Das Darcy-Gesetz & Grundwasserströmung

Wähle ein Material und eine Druckhöhendifferenz, um zu sehen, wie viel Wasser hindurchfließt, wie schnell sich das Wasser wirklich bewegt und wo das Gesetz seine Gültigkeit verliert.

Rechenbeispiel — Das Darcy-Gesetz & Grundwasserströmung

Hydraulischer Gradient	0,0010
Filtergeschwindigkeit	1,000 × 10⁻⁸ m/s
Durchfluss	1,000 × 10⁻⁸ m³/s
Abstandsgeschwindigkeit	2,857 × 10⁻⁸ m/s
Wasser übertrifft Filtergeschw. um	2,86×
Fließzeit entlang des Weges	1.109 Jahre
Poren-Reynolds-Zahl	1,4949 × 10⁻⁶
Steilster Gradient, bei dem Re ≤ 1 bleibt	668,9374

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Das Darcy-Gesetz & Grundwasserströmung

Das Darcy-Gesetz besagt, dass der Durchfluss durch ein poröses Medium proportional zum Druckhöhenverlust und umgekehrt proportional zur Distanz ist, über die dieser auftritt: Q = K A Δh/L. Die Konstante K ist die hydraulische Leitfähigkeit, und sie ist eine gemeinsame Eigenschaft von Medium und Fluid, nicht nur vom Gestein. Rechnet man das Fluid mit k = Kμ/(ρg) wieder heraus, bleibt die intrinsische Permeabilität übrig, eine Eigenschaft, die allein von der Porengeometrie abhängt. Aus diesem Grund wird derselbe Sandstein von einer Hydrogeologin in m/s und von einem Erdölingenieur in Darcys angegeben: Sie messen dieselben Poren, nur mit unterschiedlichen Fluiden darin.

Setzt voraus: Gesättigte, stationäre, laminare Strömung durch ein Medium, das auf der Skala des Fließwegs homogen ist. Die sechs Leitfähigkeiten hier sind repräsentative runde Zahlen und keine Messwerte: Jedes dieser Materialien umspannt in der Fachliteratur mindestens zwei Größenordnungen, da Sand eine Korngröße und kein Gestein benennt. Die Porositäten sind Gesamtporositäten, was die Abstandsgeschwindigkeit zur langsamsten macht, die die Daten zulassen – der Transport folgt dem nutzbaren Anteil, und dieser ist kleiner.

324 Tage durch Kies, 634 Millionen Jahre durch Granit 🖖

Klick auf Sand-Aquifer: ein Meter Druckhöhe auf einen Kilometer Feinsand, und in der Zeile für die Fließzeit stehen 1.109 Jahre. Klick nun die Materialschaltflächen durch und lass alles andere unverändert. Kies schafft denselben Kilometer in 324,1 Tagen. Schluff benötigt 1,426 × 10⁵ Jahre, Ton 1,584 × 10⁷ und kluftfreier Granit 6,338 × 10⁸.

Eine einzige Spalte ist für all das verantwortlich. Die hydraulische Leitfähigkeit reicht von 10⁻² m/s beim Kies bis 10⁻¹² m/s beim Granit, zehn Zehnerpotenzen, und die Filtergeschwindigkeit, die Abstandsgeschwindigkeit, die Fließzeit und die Reynolds-Zahl leiten sich alle daraus ab. Henry Darcy war nicht auf der Jagd nach einem Gesetz, als er die Beziehung entdeckte. Er baute die städtische Wasserversorgung von Dijon und musste wissen, wie schnell seine Sandfilter laufen würden, und so wanderte es in einen Anhang des Berichts von 1856 über die Brunnen der Stadt.

Diese Spanne ist der Grund, warum eine Deponieingenieurin und ein Brunnenbauer dieselbe Gleichung verwenden und sich nie unterhalten müssen. Die eine zahlt dafür, K so niedrig zu bekommen, wie es durch Verdichtung möglich ist. Der andere zahlt dafür, das größte K zu finden, das er erbohren kann.

Das Wasser ist der Filtergeschwindigkeit 2.060 Jahre voraus 🖖

Klick erneut auf Sand-Aquifer. Bei der Fließzeit stehen 1.109 Jahre. Die Zeile Filtergeschwindigkeit darüber zeigt 1,000 × 10⁻⁸ m/s, und ein Kilometer geteilt durch diesen Wert ergibt 3.169 Jahre. Beides ist rechnerisch richtig und nur eines davon ist eine Fließzeit.

Die Filtergeschwindigkeit ist der Durchfluss geteilt durch den gesamten Querschnitt, die Körner eingeschlossen. Sie ist also ein Durchfluss pro Grundfläche und nicht die Geschwindigkeit von irgendetwas, denn der größte Teil dieses Querschnitts ist Quarz. Drückt man denselben Durchfluss durch die 35 %, die aus Poren bestehen, bewegt sich das Wasser 1/n-mal schneller, was die Zeile Wasser übertrifft Filtergeschw. um ausgibt. Hier steht 2,86, und 2,86 ist exakt das Verhältnis zwischen den beiden Fließzeiten.

Wo der Faktor am größten ist, ahnt man nicht sofort. Kies hat mit 0,28 die geringste Porosität der fünf Sedimente, also fließt sein Wasser 3,57-mal so schnell wie die Filtergeschwindigkeit; Ton, der mit 0,50 das meiste Wasser fasst, fließt nur doppelt so schnell. Das Extrem ist der Granit, wo 2 % Porosität das wenige Wasser, das vorhanden ist, fünfzigmal schneller schickt, als die Filtergeschwindigkeit andeutet.

Die Fließzeit hier ist absichtlich die späte Schätzung. Der Transport folgt dem nutzbaren Porenraum und nicht dem gesamten, und im Ton wird ein großer Teil des Wassers an den Mineraloberflächen gehalten und bewegt sich nie. Ein nicht sorbierender Tracer wie Chlorid kommt früher an, als diese Seite angibt. Etwas, das am Ton haftet, kann Jahrzehnte länger brauchen, und keine der beiden Korrekturen wird hier berechnet.

Eine Kiesdrainage mit einem Gefälle von eins zu zwanzig hat das Gesetz bereits verlassen 🖖

Klick auf Kiesdrainage: ein Meter Druckhöhe auf zwanzig Meter reinen Kies, was eine unauffällige Landdrainage ist. Die Reynolds-Zeile zeigt 4,9830 gegenüber einer Obergrenze von 1, und das rechte Feld schattiert alles jenseits des Gradienten, bei dem diese Obergrenze fällt.

Das Darcy-Gesetz ist linear, und die Linearität ist eine Annahme mit einem Eintrittspreis. Das Einsetzen von q = Ki in Re = ρqd/μ liefert Re(i) = ρKdi/μ, was linear in i ist, sodass der Gradient, bei dem ein beliebiger Schwellenwert erreicht wird, direkt aufgeschrieben und nicht gesucht werden muss: i_max = Re_maxμ/(ρKd). Für diesen Kies gibt die Zeile 0,0100 an, ein Gefälle von einem Meter auf hundert. Lässt man denselben Meter Druckhöhe über 100 m laufen, beträgt Re 0,9966, also gerade noch im Rahmen. Über 20 m sind es 4,9830. Über 1 m 99,6605.

Kies ist das einzige der sechs Materialien, dessen Obergrenze bei einem Gradienten liegt, den irgendjemand tatsächlich bauen würde. Grobsand erreicht Re = 1 bei einem Gradienten von 2,0068, den man eher in einer Laborsäule als in einem Grundwasserleiter antrifft; Feinsand bei 668,9374; Ton bei 5,0170 × 10⁸, einer Zahl, deren einzig ehrliche Interpretation ist, dass Ton das Darcy-Gesetz niemals verlassen wird.

Jenseits der Obergrenze steigt der Durchfluss mit dem Gradienten weiter an, aber nicht mehr proportional zu ihm, da die Trägheit in den Poren beginnt, einen Teil des Drucks aufzunehmen, den der viskose Widerstand zuvor für sich allein hatte. Daher ist die Durchflussrate, die diese Seite für die Kiesdrainage ausgibt, zu groß. Die Forchheimer-Gleichung fügt dem linearen Term von Darcy einen quadratischen Term hinzu, und genau darauf greift ein Entwässerungsingenieur stattdessen zurück.

Aufgabe vollständig gelöst

Was durch eine Deponieabdichtung gelangt 7 Schritte
Eine Deponie verfügt über eine 600 mm dicke, verdichtete Tonabdichtung: hydraulische Leitfähigkeit 10⁻⁹ m/s, Porosität 0,50. Das Erfassungssystem hält 300 mm Sickerwasser darüber, und die Basis der Abdichtung entwässert frei. Berechne, wie lange das Wasser braucht, um den Ton zu durchqueren, und ermittle dann, wie viel Wasser im Laufe einer dreißigjährigen Betriebsdauer aus einem Hektar austritt.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Der Gradient ist der Punkt, an dem dieses Problem gelöst wird oder scheitert. Die Druckhöhe ist Höhe plus Druck, also miss beides von der Basis der Abdichtung aus. Die Oberkante des Sickerwassers befindet sich 0,6 m Ton plus 0,3 m Flüssigkeit über diesem Bezugspunkt, was 0,9 m Druckhöhe entspricht, und die Basis entwässert frei bei Atmosphärendruck, was null ist. Somit gehen 0,9 m Druckhöhe über einen Weg von 0,6 m Länge verloren. Schreibst du stattdessen 0,3 geteilt durch 0,6, hast du zwar die Flüssigkeit berücksichtigt, aber das Gewicht des im Ton selbst stehenden Wassers weggelassen, das zwei Drittel dessen ausmacht, was den Fluss antreibt.
  
  $i = \frac{Δ h}{L} = \frac{0 . 3 + 0 . 6}{0 . 6} = \frac{0 . 9 m}{0 . 6 m} = 1.5$
2. Das Darcy-Gesetz in seiner Form für die Filtergeschwindigkeit: Multipliziere die Leitfähigkeit mit dem Gradienten. Die Zeile Filtergeschwindigkeit zeigt 1,500 × 10⁻⁹ m/s, eine Zahl, unter der sich niemand etwas vorstellen kann, also rechne sie auf ein Jahr hoch. Multipliziert mit 3,15576 × 10⁷ Sekunden wird sie zu 0,047336 m Wasser pro Jahr durch jeden Quadratmeter, was 47,34 Litern pro Quadratmeter und Jahr entspricht. Eine Behörde legt die Spezifikation als Leitfähigkeit fest; das hier ist das Ergebnis dieser Spezifikation.
  
  $q = K i = 1 0^{- 9} \cdot 1.5 = 1.500 \times 1 0^{- 9} m s^{- 1} ⟹ q \cdot 3.15576 \times 1 0^{7} = 0.047336 m y r^{- 1} = 47.34 L m^{- 2} y r^{- 1}$
3. Diese Filtergeschwindigkeit ist keine echte Geschwindigkeit. Sie teilt den Durchfluss durch den gesamten Quadratmeter, einschließlich des Feststoffs, und die Hälfte eines so porösen Tons ist Feststoff. Das Wasser wird durch die Porenhälfte gedrückt und bewegt sich doppelt so schnell wie die Filtergeschwindigkeit: Abstandsgeschwindigkeit zeigt 3,000 × 10⁻⁹ m/s, und in der Zeile darunter steht 2,00×. Ton liefert den kleinsten derartigen Faktor aller Materialien auf dieser Seite, da er den größten Porenraum aufweist, um denselben Durchfluss zu verteilen.
  
  $v = \frac{q}{n} = \frac{1 . 500 \times 1 0 ^{- 9}}{0 . 50} = 3.000 \times 1 0^{- 9} m s^{- 1}, \frac{v}{q} = \frac{1}{n} = 2.00$
4. Nun zur Durchquerung. Sechshundert Millimeter bei 3 × 10⁻⁹ m pro Sekunde sind 2 × 10⁸ Sekunden, und Fließzeit entlang des Weges wandelt das in 6,34 Jahre um. Verwendest du die Filtergeschwindigkeit anstelle der Abstandsgeschwindigkeit, erhältst du 12,68 Jahre. Das ist derselbe Fehler wie zuvor und führt zu einem exakt doppelt so großen Ergebnis.
  
  $t = \frac{L}{v} = \frac{0 . 6}{3 . 000 \times 1 0 ^{- 9}} = 2.000 \times 1 0^{8} s = 6.34 yr$
5. Frage dich, ob das Gesetz überhaupt eine Antwort geben durfte, denn es wird dir so oder so eine liefern. Die Poren-Reynolds-Zahl baut auf der Filtergeschwindigkeit und einem repräsentativen Korndurchmesser auf, 2 × 10⁻⁶ m für Ton, und sie beträgt 2,9898 × 10⁻⁹ gegenüber einer Obergrenze von 1. Der Gradient, der diese Obergrenze erreichen würde, beträgt 5,0170 × 10⁸: fünfhundert Millionen Meter Druckhöhe pro Meter Abdichtung. Nichts, was du mit einem Ton auf dieser Seite tun kannst, führt ihn aus dem Darcy-Gesetz heraus.
  
  $Re = \frac{ρ q d}{μ} = \frac{998 . 2 \cdot 1 . 500 \times 1 0 ^{- 9} \cdot 2 \times 1 0 ^{- 6}}{1 . 0016 \times 1 0 ^{- 3}} = 2.9898 \times 1 0^{- 9} ≪ 1$
6. Tausche die Füllung aus und ändere sonst nichts. Dieselben 600 mm unter denselben 0,9 m Druckhöhe, gefüllt mit jedem Material, das die Seite anbietet, ergeben die untenstehende Spalte. Schluff ist eine Stufe gröber als Ton und immer noch nichts, was man als durchlässig bezeichnen würde, und er wird in drei Wochen durchquert. Das Verhältnis der Leitfähigkeit zwischen den beiden beträgt exakt hundert; das Verhältnis der Fließzeit ist 111, wobei das zusätzliche Zehntel daher stammt, dass Ton mehr Wasser pro Kubikmeter fasst, das hindurchgedrückt werden muss. Kies bewältigt das in elf Sekunden und tut dies bei Re = 149,49, wo diese Zahl keinerlei Bedeutung mehr hat.
  
  $fill gravel coarse sand fine sand silt clay granite q (m s^{- 1}) 1.50 \times 1 0^{- 2} 7.50 \times 1 0^{- 4} 1.50 \times 1 0^{- 5} 1.50 \times 1 0^{- 7} 1.50 \times 1 0^{- 9} 1.50 \times 1 0^{- 12} t 11.2 s 4.3 min 3.9 h 20.8 d 6.34 yr 254 yr Re 149.49 0.747 2.24 \times 1 0^{- 3} 2.99 \times 1 0^{- 6} 2.99 \times 1 0^{- 9} 1.49 \times 1 0^{- 12}$
7. Die Seite hat dir nun alles verraten, was sie kann, und ein Planer hat immer noch keine konkrete Zahl, da die Filtergeschwindigkeit pro Quadratmeter gilt und eine Deponie nicht nur einen Quadratmeter groß ist. Ein Hektar dieser Abdichtung entspricht 10⁴ m², also lässt er jede Sekunde 1,5 × 10⁻⁵ m³ passieren, 473,4 m³ im Jahr und 14.200 m³ über eine dreißigjährige Betriebsdauer. Das entspricht fast sechs olympischen Schwimmbecken voller Sickerwasser, die durch eine Abdichtung gelangen, welche exakt den Spezifikationen entspricht.
  
  $V = q A t = 1.500 \times 1 0^{- 9} \cdot 1 0^{4} \cdot 30 \cdot 3.15576 \times 1 0^{7} = 1.42 \times 1 0^{4} m^{3}$
Antwort

Wasser durchquert die 600 mm dicke Abdichtung in 6,34 Jahren, und ein Hektar davon lässt über dreißig Jahre 14.200 m³ durch. Keine der beiden Zahlen stellt ein Versagen dar. Die Abdichtung erfüllt ihre Spezifikation auf die Ziffer genau, und 47 Liter pro Quadratmeter und Jahr sind das, was diese Spezifikation bedeutet, sobald man sie in eine Einheit umrechnet, die man sich vorstellen kann.

Was die Rechnung jedoch nicht überstehen wird, ist die Druckhöhe. Setze 3 m Sickerwasser anstelle von 0,3 m auf die Abdichtung, was bei einer verstopften Entwässerungsschicht passiert, und der Gradient steigt von 1,5 auf 6. Die Filtergeschwindigkeit verhält sich linear zum Gradienten, sodass sich jede der obigen Zahlen vervierfacht: 6,34 Jahre werden zu 1,58, und das Dreißigjahresvolumen wird zu 56.800 m³. Das 300-mm-Limit in der Vorschrift ist eigentlich gar keine Aussage über die Abdichtung; sobald der Ton im Boden ist, ist die Druckhöhe der einzige verbleibende Term in der Gleichung, den überhaupt noch jemand ändern kann.

$Δ h : 0.9 \to 3.6 m ⟹ i : 1.5 \to 6, t = \frac{6 . 34}{4} = 1.58 yr, V = 4 V_{0} = 5.68 \times 1 0^{4} m^{3}$

Quellen (3)

The experiment itself, in an appendix to a report about a city's water supply: H. Darcy, Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon. Victor Dalmont, Paris, 1856.
Where the conductivity and porosity ranges for real materials are compiled: R. A. Freeze and J. A. Cherry, Groundwater. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1979.
The Reynolds-number convention used here, and where the linear law stops: J. Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media. American Elsevier, New York, 1972. Reprinted by Dover, 1988.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.