2D-Eigenvektor-Explorer
Wirkung der Matrix auf Basisvektoren und den transformierten Einheitskreis
die Eigenstruktur ist der Fingerabdruck der Abbildung 🖖
Spur und Determinante schränken die Eigenwerte global ein, während die Eigenvektoren die invarianten Unterräume festlegen. Zusammen bilden sie einen minimalen dynamischen Fingerabdruck der linearen Abbildung.
Die Pfeile, die sich weigern zu drehen 🖖
Wendet man die Matrix auf die meisten Vektoren an, schwenken sie in eine völlig neue Richtung. Eigenvektoren sind die Besonderen, die auf ihrer eigenen Geraden bleiben — die Abbildung streckt oder staucht sie nur um eine Zahl, den Eigenwert, und kann sie um 180° umklappen. Konkret: Lege einen Vektor auf eine grüne Eigenvektor-Gerade, und jede Transformation lässt ihn entlang dieser Geraden zeigen — diese Geraden sind das feste Skelett der Abbildung.
Google wurde auf einem riesigen Eigenvektor gebaut 🖖
Dieselbe Idee steckt hinter Googles ursprünglichem PageRank. Betrachtet man das gesamte Web als eine einzige gewaltige Matrix aus Links, ist der Rang jeder Seite im Wesentlichen der dominante Eigenvektor — die einzige invariante Richtung, die endloses zufälliges Klicken überlebt. Was du hier in 2D verschiebst, ist die Spielzeugversion einer Rechnung, die einst über Milliarden Seiten lief. Die Eigenvektor-Zentralität bewertet Einfluss in sozialen Netzwerken genauso.
Beispielaufgaben
- symmetrische Streckung - Eine symmetrische Matrix besitzt zwei reelle, orthogonale Eigenrichtungen.
- nur Scherung - Eine Schermatrix hat einen doppelten Eigenwert mit nur einer dominanten Eigenrichtung.
- Rotation - Eine reine Rotation besitzt komplexe Eigenwerte und keine reellen Eigenvektoren.
- Spiegelung - Eine Spiegelung kehrt eine Achse um und lässt die andere unverändert.
- anisotrope Streckung - anisotrope Streckung
- Achsen vertauschen - Achsen vertauschen