Der Tennisschlägersatz

Klick auf Mittlere Achse, ε 10⁻³. Der Körper hat Trägheitsmomente im Verhältnis 1 : 2 : 3 und dreht sich einmal pro Sekunde um Achse 2. Dabei entfällt ein Tausendstel dieser Drehung auf jede der beiden anderen Achsen. Bei 2,37 s liegt er auf der Seite und einen Moment später auf dem Kopf. Nach weiteren 4,38 s passiert es erneut, und er macht so weiter, solange die Simulation läuft. Der rote Pfeil ist sein Drehimpuls L, und er bewegt sich nicht. Nach 60 s liegen die Energie und |L| bei 1,000000 ihrer Startwerte. L ist im Raum um 5,9×10⁻¹⁰ seiner Länge gewandert, was der Eigenfehler des Integrators ist. Es wirkt kein Drehmoment, und das Überschlagen kostet keine Energie. Das zweite Panel zeigt den Grund, warum dies nur bei Achse 2 geschieht. Da E und |L| beide fest sind, kann sich die Richtung von L aus Sicht des Körpers nur auf einer der dort gezeichneten Kurven bewegen. Um ±1 und ±3 sind das kleine geschlossene Schleifen, sodass ein kleines Taumeln klein bleibt. Bei ±2 kreuzen sie sich in einem Sattel, und die Kurve durch einen Punkt nahe +2 führt bis ganz nach −2. Klick auf Größtes Moment, ε 10⁻³: Das gleiche Taumeln um Achse 3 ist eine flache Linie im dritten Panel. Es folgt kein Überschlag.

Klick auf Mittlere Achse, ε 10⁻⁶. Das ist derselbe Wurf, nur tausendmal sauberer ausgeführt. Die Überschläge kommen jetzt alle 8,19 s statt 4,38 s. Die Tabelle unter den Ergebnissen setzt das Muster fort: Unterhalb von 10⁻² fügt jeder Faktor zehn weniger Taumeln dieselben 1,27 s hinzu, durchgehend bis 10⁻¹². Das dritte Panel verrät die Ursache. Ein Taumeln um die mittlere Achse wächst wie e^λt, was logarithmisch eine gerade Linie ergibt. Nach jedem Überschlag schrumpft es umgedreht wieder auf etwa ε und muss dann erneut anwachsen. Der Fall auf ε dauert etwa ln(1/ε)/λ, der Aufstieg noch einmal so lange. Daher kostet jeder Faktor zehn bei ε genau 2 ln 10/λ. Das sind 1,27 s bei λ = 3,628 s⁻¹. Wenn du die Momente änderst, passt sich die Tabelle an: Unterhalb eines Taumelns von 10⁻² bleibt der Schritt innerhalb eines halben Prozents von 2 ln 10/λ. Genau deshalb überschlägt sich ein Smartphone, wenn du es wirfst. Klick auf Geworfenes Smartphone: Michael Wheatland und seine Kollegen berechneten die Momente eines iPhone 8 Plus aus seiner Masse und Größe als 1,04, 4,23 und 5,25 ×10⁻⁴ kg·m². Bei 17,002 rad/s beträgt sein λ genau 13,125 s⁻¹. Jeder Faktor zehn an Sorgfalt bringt hier 0,35 s, und ein Taumeln von 0,2 überschlägt das Gerät bei 0,32 s. Das Gyroskop ihres Smartphones zeichnete bei einem echten Wurf exakt diese Umkehr auf.

Klick auf Energieverlust, Achse 1. Achse 1, das kleinste Moment, war eben noch stabil. Jetzt weitet sich die Drehung darum langsam aus, kehrt sich bei 40,60 s um und stabilisiert sich um Achse 3, mit 0,333712 ihrer anfänglichen Energie und dem kompletten Drehimpuls. Innere Reibung kann einem rotierenden Körper Energie entziehen, aber sie kann seinen gesamten Drehimpuls L nicht ändern. Bei einem festen L ist die Energie L²/2I dort am geringsten, wo I am größten ist. Eine Drehung um Achse 1 trägt die meiste Energie, die L zulässt. Ein Leck wandert mit L also über die Kugel im zweiten Panel, über den Sattel, bis zu ±3. Explorer 1 erlebte das 1958. Es war ein langer, dünner Körper, der sich um seine Längsachse drehen sollte, die Achse der geringsten Trägheit. Er trug vier weiche Antennen und behielt diese Drehung nicht bei. Michael Efroimskys Paper über taumelnde Asteroiden aus dem Jahr 2001 beginnt damit. Der Energieverlust auf dieser Seite ist ein Modell mit exakt diesen beiden Eigenschaften: Energie fließt ab und L bleibt unangetastet, und zwar in einer Rate, die die Seite vorgibt. Es ist kein Modell der Antennen. Ohne Leck gehen die Überschläge in den ersten beiden Blöcken ewig weiter. Mit einem solchen Leck, wie J. A. de la Torre und Pep Español es ausdrückten, hätte man Dzhanibekovs Flügelmutter nach langer Zeit um ihre Hauptachse rotieren sehen.