Vis-Viva-Gleichung

Die Vis-Viva-Gleichung verknüpft Geschwindigkeit mit Position und Bahnform. Wähle einen Zentralkörper und gib die Bahnparameter ein.

Rechenbeispiel — Vis-Viva-Gleichung

Umlaufzeit	1.62 h

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Gleiche große Halbachse, gleiche Energie, gleiche Periode 🖖

Die Vis-Viva-Gleichung ist Energieerhaltung in Bahnform. An jedem Punkt gilt für die gesamte spezifische mechanische Energie ε = ½v² − GM/r = −GM/(2a) — eine Konstante, die nur von der großen Halbachse a bestimmt wird. Zwei Bahnen mit gleichem a, aber unterschiedlicher Exzentrizität, besitzen dieselbe Energie und dieselbe Umlaufzeit; die Exzentrizität formt nur die Bahnkurve, ohne das Energiebudget zu verändern. Die Geschwindigkeit ist im Perihel (minimale potenzielle Energie) am höchsten und im Aphel am niedrigsten. Die Fluchtbahn ist der Grenzfall a → ∞ mit v_esc = √(2GM/r) = √2 · v_c — genau das √2-Fache der Kreisbahngeschwindigkeit beim gleichen Radius.

Nur zwei Zahlen bestimmen die Geschwindigkeit 🖖

Die Vis-Viva-Gleichung besagt, dass die Geschwindigkeit eines umlaufenden Körpers nur von zwei Größen abhängt: seiner aktuellen Entfernung r vom Zentralkörper und der Gesamtgröße der Bahn, der großen Halbachse a. Setzt man beide in v = √(GM(2/r − 1/a)) ein, erhält man die Geschwindigkeit. Die eigene Masse des Körpers taucht nie auf — eine Büroklammer und eine Raumstation auf derselben Bahn fliegen exakt gleich schnell.

Der Name bedeutet 'lebendige Kraft' 🖖

Vis viva ist Latein für 'lebendige Kraft', der Begriff, den Leibniz in den 1680er-Jahren für die Größe mv² prägte — den Vorläufer der kinetischen Energie. Er löste einen jahrzehntelangen Streit mit Newtons Anhängern aus, die den Impuls mv für das wahre 'Maß der Bewegung' hielten. Beide Seiten hatten teilweise recht, und das v², das in dieser Gleichung überlebt, ist ein direktes Echo von Leibniz' lebendiger Kraft.

Aufgabe vollständig gelöst

Umlaufzeit und zwei extreme Geschwindigkeiten eines Molnija-Orbits um die Erde 5 Schritte
Ein Molnija-Orbit: große Halbachse 26 560 km, Exzentrizität 0,74, um die Erde. Bestimmen Sie seine Umlaufzeit und seine zwei extremen Geschwindigkeiten und anschließend die Zahl, auf die der Orbit eigentlich ausgelegt wurde — wie viel Zeit jedes Umlaufs weit außerhalb verbracht wird. Dies ist der Zustand Molnija (HEO) mit μ = GM = 3,986 × 10¹⁴ m³/s².
1. Die große Halbachse ist der Mittelwert der beiden extremen Radien, sodass die Exzentrizität sie symmetrisch aufteilt. Dieser Orbit streift an einem Ende 535 km über dem Boden und erreicht am anderen Ende 39 843 km, weiter entfernt als die geostationäre Umlaufbahn.
  
  $r_{p} = a (1 - e) = 26560 \times 0.26 = 6905.6 km, r_{a} = a (1 + e) = 26560 \times 1.74 = 46 214.4 km$
2. Die Umlaufzeit ignoriert all das. Das dritte Keplersche Gesetz berücksichtigt nur die große Halbachse, sodass diese Ellipse genau so lange dauert wie eine kreisförmige Umlaufbahn bei 26 560 km — und die Antwort ist der Auslegungspunkt, da 11,97 h ein halber siderischer Tag ist. Der Satellit verfolgt daher zweimal täglich dieselbe Bodenspur und kann nach einem festen Zeitplan an eine Bodenstation übergeben werden.
  
  $T = 2 π \frac{a ^{3}}{μ} = 2 π \frac{( 2.656 \times 1 0 ^{7} ) ^{3}}{3.986 \times 1 0 ^{14}} = 43079 s = 11.97 h$
3. Die Vis-Viva-Gleichung benötigt nur den aktuellen Radius und die Größe des Orbits, und die Periapsis liefert beides. Das Ergebnis entspricht 93 % der Geschwindigkeit, die ihn aus dieser Höhe die Erde verlassen ließe: Ein sehr exzentrischer Orbit ist am tiefsten Punkt beinahe eine Fluchtbahn.
  
  $v_{p} = μ (\frac{2}{r _{p}} - \frac{1}{a}) = 3.986 \times 1 0^{14} (\frac{2}{6.906 \times 1 0 ^{6}} - \frac{1}{2.656 \times 1 0 ^{7}}) = 10.021 km/s$
4. Dieselbe Gleichung am anderen Ende, bei der nur der Radius geändert wird, ergibt eine fast siebenmal kleinere Geschwindigkeit. Dieser Faktor ist keine neue Information — der Drehimpuls rv ist erhalten, sodass die beiden Geschwindigkeiten im umgekehrten Verhältnis zu den beiden Radien stehen müssen, und das Radienverhältnis wurde bereits durch e in Schritt 1 festgelegt.
  
  $v_{a} = μ (\frac{2}{r _{a}} - \frac{1}{a}) = 1.497 km/s, \frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{r _{a}}{r _{p}} = \frac{1 + e}{1 - e} = 6.69$
5. Langsam am höchsten Punkt bedeutet lange am höchsten Punkt, und das zweite Keplersche Gesetz macht dies exakt: gleiche Flächen in gleichen Zeiten, sodass ein Bruchteil der Umlaufzeit ein Bruchteil der Fläche ist. Die kleine Halbachse schneidet die Ellipse in zwei gleiche Hälften und kreuzt den Orbit genau dort, wo r = a ist, sodass die von der Erde auf der abgewandten Seite überstrichene Fläche diese Hälfte plus das Dreieck zwischen dem Brennpunkt und der Achse ist. Sowohl a als auch b kürzen sich aus dem Verhältnis heraus, sodass die Exzentrizität für sich allein übrig bleibt.
  
  $\frac{t _{r > a}}{T} = \frac{\frac{1}{2} π ab + ab e}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} = 0.5 + 0.2356 = 0.7355 ⟹ 0.7355 \times 11.97 = 8.80 h$
Antwort

Das Werkzeug gibt eine Umlaufzeit von 11,97 h, 10,021 km/s an der Periapsis und 1,497 km/s an der Apoapsis aus. Schritt 5 zeigt, wozu diese Zahlen dienen: 8,80 Stunden jedes 11,97-stündigen Orbits werden außerhalb von r = a verbracht und knapp 3,17 Stunden innerhalb davon. Drei Satelliten in versetzten Ebenen decken daher einen ganzen Tag mit mehr als zwei Stunden Überlappung ab, wodurch das sowjetische Molnija-Netzwerk den hohen Breitengraden Russlands ein durchgehendes Fernsehen ermöglichte — ein geostationärer Satellit steht auf diesen Breitengraden am Horizont und ist nutzlos. Und ½ + e/π enthält kein μ und kein a: Ein Orbit mit der Exzentrizität 0,74 um einen beliebigen Körper verbringt 73,6 % seiner Lebensdauer auf der abgewandten Seite.

$\frac{t _{r > a}}{T} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} (a, μ cancel)$

Lernpfad

Umlaufbahnen aus zwei Zahlen

Führt zu Umlaufzeit

Quellen (1)

The vis-viva equation and the energy-from-a alone result: R. R. Bate, D. D. Mueller and J. E. White, Fundamentals of Astrodynamics, §1.4–1.6. Dover, 1971. ISBN 978-0-486-60061-1.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

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Beispielaufgaben

LEO kreisförmig - LEO kreisförmig: v≈7.67 km/s
GEO (geostationär) - Eine geostationäre Umlaufbahn: 3,075 km/s in 42.164 km Höhe, mit einer Umlaufzeit von 23,94 h. Nicht 24. Das ist der Sterntag, die Zeit, die die Erde benötigt, um sich einmal relativ zu den Sternen zu drehen. Ihn genau einzuhalten, ist die einzige Voraussetzung dafür, fest über ein und demselben Punkt auf dem Boden zu verbleiben.
Molnija (HEO) - Bei r = a beträgt die Geschwindigkeit 3,874 km/s. Es lohnt sich jedoch, diese Umlaufbahn an ihren Extremen zu betrachten. Den 10,021 km/s in der Periapsis stehen 1,497 km/s in der Apoapsis gegenüber, ein Faktor von 6,7. Den Großteil seiner 11,97-stündigen Umlaufzeit verbringt der Satellit damit, im langsamen Abschnitt dahinzuschleichen. Genau dafür ist ein Molnija-Orbit gedacht.
Erde–Sonne-Umlaufbahn - Die eigene Umlaufbahn der Erde: 29,788 km/s, Umlaufzeit 365,22 d. Eine Exzentrizität von 0,017 klingt vernachlässigbar. Dennoch verändert sie die Geschwindigkeit um einen Kilometer pro Sekunde: 30,299 km/s im Perihel Anfang Januar stehen 29,286 km/s im Aphel Anfang Juli gegenüber.