2D-Eigenvektor-Explorer

Wirkung der Matrix auf Basisvektoren und den transformierten Einheitskreis

Rechenbeispiel — 2D-Eigenvektor-Explorer

Eigenvektor-Regel	0wir lösen sie nach λ
Flächenskalierung \|det\|	3

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Spur und Determinante bestimmen gemeinsam die Eigenwerte 🖖

Zwei der vier eingegebenen Zahlen bestimmen die Eigenwerte. Die charakteristische Gleichung lautet λ² − (Spur)λ + det = 0; Spur und Determinante legen also gemeinsam beide Nullstellen fest. Das Vorzeichen von tr² − 4det zeigt dann, welcher von drei Fällen vorliegt: zwei reelle Eigenrichtungen, eine oder keine. Das Feld zeigt alle drei Zahlen an. Spiegelung und Achsenvertauschung haben beide die Spur 0 und die Determinante −1, also auch dieselben Eigenwerte 1 und −1. Trotzdem sind es verschiedene Abbildungen, denn der übrige Unterschied steckt in den Eigenvektoren.

Die Pfeile, die sich weigern zu drehen 🖖

Wendest du die Matrix auf die meisten Vektoren an, drehen sie sich in eine völlig neue Richtung. Eigenvektoren sind die besonderen Vektoren, die auf ihrer eigenen Geraden bleiben: Die Abbildung streckt oder staucht sie nur um einen bestimmten Faktor, den Eigenwert, und dreht sie möglicherweise um 180°. Legst du einen Vektor auf eine grüne Eigenvektorgerade, hält diese Matrix ihn dort, sooft du sie auch anwendest. Diese Geraden bilden das feste Gerüst der Abbildung.

Google wurde auf einem riesigen Eigenvektor gebaut 🖖

Dasselbe Prinzip steckt hinter dem ursprünglichen PageRank von Google. Betrachte das gesamte Web als eine riesige Matrix aus Verknüpfungen: Der Vektor mit den Rängen aller Seiten ist der dominante Eigenvektor, also die einzige unveränderliche Richtung, die endloses zufälliges Klicken überdauert. Was du hier in 2D veränderst, ist die Spielzeugversion einer Berechnung, die einst auf Milliarden von Seiten angewandt wurde.

EIGENVEKTOREN — WELCHE RICHTUNGEN ÜBERSTEHEN DIE ABBILDUNG?

In welchem Eigenvektor-Fall bist du?

Ein Eigenvektor ist eine Richtung, die die Matrix nicht dreht: Sie streckt sie nur, um den Eigenwert λ. Ob es solche Richtungen überhaupt gibt, entscheidet eine einzige Zahl, die Diskriminante Δ = Spur(A)² − 4·det(A). Positiv liefert zwei davon, null liefert eine, negativ keine in der reellen Ebene. Orthogonalität, Spiegelung und Drehung folgen daraus, wo deine Matrix in dieser Einteilung landet.

Δ > 0 — zwei reelle Richtungen, und die Symmetrie stellt sie senkrecht Δ > 0 ⇒ λ₁, λ₂ ∈ ℝ

Ein negativer Eigenwert — die Richtung bleibt, zeigt aber andersherum det < 0 ⇒ λ = ±1

Δ = 0 — ein Eigenwert doppelt, und nur eine Richtung dazu Δ = 0 ⇒ λ₁ = λ₂

Δ < 0 — eine Drehung, und gar kein reeller Eigenvektor Δ < 0 ⇒ λ ∈ ℂ

Δ > 0 — zwei reelle Richtungen, und die Symmetrie stellt sie senkrecht

Was du weißt: Die Diskriminante ist positiv, es gibt also zwei verschiedene reelle Eigenwerte und zwei unabhängige Eigenrichtungen. Ist die Matrix symmetrisch, also a₁₂ = a₂₁, stehen diese Richtungen stets im rechten Winkel zueinander.

Test: Δ > 0 ⇒ λ₁, λ₂ ∈ ℝ

Rechenbeispiel: A = [[2, 1], [1, 2]]: Spur = 4, det = 3, Δ = 16 − 12 = 4 → λ = 3 entlang (1, 1) und λ = 1 entlang (1, −1)

Diesen Fall öffnen: symmetrische Streckung

Δ > 0 — zwei reelle Richtungen, und die Symmetrie stellt sie senkrecht. Zwei senkrechte Richtungen überstehen die Abbildung, alles andere wird zur stärkeren hin gezogen. Die Diskriminante ist positiv, es gibt also zwei verschiedene reelle Eigenwerte und zwei unabhängige Eigenrichtungen. Ist die Matrix symmetrisch, also a₁₂ = a₂₁, stehen diese Richtungen stets im rechten Winkel zueinander. — Zwei senkrechte Richtungen überstehen die Abbildung, alles andere wird zur stärkeren hin gezogen.

Ein negativer Eigenwert — die Richtung bleibt, zeigt aber andersherum

Was du weißt: Wieder zwei reelle Eigenwerte, aber einer ist negativ, also det < 0. Vektoren entlang dieser Richtung kommen umgekehrt zurück, und die ganze Ebene wird gespiegelt.

Test: det < 0 ⇒ λ = ±1

Rechenbeispiel: A = [[1, 0], [0, −1]]: Spur = 0, det = −1, Δ = 4 → λ = 1 entlang (1, 0) und λ = −1 entlang (0, 1)

Diesen Fall öffnen: Spiegelung

Ein negativer Eigenwert — die Richtung bleibt, zeigt aber andersherum. Eine Achse bleibt unberührt, die andere wird in sich selbst zurückgeschickt: ein Spiegel. Wieder zwei reelle Eigenwerte, aber einer ist negativ, also det < 0. Vektoren entlang dieser Richtung kommen umgekehrt zurück, und die ganze Ebene wird gespiegelt. — Eine Achse bleibt unberührt, die andere wird in sich selbst zurückgeschickt: ein Spiegel.

Δ = 0 — ein Eigenwert doppelt, und nur eine Richtung dazu

Was du weißt: Die Diskriminante ist genau null, die beiden Eigenwerte fallen also zusammen. Ein doppelter Eigenwert verspricht keine zwei Richtungen: Hier gibt es nur eine, und die Matrix ist nicht diagonalisierbar.

Test: Δ = 0 ⇒ λ₁ = λ₂

Rechenbeispiel: A = [[1, 1], [0, 1]]: Spur = 2, det = 1, Δ = 4 − 4 = 0 → λ = 1 doppelt, mit (1, 0) als einziger Eigenrichtung

Diesen Fall öffnen: nur Scherung

Δ = 0 — ein Eigenwert doppelt, und nur eine Richtung dazu. Die waagerechte Achse bleibt fest, jede andere Richtung wird gekippt — einen zweiten Eigenvektor gibt es nicht. Die Diskriminante ist genau null, die beiden Eigenwerte fallen also zusammen. Ein doppelter Eigenwert verspricht keine zwei Richtungen: Hier gibt es nur eine, und die Matrix ist nicht diagonalisierbar. — Die waagerechte Achse bleibt fest, jede andere Richtung wird gekippt — einen zweiten Eigenvektor gibt es nicht.

Δ < 0 — eine Drehung, und gar kein reeller Eigenvektor

Was du weißt: Eine negative Diskriminante bedeutet ein komplex konjugiertes Eigenwertpaar. Geometrisch dreht die Matrix die Ebene, und eine Drehung lässt keine Richtung dort zeigen, wo sie begann.

Test: Δ < 0 ⇒ λ ∈ ℂ

Rechenbeispiel: A = [[0, −1], [1, 0]]: Spur = 0, det = 1, Δ = −4 → λ = ±i, eine Vierteldrehung ohne reellen Eigenvektor

Diesen Fall öffnen: Rotation

Δ < 0 — eine Drehung, und gar kein reeller Eigenvektor. Jeder Pfeil verlässt seine eigene Gerade, für einen reellen Eigenvektor bleibt also nichts übrig. Eine negative Diskriminante bedeutet ein komplex konjugiertes Eigenwertpaar. Geometrisch dreht die Matrix die Ebene, und eine Drehung lässt keine Richtung dort zeigen, wo sie begann. — Jeder Pfeil verlässt seine eigene Gerade, für einen reellen Eigenvektor bleibt also nichts übrig.

Quellen (1)

Insight block 3 — the dominant eigenvector Google was built on: S. Brin and L. Page, "The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine." Computer Networks and ISDN Systems 30(1–7), 107–117, 1998.

Aufgabe vollständig gelöst

Zehnfache Anwendung einer Transformation mit den berechneten Eigenvektoren 7 Schritte
Die Tafel leitet die Eigenwerte für dich her: Spur, Determinante, Diskriminante — heraus kommen 3 und 1. Überspringe diesen Weg vollständig. Finde zuerst die Eigenvektoren, indem du die Matrix ansiehst, und nutze sie dann für etwas, das das Werkzeug gar nicht kann: wende die Abbildung zehnmal an.
1. Die Matrix ist symmetrisch, und die Symmetrie verrät, wo man suchen muss. Probiere die Diagonale: A schickt (1, 1) nach (3, 3) — derselbe Pfeil, dreimal so lang. Also ist (1, 1) eine Eigenrichtung und 3 ihr Eigenwert. Eine Multiplikation, kein charakteristisches Polynom.
  
  $A (11) = (2 + 1 1 + 2) = (33) = 3 (11)$
2. Probiere die andere Diagonale. A lässt (1, −1) genau dort, wo es war; das ist die zweite Eigenrichtung, mit Eigenwert 1. Mehr als zwei unabhängige Richtungen hat eine 2×2-Matrix nicht, die Suche ist also beendet — und das Paar stimmt mit dem überein, was die Tafel druckt.
  
  $A (1 - 1) = (2 - 1 1 - 2) = (1 - 1) = 1 \cdot (1 - 1)$
3. Sie stehen senkrecht aufeinander, und das ist kein Glück: eine symmetrische Matrix hat immer orthogonale Eigenrichtungen. Genau diese Tatsache gibt der nächste Schritt aus, denn sie erlaubt, den Basiswechsel mit einer Transposition statt mit einer Inversion rückgängig zu machen.
  
  $(11) \cdot (1 - 1) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0$
4. Skaliere beide auf Länge 1 und stelle sie als Spalten in Q. Orthonormale Spalten machen Qᵀ zur Inversen von Q, also zerfällt A in eine Drehung, eine Streckung entlang der Achsen und die zurückgenommene Drehung.
  
  $Q = \frac{1}{2} (11 1 - 1), Λ = (3001), A = Q Λ Q^{T}, Q^{T} = Q^{- 1}$
5. Jetzt der Ertrag. Multipliziere diese Zerlegung mit sich selbst: jedes innere QᵀQ fällt zur Einheitsmatrix zusammen und übrig bleiben Q, die n-te Potenz einer Diagonalmatrix und Qᵀ. Eine Diagonalmatrix zu potenzieren heißt, jeden Eintrag zu potenzieren — und genau deshalb diagonalisiert man überhaupt.
  
  $A^{n} = (Q Λ Q^{T})^{n} = Q Λ^{n} Q^{T} = \frac{1}{2} (3^{n} + 1 3^{n} - 1 3^{n} - 1 3^{n} + 1)$
6. Setze n = 10. Nur 3¹⁰ leistet Arbeit; der andere Eigenwert ist 1, und 1 hoch irgendetwas bleibt 1, trägt also genauso viel bei wie am Anfang.
  
  $n = 10 : 3^{10} = 59049 ⟹ A^{10} = \frac{1}{2} (59050590485904859050) = (29525295242952429525)$
7. Dieselbe Zerlegung sagt auch, was mit einem beliebigen Pfeil geschieht, nicht nur mit der Matrix. Zerlege ihn entlang der beiden Eigenrichtungen: jede Anwendung multipliziert den einen Teil mit 3 und lässt den anderen unberührt, sodass sich ihr Verhältnis jedes Mal um den Faktor 3 verschiebt.
  
  $v = c_{1} (11) + c_{2} (1 - 1) ⟹ \frac{c _{2} \cdot 1 ^{n}}{c _{1} \cdot 3 ^{n}} = \frac{c _{2}}{c _{1}} 3^{- n}, 3^{- 10} = \frac{1}{59 049}$
Antwort

A¹⁰ trägt 29.525 auf der Diagonalen und 29.524 daneben — ein Unterschied von 1 zu 29.525. Diese Fast-Gleichheit ist genau das Bild oben, vorwärts erzählt. Der (1, −1)-Anteil jedes Startpfeils wird bei jeder Anwendung durch 3 geteilt, nach zehn ist er also 1/59.049 seines Ausgangswerts, und alles legt sich schließlich auf (1, 1). Das Werkzeug zeigt eine Anwendung. Die Eigenwerte machen daraus alle — und sagen, wie schnell.

$A^{n} = \frac{1}{2} (3^{n} + 1 3^{n} - 1 3^{n} - 1 3^{n} + 1); A^{10} = (29525295242952429525), 3^{- 10} = \frac{1}{59 049}$

Lernpfad

Matrizen, die Dinge bewegen

Führt zu Singulärwertzerlegung die Richtungen, die von der Transformation nicht gedreht werden, sowie den Faktor, um den sie jeweils gestreckt werden.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-27

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

symmetrische Streckung - Eigenwerte 3 und 1 in den Richtungen (1, 1) und (1, -1). Eine symmetrische Matrix hat stets senkrechte Eigenrichtungen; in der Aufgabe unten wird diese Matrix in die zehnte Potenz erhoben.
nur Scherung - Die Diskriminante ist 0. Daher sind beide Eigenwerte 1, und es gibt nur eine Eigenrichtung: die x-Achse. Eine Scherung lässt sich nicht diagonalisieren.
Rotation - Eine Vierteldrehung: tr² - 4det = -4, die Eigenwerte sind ±i, und kein reeller Pfeil zeigt nach der Abbildung noch in seine ursprüngliche Richtung.
Spiegelung - Spur 0, Determinante -1, Eigenwerte 1 und -1 entlang der beiden Achsen. Die negative Determinante verrät die Spiegelung: Der Flächeninhalt bleibt erhalten, die Orientierung kehrt sich um.
anisotrope Streckung - Eigenwerte 3 und 0,5: In x-Richtung wird sechsmal so stark gestreckt wie in y-Richtung. Die Determinante beträgt 1,5, daher wächst jeder Flächeninhalt um die Hälfte.
Achsen vertauschen - Dieselbe Spur 0 und Determinante -1 wie bei der Spiegelung, also auch dieselben Eigenwerte 1 und -1. Das Vertauschen der Achsen ist ebenfalls eine Spiegelung, und zwar an der Geraden y = x.

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3Blue1Brown·Eigenvectors and eigenvalues | Chapter 14, Essence of linear algebra