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Roll-Wettrennen & Trägheitsmoment

Setze bis zu vier Körper auf eine Rampe und lass sie gleichzeitig los. Wähle für jeden Form, Masse und Größe. Neige die Rampe und stell die Reibung ein. Die Tabelle unter den Diagrammen berechnet dir für jeden Körper die Beschleunigung, die Zeit und den Verbleib der Energie.

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Lektion

Die Theorie — Roll-Wettrennen & Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment I gibt an, wie schwer es ist, einen Körper in Rotation zu versetzen, genau wie die Masse angibt, wie schwer er zu schieben ist. Für einen Körper mit Masse m und Radius r schreibt man I = k m r². Der Formfaktor k hängt dabei nur davon ab, wie die Masse verteilt ist: 2/5 für eine Vollkugel, 1/2 für einen Vollzylinder, 2/3 für eine dünne Hohlkugel und 1 für einen Ring. Ein Körper, der ohne zu rutschen rollt, wickelt exakt so viel seines Umfangs ab, wie er Strecke zurücklegt, v = ωr. Auf einer um den Winkel θ geneigten Rampe beschleunigt er mit a = g sin θ ÷ (1 + k).

Was die einzelnen Symbole bedeuten

k
der Formfaktor, I ÷ mr². Die einzige Eigenschaft des Körpers, die beim Rollen über seine Zeit entscheidet. Sobald er rutscht, spielt k keine Rolle mehr
I
das Trägheitsmoment in kg·m². Das rotierende Gegenstück zur Masse
a
die Beschleunigung die Rampe hinab. g sin θ beim reibungsfreien Gleiten, weniger für alles, was rollt
μ_s
die Haftreibung, also der Halt am Kontaktpunkt ohne zu rutschen. Rollen erfordert μs ≥ tan θ · k ÷ (1 + k)
μ_k
die Gleitreibung, die am Kontaktpunkt wirkt, sobald er rutscht. Meistens niedriger als μs

Masse und Größe kürzen sich heraus, die Form entscheidet 🖖

Klick auf Schwerer & leichter Zyl. Ein Zylinder wiegt 5 kg, der andere 0,2 kg. Einer hat den fünffachen Radius des anderen. Sie überqueren die Ziellinie zusammen nach exakt 1,537 s. Ein schwererer Körper wird stärker angezogen, lässt sich aber im exakt gleichen Verhältnis schwerer beschleunigen. Ein größerer Körper derselben Form hat ein um den Faktor r² größeres Trägheitsmoment, dreht sich jedoch nur 1/r-mal so schnell. Seine Rotationsenergie ½Iω² = ½kmv² ist also trotzdem proportional zu seiner Masse. Übrig bleibt eine einzige Zahl für die Form: k = I ÷ mr². Die Beschleunigung ist g sin θ ÷ (1 + k). Klick auf Klassisches 4er-Rennen: Die Vollkugel (k = 0,4) schlägt den Vollzylinder (0,5). Dieser schlägt die Hohlkugel (0,667), und die Hohlkugel besiegt den Ring (1). Jede Vollkugel, die ohne zu rutschen rollt, braucht auf dieser Rampe 1,485 s.

Ein Ring steckt die Hälfte seiner Energie in die Rotation 🖖

Die Energiebalken zeigen dir, wohin die verlorene Höhe jedes Körpers fließt. Alles, was rollt, muss die Energie zwischen der Bewegung bergab und der Drehung aufteilen. Der Anteil für die Rotation beträgt k ÷ (1 + k): 28,6% bei der Vollkugel und exakt 50% beim Ring, da seine gesamte Masse außen am Rand liegt. Energie, die in die Drehung fließt, fehlt bei der Geschwindigkeit. Nur deshalb verliert der Ring. Klick auf Suppendosen. Die Dose mit Flüssigkeit gewinnt in 1,316 s. Im Grenzfall dieses Modells dreht sich die Flüssigkeit nämlich nicht mit der Dose mit: Nur das Blech rotiert, und 9,1% der Energie fließen in die Drehung. Machst du den Inhalt derselben Dose fest, braucht sie 1,563 s. Die leere Dose ist in diesem Modell oben und unten offen, wirkt also wie ein Ring und kommt als Letzte ins Ziel.

Auf Eis rutscht der langsamste Körper zuerst – und Rutschen kann gewinnen 🖖

Rollen braucht Halt, und der Ring braucht den meisten. Er kann nur rollen, solange die Rampe flacher ist als sein kritischer Winkel. Dieser liegt bei einer Reibung von 0,1 bei 11,31°, verglichen mit 19,29° bei der Vollkugel. Klick auf Eisige Rampe. Bei 15° rutschen Ring und Hohlkugel. Sie stecken weniger Energie in die Rotation und werden schneller. Trotzdem kommen sie hinter den beiden rollenden Körpern an. Bei einem einzigen Reibungskoeffizienten ist das immer so: Ein rutschender Körper ist bestenfalls so schnell wie ein rollender und überholt ihn nie. Die meisten echten Oberflächen bieten im Stand mehr Halt als beim Gleiten. Klick auf Rutschring überholt, wo die Haftreibung 0,3 und die Gleitreibung 0,1 beträgt. Hier kommt der rutschende Ring nach 0,849 s ins Ziel, während die rollende Kugel 0,942 s braucht.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Eine Kugel und ein Ring auf derselben Rampe 4 Schritte

    Eine Vollkugel und ein Ring werden aus dem Stand gleichzeitig am oberen Ende einer 2 m langen und um 15° geneigten Rampe losgelassen. Beide rollen, ohne zu rutschen. Finde heraus, wie lange jeder Körper bis nach unten braucht und wie weit der Ring zurückliegt, wenn die Kugel das Ziel erreicht. Nimm g = 9,81 m/s² an. Klick auf Klassisches 4er-Rennen, um dein Ergebnis zu überprüfen.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    1. Der Hangabtrieb der Schwerkraft ist für beide gleich:

    2. Für die Beschleunigung teilst du diesen Wert für jeden Körper durch eins plus seinen Formfaktor:

    3. Aus dem Stand gilt s = ½at², die Zeit für 2 m ist also:

    4. Wenn die Kugel ins Ziel kommt, hat der Ring erst ½ a_Ring t_Kugel² zurückgelegt:

    Antwort

    Die Kugel braucht 1,485 s und der Ring 1,775 s. Wenn die Kugel die Ziellinie überquert, fehlen dem Ring noch 0,600 m, also fast ein Drittel der Rampe. Weder Masse noch Radius kamen in der Rechnung vor. Das gleiche Ergebnis gilt für jede gleichmäßige Vollkugel, egal ob Murmel oder Bowlingkugel.

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.