Vis-Viva-Gleichung

Die Vis-Viva-Gleichung ist Energieerhaltung in Bahnform. An jedem Punkt gilt für die gesamte spezifische mechanische Energie ε = ½v² − GM/r = −GM/(2a) — eine Konstante, die nur von der großen Halbachse a bestimmt wird. Zwei Bahnen mit gleichem a, aber unterschiedlicher Exzentrizität, besitzen dieselbe Energie und dieselbe Umlaufzeit; die Exzentrizität formt nur die Bahnkurve, ohne das Energiebudget zu verändern. Die Geschwindigkeit ist im Perihel (minimale potenzielle Energie) am höchsten und im Aphel am niedrigsten. Die Fluchtbahn ist der Grenzfall a → ∞ mit v_esc = √(2GM/r) = √2 · v_c — genau das √2-Fache der Kreisbahngeschwindigkeit beim gleichen Radius.

Die Vis-Viva-Gleichung besagt, dass die Geschwindigkeit eines umlaufenden Körpers nur von zwei Größen abhängt: seiner aktuellen Entfernung r vom Zentralkörper und der Gesamtgröße der Bahn, der großen Halbachse a. Setzt man beide in v = √(GM(2/r − 1/a)) ein, erhält man die Geschwindigkeit. Die eigene Masse des Körpers taucht nie auf — eine Büroklammer und eine Raumstation auf derselben Bahn fliegen exakt gleich schnell.

Vis viva ist Latein für 'lebendige Kraft', der Begriff, den Leibniz in den 1680er-Jahren für die Größe mv² prägte — den Vorläufer der kinetischen Energie. Er löste einen jahrzehntelangen Streit mit Newtons Anhängern aus, die den Impuls mv für das wahre 'Maß der Bewegung' hielten. Beide Seiten hatten teilweise recht, und das v², das in dieser Gleichung überlebt, ist ein direktes Echo von Leibniz' lebendiger Kraft.