Gesetz von Hagen-Poiseuille & Rohrströmung

Lege einen Radius, eine Länge und einen Druck fest, um zu sehen, welche Menge ein Rohr transportiert und ab wann das Gesetz die Vorgänge darin nicht mehr beschreibt.

Rechenbeispiel — Gesetz von Hagen-Poiseuille & Rohrströmung

Volumenstrom	120,4 L/min
Mittlere Geschwindigkeit	39,9 m/s
Reynolds-Zahl	318.404
Strömungsform	Turbulent
Hydraulischer Widerstand	9,96 × 10⁷ Pa·s/m³
Benötigter Radius	3,3605 mm
Strömungsform bei diesem Radius	Turbulent

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Gesetz von Hagen-Poiseuille & Rohrströmung

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille zeigt dir, was ein Druckunterschied in einem Rohr bewirkt: Q = πΔp r⁴ / (8ηL). Die vierte Potenz ist hier das Entscheidende. Sie hat gleich zwei Ursachen. Ein breiteres Rohr bietet der Flüssigkeit mehr Querschnittsfläche. Gleichzeitig ist die Flüssigkeit in der Mitte weiter von der Rohrwand entfernt, die alles abbremst. Das Erste liefert r², das Zweite ein weiteres r².

Was die einzelnen Symbole bedeuten

Q: Volumenstrom, also das, was pro Sekunde herausfließt
Δp: der antreibende Druckunterschied
r: der Radius des Rohres, also der Term, der in die vierte Potenz erhoben wird
L: seine Länge, zu der der Fluss schlicht umgekehrt proportional ist
η: die Viskosität der Flüssigkeit

Versagt, wenn: Zum Blut, dem Beispiel, das alle sofort heranziehen. Blut ist kein Newtonsches Fluid. Es wird bei Scherung dünnflüssiger. Arterien sind zudem elastisch statt starr. Auch pulsiert der Blutfluss, anstatt ruhig dahinzufließen. Die Verengung um 30 % auf dieser Seite liefert dir zwar die prinzipiell richtige Antwort, ist aber für jeden konkreten Patienten die falsche Zahl.

Verenge eine Arterie um 30 % und 76 % des Volumenstroms sind weg 🖖

Der Volumenstrom durch ein rundes Rohr skaliert mit der vierten Potenz des Radius. Halbierst du den Radius, halbiert sich der Volumenstrom nicht, und er viertelt sich auch nicht: Er wird durch 16 geteilt. Und zwar durch exakt 16,0000 statt nur ungefähr 16, denn r⁴ ist der einzige vom Radius abhängige Term in Q = πΔP·r⁴ / 8ηL und nichts anderes in der Formel hat sich bewegt.

Klicke auf Dünnes Röhrchen – ein halber Millimeter Radius, ein Meter Rohr, 5.000 Pa – und die Zeile für den Volumenstrom zeigt 7,351 mL/min. Klicke auf Halber Radius und dort steht 0,459 mL/min, was die erste Zahl geteilt durch 16 und dann gerundet ist.

Kleine Änderungen fallen stärker ins Gewicht, als sie aussehen. Nimm 10 % von einem Radius weg und 34,4 % des Volumenstroms verschwinden mit ihm. Nimm 30 % weg und du behältst 24,0 %. Genau das tun die beiden Blut-Voreinstellungen des Tools: Sie gehen bei denselben 200 Pa von 2 mm auf 1,4 mm herunter, was einem Verlust von 76,0 % entspricht.

Eine durch Kalk um 10 % verengte Wasserleitung liefert immer noch etwa zwei Drittel ihres Volumenstroms und niemand ruft jemanden an. Eine um 10 % verengte Arterie durchläuft dieselbe Mathematik, hat aber keine zwei Drittel als Reserve. Poiseuille war Arzt. Er vermaß die vierte Potenz in den 1840er Jahren, indem er Flüssigkeiten durch schmale Röhrchen drückte, weil er herausfinden wollte, wie sich Blut bewegt.

18,92 % mehr Radius sind den doppelten Druck wert 🖖

Q ist linear zu ΔP und proportional zur vierten Potenz von r. Es gibt also zwei Wege, einen Volumenstrom zu verdoppeln, und sie haben sehr unterschiedliche Preise.

Nimm die Einstellung für laminares Wasser: 0,5 mm Radius, 1 m Rohr, 5.000 Pa. Die Zeile für den Volumenstrom zeigt 7,351 mL/min. Erhöhe den Druck auf 10.000 Pa und der Wert steigt auf 14,703. Oder belasse den Druck, wo er ist, und erweitere den Radius auf 0,5946 mm, also 18,92 % mehr, und das Tool zeigt 14,702. Das fehlende Tausendstel ist der Rest von 2^1/4 = 1,1892071, den du durch die Eingabe von nur vier Nachkommastellen weggerundet hast.

Nach welcher der beiden Möglichkeiten du greifen kannst, ist keine Frage der Physik. Der Leitungsdruck gehört dem Wasserversorger, und ein Herz, das seine Leistung auf Abruf verdoppeln könnte, wäre keines, um das du dir Sorgen machen müsstest.

Re 318.404: Der Volumenstrom, mit dem diese Seite öffnet, ist Fiktion 🖖

Diese Seite öffnet sich mit Wasser in einem 4 mm weiten und 10 m langen Rohr, angetrieben von 2 bar. Das Gesetz von Hagen-Poiseuille liefert 120,4 L/min und die Mathematik dahinter steht außer Frage. Dieser Volumenstrom bedeutet eine mittlere Geschwindigkeit von 39,9 m/s, also grob 144 km/h fließendes Wasser, und eine Reynolds-Zahl von 318.404. Das ist etwa das 138-Fache des Grenzwerts von 2300, unterhalb dessen das Gesetz gilt.

Oberhalb dieser Obergrenze ist die Strömung nicht mehr laminar. Sie verliert Energie sowohl an Wirbel als auch durch viskose Scherung. Ein echtes Rohr unter 2 bar transportiert daher deutlich weniger als 120,4 L/min. Die Formel besitzt keinen Term, der dies bemerken könnte.

Deshalb werden die Zeilen für Volumenstrom, Reynolds-Zahl und Strömungsform alle rot und das Diagramm schattiert alles, was breiter als 0,7732 mm ist, aus dem grünen Bereich heraus. Verengst du das Rohr auf 0,77 mm, wird das Tool wieder grün: Re 2.271, laminar, ein Ergebnis, das du behalten kannst. Jede andere Voreinstellung auf dieser Seite befindet sich bereits dort.

Aufgabe vollständig gelöst

Was das Herz dafür bezahlen müsste 7 Schritte
Ein 10 cm langes Stück Arterie mit 2 mm Radius transportiert Blut (η = 3,5 × 10⁻³ Pa·s, ρ = 1060 kg/m³) unter einem Druckabfall von 200 Pa. Plaque verengt das Lumen um 30 % auf 1,4 mm. Finde den verbleibenden Volumenstrom und bestimme anschließend den Druckabfall, der den ursprünglichen Volumenstrom wieder durch das verengte Gefäß treiben würde.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Beginne mit dem gesunden Gefäß und behalte alles in SI-Einheiten bei. Radius 2 × 10⁻³ m, Länge 0,1 m, 200 Pa Druckdifferenz, Blut bei 3,5 × 10⁻³ Pa·s. Die vierte Potenz des Radius ist 1,6 × 10⁻¹¹ m⁴, und der gesamte Ausdruck ergibt 3,590 × 10⁻⁶ m³/s, was 0,2154 Litern pro Minute entspricht.
  
  $Q_{0} = \frac{π Δ P r _{0}^{4}}{8 η L} = \frac{π \cdot 200 \cdot ( 2 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{4}}{8 \cdot 3.5 \times 1 0 ^{- 3} \cdot 0.1} = 3.590 \times 1 0^{- 6} m^{3} /s$
2. Verenge nun das Gefäß. Länge, Druck und Blut bleiben unangetastet, also entspricht das Verhältnis der beiden Volumenströme dem Verhältnis von r⁴ und nichts anderem in der Formel. 1,4 geteilt durch 2 ist 0,7 und 0,7⁴ ergibt 0,2401. Ein Querschnitt, der immer noch fast normal aussieht, transportiert nur noch 24,01 % von dem, was er vorher tat. Die Zeile für den Volumenstrom zeigt 51,723 mL/min.
  
  $\frac{Q _{1}}{Q _{0}} = (\frac{r _{1}}{r _{0}})^{4} = 0. 7^{4} = 0.2401 \Rightarrow Q_{1} = 8.621 \times 1 0^{- 7} m^{3} /s = 51.723 mL/min$
3. Die mittlere Geschwindigkeit ist dieser Volumenstrom, verteilt auf den Querschnitt. Teilt man Q durch πr², kürzen sich zwei der vier Potenzen weg und es bleibt v̄ = ΔP r²/(8ηL). Die Geschwindigkeit fällt also mit dem Quadrat, während der Volumenstrom mit der vierten Potenz sinkt. Hier kommen exakt 0,140 m/s heraus, was die Zeile für die mittlere Geschwindigkeit bestätigt.
  
  $\overset{v}{ˉ} = \frac{Q _{1}}{π r _{1}^{2}} = \frac{Δ P r _{1}^{2}}{8 η L} = \frac{200 \cdot ( 1.4 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{8 \cdot 3.5 \times 1 0 ^{- 3} \cdot 0.1} = 0.140 m/s$
4. Bevor du all dem vertraust, solltest du prüfen, ob das Gesetz überhaupt angewendet werden darf. Die Herleitung von Poiseuille setzt eine laminare Strömung voraus und der Test dafür ist die auf dem Durchmesser basierende Reynolds-Zahl: Sie liegt bei 119, verglichen mit einem Grenzwert von 2300. Die Zeile für die Strömungsform zeigt Laminar. Beachte, in welche Richtung die Verengung sie verschoben hat. Trage wieder eine 2 in das Radius-Feld ein und Re beträgt 346. Den Volumenstrom zu drosseln, hat die Mathematik also sicherer und nicht wackliger gemacht.
  
  $Re = \frac{ρ v ˉ D}{η} = \frac{1060 \cdot 0.140 \cdot 2.8 \times 1 0 ^{- 3}}{3.5 \times 1 0 ^{- 3}} = 118.7 < 2300$
5. Dieselbe vierte Potenz bestimmt den Widerstand. R = 8ηL/πr⁴ ist der Druck, den ein Gefäß pro Einheit Volumenstrom verlangt. Die Zeile für den hydraulischen Widerstand zeigt 2,32 × 10⁸ Pa·s/m³, wo bei der gesunden Arterie 5,57 × 10⁷ stand. Der Faktor zwischen den beiden ist 4,1649, was dem Kehrwert von 0,2401 entspricht.
  
  $R = \frac{8 η L}{π r ^{4}} : R_{0} = 5.57 \times 1 0^{7}, R_{1} = 2.32 \times 1 0^{8} Pa s/ m^{3}, \frac{R _{1}}{R _{0}} = \frac{1}{0.2401} = 4.1649$
6. Q = ΔP/R ist das umgestellte Gesetz von Hagen-Poiseuille und es ist die Linie, von der der Kreislauf leben muss. Q beim gesunden Wert von 3,590 × 10⁻⁶ m³/s durch den neuen Widerstand aufrechtzuerhalten, kostet ΔP = Q₀R₁ = 833 Pa. Der Volumenstrom verhält sich linear zum Druck, der Druckabfall muss also um genau den Faktor steigen, um den der Widerstand gestiegen ist: 200 × (10/7)⁴, und (10/7)⁴ ist 10.000/2401.
  
  $Δ P_{1} = Q_{0} R_{1} = 3.590 \times 1 0^{- 6} \cdot 2.320 \times 1 0^{8} = 833 Pa$
7. Prüfe das Ergebnis an seiner eigenen Prämisse. Bei 833 Pa beträgt die mittlere Geschwindigkeit im verengten Gefäß 0,583 m/s und die Reynolds-Zahl ist 494. Das liegt immer noch weit unter 2300, sodass das Gesetz, das diese Zahl geliefert hat, in dem von ihm vorhergesagten Zustand weiterhin gilt. Tippe 833 in das Druck-Feld ein, während der Radius auf 1,4 mm steht, und die Zeile für den Volumenstrom kehrt zu den 0,22 L/min zurück, mit denen die gesunde Arterie begann.
  
  $\overset{v}{ˉ}_{1} = 0.583 m/s, Re_{1} = \frac{1060 \cdot 0.583 \cdot 2.8 \times 1 0 ^{- 3}}{3.5 \times 1 0 ^{- 3}} = 494 < 2300$
Antwort

833 Pa, im Vergleich zu den 200 Pa, die das gesunde Gefäß benötigte. Vier und ein Sechstel mal so viel Antriebsdruck, um dieselben Liter pro Minute durch ein um 0,6 mm engeres Lumen zu bewegen. Das Tool beantwortet dir auch die umgekehrte Frage: Tippe 0,2154 in das Feld für den Ziel-Volumenstrom und die Zeile für den benötigten Radius zeigt 1,9999 mm. Das bringt die gesunde Arterie zurück, ist aber eher die Antwort eines Chirurgen als die eines Herzens. Nichts auf dieser Seite löst nach dem Druck auf, und der Druck ist genau die Hälfte, die der Körper selbst aufbringen muss.

$Δ P_{1} = Δ P_{0} (\frac{r _{0}}{r _{1}})^{4} = 200 \cdot \frac{1 0 ^{4}}{2401} = 833 Pa$

Quellen (1)

The measurements the fourth power came out of, made by a physician looking for how blood moves: J. L. M. Poiseuille, "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres." Mémoires présentés par divers savants à l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France 9, 1846, pp. 433–544.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.