Matrixtransformations-Visualizer

Gib eine 2×2-Matrix ein und beobachte, wie sie die Koordinatenebene transformiert.

Rechenbeispiel — Matrixtransformations-Visualizer

det(A)	1.0000
tr(A)	2.0000
Eigenwerte	1.000, 1.000
Flächenskalierung	1.0000

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Eine Determinante von Null zerstört Information 🖖

Die Determinante ist nicht nur ein Flächenfaktor — ihr Wert sagt auch, ob die Abbildung überhaupt umkehrbar ist. Negativ bedeutet, dass die Ebene umgeklappt wurde: eine im Uhrzeigersinn gezeichnete Figur kommt gegen den Uhrzeigersinn heraus. Null bedeutet, dass die ganze Ebene auf eine einzige Gerade zusammengedrückt wurde, und das ist fatal: unzählige verschiedene Ausgangspunkte liegen danach am selben Ziel, also könnte keine Regel sie dorthin zurückschicken, wo sie herkamen. Genau deshalb hat eine Matrix mit Determinante 0 keine Inverse. Das Zusammendrücken ist das Einzige, was eine lineare Abbildung tun kann und was sich nicht rückgängig machen lässt.

Die Spalten verraten alles 🖖

Eine 2×2-Matrix ist im Grunde nur eine Anweisung für zwei Pfeile. Ihre erste Spalte zeigt, wohin der Pfeil (1, 0) wandert, die zweite, wohin (0, 1) wandert. Weil Geraden gerade bleiben und das Gitter gleichmäßig geteilt bleibt, legen diese beiden Ziele fest, wohin jeder andere Punkt geht. Um eine Transformation vorherzusagen, liest man einfach ihre Spalten.

Drehungen haben keine Vorzugsrichtung 🖖

Streckungen und Scherungen lassen mindestens eine Linie in ihrer ursprünglichen Richtung — einen Eigenvektor. Eine reine Drehung dagegen kippt jede Richtung und besitzt gar keine reellen Eigenvektoren; ihre Eigenwerte sind das komplexe Paar cos θ ± i·sin θ. Das ist genau das e^iθ, mit dem man komplexe Zahlen multipliziert — die Ebene zu drehen und mit einer komplexen Zahl vom Betrag 1 zu multiplizieren ist dieselbe Operation.

LINEARE ABBILDUNGEN — EINE 2×2-MATRIX LESEN, BEVOR MAN RECHNET

Was macht diese Matrix mit der Ebene?

Jede 2×2-Matrix bewegt die ganze Ebene auf einmal, und ihre Spalten sagen wie: Die erste Spalte ist der Landeplatz von (1, 0), die zweite der von (0, 1). Die Determinante meldet, was mit Fläche und Orientierung geschehen ist, und die Eigenvektoren benennen die Richtungen, die unverdreht herauskommen. Fünf Muster decken fast alles ab, was dir begegnet.

Drehung — jede Richtung dreht sich, nichts wird gedehnt [cosθ −sinθ; sinθ cosθ]

Skalierung — jede Achse mit eigenem Faktor gedehnt [k₁ 0; 0 k₂], det = k₁k₂

Scherung — eine Gerade bleibt stehen, der Rest rutscht [1 k; 0 1], det = 1

Spiegelung — die Ebene wird an einer Achse umgeklappt det = −1

Singulär — die Ebene wird auf eine Gerade plattgedrückt det = 0

Drehung — jede Richtung dreht sich, nichts wird gedehnt

Was du weißt: Die Spalten sind zueinander senkrechte Einheitsvektoren, die zweite ist die erste um eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn gedreht. det = +1, also bleiben Fläche und Orientierung unangetastet.

Matrix: [cosθ −sinθ; sinθ cosθ]

Rechenbeispiel: θ = 45° → [0,707 −0,707; 0,707 0,707] → (1, 0) landet bei (0,707, 0,707), und jede Länge bleibt, wie sie war

Diesen Fall öffnen: Drehung um 45°

Drehung — jede Richtung dreht sich, nichts wird gedehnt. Das Einheitsquadrat behält Größe und Form und kommt um 45° gekippt an. Die Spalten sind zueinander senkrechte Einheitsvektoren, die zweite ist die erste um eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn gedreht. det = +1, also bleiben Fläche und Orientierung unangetastet. — Das Einheitsquadrat behält Größe und Form und kommt um 45° gekippt an.

Skalierung — jede Achse mit eigenem Faktor gedehnt

Was du weißt: Die Matrix ist diagonal: Beide Nebendiagonaleinträge sind null. Jede Achse wird mit ihrer eigenen Zahl multipliziert, und det = k₁·k₂ ist der Flächenfaktor.

Matrix: [k₁ 0; 0 k₂], det = k₁k₂

Rechenbeispiel: [2 0; 0 0,5] → x verdoppelt sich, y halbiert sich → det = 2 × 0,5 = 1, die Fläche bleibt also gleich, die Form nicht

Diesen Fall öffnen: Skalierung

Skalierung — jede Achse mit eigenem Faktor gedehnt. Aus dem Quadrat wird ein Rechteck: doppelt so breit, halb so hoch, gleiche Fläche. Die Matrix ist diagonal: Beide Nebendiagonaleinträge sind null. Jede Achse wird mit ihrer eigenen Zahl multipliziert, und det = k₁·k₂ ist der Flächenfaktor. — Aus dem Quadrat wird ein Rechteck: doppelt so breit, halb so hoch, gleiche Fläche.

Scherung — eine Gerade bleibt stehen, der Rest rutscht

Was du weißt: Beide Diagonaleinträge sind 1 und genau ein Nebendiagonaleintrag ist ungleich null. det = 1, die Fläche bleibt also erhalten, starr ist hier aber nichts.

Matrix: [1 k; 0 1], det = 1

Rechenbeispiel: [1 1; 0 1] → (1, 0) bleibt liegen, (0, 1) rutscht auf (1, 1) → das Quadrat kippt zu einem Parallelogramm gleicher Fläche

Diesen Fall öffnen: Scherung

Scherung — eine Gerade bleibt stehen, der Rest rutscht. Grundlinie fest, Oberkante verschoben: gleiche Grundlinie, gleiche Höhe, gleiche Fläche. Beide Diagonaleinträge sind 1 und genau ein Nebendiagonaleintrag ist ungleich null. det = 1, die Fläche bleibt also erhalten, starr ist hier aber nichts. — Grundlinie fest, Oberkante verschoben: gleiche Grundlinie, gleiche Höhe, gleiche Fläche.

Spiegelung — die Ebene wird an einer Achse umgeklappt

Was du weißt: det = −1. Der Betrag 1 sagt, dass die Fläche erhalten bleibt; das Minuszeichen sagt, dass die Orientierung umgekehrt wird.

Matrix: det = −1

Rechenbeispiel: [−1 0; 0 1] → (1, 0) wird zu (−1, 0), (0, 1) bleibt → jeder Punkt wird an der y-Achse gespiegelt

Diesen Fall öffnen: Spiegelung

Spiegelung — die Ebene wird an einer Achse umgeklappt. Das Quadrat landet jenseits der Spiegelachse, mit umgekehrter Eckenreihenfolge. det = −1. Der Betrag 1 sagt, dass die Fläche erhalten bleibt; das Minuszeichen sagt, dass die Orientierung umgekehrt wird. — Das Quadrat landet jenseits der Spiegelachse, mit umgekehrter Eckenreihenfolge.

Singulär — die Ebene wird auf eine Gerade plattgedrückt

Was du weißt: det = 0: Die beiden Spalten sind Vielfache voneinander und zeigen daher entlang einer einzigen Geraden. Die Matrix hat keine Inverse.

Matrix: det = 0

Rechenbeispiel: [1 2; 0,5 1] → det = 1·1 − 2·0,5 = 0 → die ganze Ebene landet auf der Geraden y = x/2, und die Richtung (2, −1) wird auf den Ursprung gedrückt

Diesen Fall öffnen: Singulär

Singulär — die Ebene wird auf eine Gerade plattgedrückt. Dem Quadrat bleibt keine Fläche: Jeder Punkt liegt auf einer Geraden durch den Ursprung. det = 0: Die beiden Spalten sind Vielfache voneinander und zeigen daher entlang einer einzigen Geraden. Die Matrix hat keine Inverse. — Dem Quadrat bleibt keine Fläche: Jeder Punkt liegt auf einer Geraden durch den Ursprung.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Einheitsmatrix und eine Scherung mit identischen Eigenwerten 5 Schritte
Die Einheitsmatrix und eine Scherung liefern dieselbe Determinante, dieselbe Spur und dasselbe Eigenwertpaar. Alle vier Zeilen oben sind für beide identisch. Beweisen Sie, dass sich die Matrizen dennoch unterscheiden — und zwar mit demselben Eigenwert-Instrumentarium, das gerade daran gescheitert ist, sie zu trennen.
1. Beide haben die Determinante 1 und die Spur 2. Für die Einheitsmatrix ist das offensichtlich. Für die Scherung sagt dies etwas Reelles aus: Das seitliche Verschieben der Ebene proportional zur Höhe erhält jeden Flächeninhalt, weshalb das Parallelogramm im Bild seine Form ändert, ohne seine Größe zu verändern.
  
  $I = (1001), S = (1011) : det = 1, tr = 2$
2. Das charakteristische Polynom setzt sich aus genau diesen beiden Zahlen zusammen, sodass es sie ebenfalls nicht trennen kann. Beide ergeben (λ − 1)², eine doppelte Nullstelle bei 1. Zwei verschiedene Matrizen, ein Spektrum.
  
  $λ^{2} - (tr A) λ + det A = λ^{2} - 2 λ + 1 = (λ - 1)^{2} ⟹ λ = 1, 1$
3. Eigenwerte sind der Punkt, an dem die meisten Kurse aufhören. Eigenvektoren sind der Punkt, an dem sich die beiden trennen. Für die Einheitsmatrix ist A − λI die Nullmatrix, sodass die Gleichung von jedem Vektor in der Ebene erfüllt wird.
  
  $(I - λ I) v = 0 : 0 v = 0 for every v ⟹ ker = R^{2}$
4. Für die Scherung weist A − λI einen verbleibenden Eintrag auf, der y = 0 erzwingt. Nur die horizontale Achse bleibt fixiert — eine Gerade, keine Ebene.
  
  $(S - λ I) v = (0010) (x y) = (y 0) = 0 ⟹ y = 0$
5. Dieser Unterschied hat einen Namen und eine Konsequenz. Der Eigenwert der Scherung hat die algebraische Vielfachheit 2, aber die geometrische Vielfachheit 1, was die Matrix defekt macht: Es gibt keine Basis aus Eigenvektoren, sodass sie nicht diagonalisiert werden kann. Ihre Potenzen wachsen linear an, während jene der Einheitsmatrix unverändert bleiben.
  
  $dim ker (I - λ I) = 2 \neq = dim ker (S - λ I) = 1, S^{n} = (10 n 1)$
Antwort

Jeder vom Werkzeug angezeigte Wert — det = 1,0000, tr = 2,0000, λ = 1,000, 1,000 — ist beiden Matrizen gemeinsam. Setzen Sie b auf 1 und beobachten Sie, wie sich die Anzeige weigert zu reagieren, während das Gitter sichtbar gleitet. Dass die Invarianten unvollständig sind, ist kein Zufall: Determinante und Spur sind zwei Zahlen und eine 2×2-Matrix besitzt vier, sodass irgendwo zwei Freiheitsgrade verloren gehen müssen. Was sie nicht erfassen können, ist die Dimension des Eigenraums, 2 gegenüber 1 — und genau das entscheidet darüber, ob Aⁿ unverändert bleibt oder unbeschränkt wächst. Deshalb ist „Bestimmen Sie die Eigenwerte“ nie die vollständige Aufgabenstellung.

$det, tr, λ all agree; dim ker (A - λ I) = 2 vs 1 does not$

Lernpfad

Matrizen, die Dinge bewegen

Führt zu Eigenvektoren

Quellen (1)

The memoir that made a matrix an object with an algebra of its own, rather than a way of writing a system down: A. Cayley, "A memoir on the theory of matrices." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 148, 17–37, 1858.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-27

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Drehung um 45° - det(A) = 0.9997, nicht 1 — eine Drehung müsste die Fläche exakt erhalten, und die Abweichung von 3 zu 10000 stammt aus der eingetippten 0.707, nicht aus der Geometrie
Scherung - det(A) = 1.0000 mit den Eigenwerten 1.000, 1.000 — Fläche unverändert, und ein doppelter Eigenwert lässt nur eine invariante Richtung übrig
Skalierung - Um 2 strecken und um 0.5 stauchen ergibt det(A) = 1.0000: eine Skalierung, die jede Länge ändert und keine Fläche
Spiegelung - det(A) = −1.0000 — dieselbe Fläche, andersherum durchlaufen; die Eigenwerte 1.000 und −1.000 sind die Spiegelachse und ihre Normale
Singulär - det(A) = 0.0000 und die Seite meldet SINGULAR: der Eigenwert 0.000 ist die Richtung, in der die Ebene zusammengedrückt wird