselben √(R³/GM), sodass der „Gravitationszug" und die tiefstmögliche Umlaufbahn denselben Takt teilen.

Aufgabe vollständig gelöst

Zeit für eine Umrundung der ISS, die 400 km über dem Boden fliegt 5 Schritte
Die ISS fliegt 400 km über dem Boden. Bestimmen Sie, wie lange ein Umlauf dauert, und finden Sie dann die kürzeste Umlaufbahn, die die Erde überhaupt zulässt. Dies ist der Zustand ISS — große Halbachse 6771 km um die Erde — mit G = 6,674 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻², M = 5,972 × 10²⁴ kg und dem Erdradius R = 6371 km.
1. Eine Kreisbahn ist ein Gleichgewicht: Die Gravitation liefert genau die Zentripetalkraft, die der Kreis benötigt, nicht mehr und nicht weniger. Die eigene Masse des Satelliten kürzt sich aus dieser Gleichung heraus, weshalb eine lose Schraube und die Station, von der sie abgefallen ist, nebeneinander bleiben.
  
  $\frac{GM m}{a ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{a} ⟹ v = \frac{GM}{a}$
2. Die Umlaufdauer ist Weg durch Geschwindigkeit, sobald die Geschwindigkeit bekannt ist. Nichts vom Satelliten geht in das Ergebnis ein — nur die Größe der Umlaufbahn und die Masse des Planeten, und diese beiden gehen miteinander multipliziert als GM ein. Dieses Produkt ist es, was Umlaufbahnen messen; G und M sind einzeln bei Weitem nicht mit derselben Präzision bekannt.
  
  $T = \frac{2 π a}{v} = 2 π \frac{a ^{3}}{GM}, GM = (6.674 \times 1 0^{- 11}) (5.972 \times 1 0^{24}) = 3.986 \times 1 0^{14} m^{3} s^{- 2}$
3. 6771 km entsprechen dem Erdradius von 6371 km zuzüglich 400 km Höhe, da a vom Mittelpunkt aus gemessen wird und niemals vom Boden. Fünfzehneinhalb dieser Umläufe passen in einen Tag — 86 400/5545 = 15,58 — und der verbleibende Rest von 0,58 ist der Grund, warum die Station bei jedem Durchgang einen anderen Geländestreifen überfliegt, anstatt denselben erneut zu verfolgen.
  
  $T = 2 π \frac{( 6.771 \times 1 0 ^{6} ) ^{3}}{3.986 \times 1 0 ^{14}} = 5545 s = 1 h 32 m 25 s = 1.54 h$
4. Der einzige Bezug der Formel zum Abstand ist a^3/2, sodass ein Verhältnis zweier Umlaufzeiten weder G noch M benötigt. Das ist das dritte Keplersche Gesetz, und deshalb kann die obige Skalierungstabelle aus bloßen Multiplikatoren aufgebaut werden: Das Vierfache der großen Halbachse entspricht genau dem Achtfachen der Umlaufdauer, für jeden Satelliten eines jeden Planeten.
  
  $T \propto a^{3/2} : 2^{3/2} = 2.83, 4^{3/2} = 8 ⟹ 8 \times 1.54 = 12.32 h$
5. Lassen Sie die Umlaufbahn nun nach unten verlaufen. Unterhalb von a = R gibt es keine Umlaufbahn mehr, sodass dieser Radius eine Untergrenze für die Umlaufdauer festlegt — und der nützliche Schritt besteht darin, die Masse vor der Auswertung als Volumen mal Dichte zu schreiben. R³ erscheint dann sowohl im Zähler als auch innerhalb von M und kürzt sich heraus.
  
  $M = \frac{4}{3} π R^{3} ρ ⟹ T_{m i n} = 2 π \frac{R ^{3}}{GM} = \frac{3 π}{Gρ} : ρ_{\oplus} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{\frac{4}{3} π ( 6.371 \times 1 0 ^{6} ) ^{3}} = 5513 kg m^{- 3} \Rightarrow 5061 s = 84.4 min$
Antwort

Das Werkzeug gibt 1,54 h für die ISS aus und 12,32 h beim Vierfachen der großen Halbachse, ein Faktor von genau 8, da 4^3/2 = 8 ist, mit ×2,83 für eine Verdopplung, da 2^3/2 = 2,828 ist. Schritt 5 ist der Teil, den es nicht berechnet: Nichts kann die Erde in weniger als 84,4 Minuten umkreisen, und diese Untergrenze wird durch die mittlere Dichte der Erde von 5513 kg/m³ bestimmt und durch nichts anderes. Der Saturn ist neunmal breiter als die Erde, dennoch benötigt ein Raumfahrzeug, das seine Wolkenobergrenze streift, 4,0 Stunden statt eines Tages, weil die mittlere Dichte des Saturns 687 kg/m³ beträgt — ein Achtel der Dichte der Erde. Die schnellstmögliche Umlaufbahn ist daher eine Messung des darunter liegenden Bodens: Misst man die Zeit eines niedrigen Satelliten, hat man den Planeten pro Volumeneinheit gewogen, ohne jemals wissen zu müssen, wie groß er ist.

$T_{m i n} = \frac{3 π}{Gρ} ρ = 687 kg m^{- 3} \Rightarrow T_{m i n} = 3.98 h$

Lernpfad

Umlaufbahnen aus zwei Zahlen

Führt zu Hohmann-Transfer die Dauer einer kompletten Umrundung, abgeleitet allein aus der großen Halbachse.

Quellen (1)

Insight block 3 — the gravity train sharing a clock with the lowest orbit: P. W. Cooper, "Through the Earth in Forty Minutes." American Journal of Physics 34(1), 68–70, 1966.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

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Beispielaufgaben

ISS - ISS in ~400 km Höhe: T ≈ 92 min — umkreist die Erde 16-mal pro Tag
GPS-Satellit - GPS-Satelliten: T ≈ 12 h — jeder Satellit umrundet die Erde zweimal pro Tag
Geostationär - Geostationärer Orbit: T ≈ 24 h — erscheint fest über einem Punkt der Erde
Mond - Mond um die Erde: T ≈ 27.3 Tage — Ursprung des Wortes „Monat“
Merkur - Merkur um die Sonne: T ≈ 88 Tage — schnellster Planet
Erde (um Sonne) - Erde um die Sonne: T ≈ 365.25 Tage — definiert das Jahr
Mars (um Sonne) - Mars um die Sonne: T ≈ 687 Tage — fast zwei Erdjahre