Laplace-Gleichung: eine Platte im stationären Zustand

Lege die vier Ränder einer quadratischen Platte fest und wähle einen Punkt. Die Seite berechnet dort die stationäre Temperatur auf drei Arten: mit einer Fourier-Reihe, über ein Gitter, das Durchlauf für Durchlauf aus dem kalten Zustand relaxiert wird, und durch Zufallsläufer, die am Punkt starten, wobei gezählt wird, an welchem Rand sie austreten.

Rechenbeispiel — Laplace-Gleichung: eine Platte im stationären Zustand

Deren Standardfehler	0,35
Schritte, die ein Läufer im Schnitt machte	91,6
Schätzung ohne Seitenränder	75,00

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Laplace-Gleichung: eine Platte im stationären Zustand

Die Laplace-Gleichung, ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0, beschreibt die Temperatur eines homogenen Körpers ohne innere Wärmequellen, sobald diese sich nicht mehr ändert. An einigen Stellen fließt Wärme hinein und an anderen heraus, aber kein Punkt gewinnt oder verliert welche. Ihre Lösungen, die harmonischen Funktionen, besitzen die Mittelwerteigenschaft: Der Wert an einem beliebigen Punkt entspricht dem Durchschnitt über jeden um ihn gelegten Kreis, der vollständig innerhalb der Region liegt. Auf einem Gitter wird die Gleichung zu der Regel, dass jeder Punkt der Mittelwert seiner vier Nachbarn ist. Dies ist das erste Problem, das Fourier in der Analytischen Theorie der Wärme (1822) mit seiner Reihe löst: eine Platte von unendlicher Länge in ihrem endgültigen, unveränderlichen Zustand, deren Ende auf der Temperatur von kochendem Wasser und deren beide Seiten auf der von Eis gehalten werden.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

u: die stationäre Temperatur, °C
T: die feste Temperatur eines Randes: T_t, T_r, T_b, T_l für oben, rechts, unten und links
N: die Anzahl der Gitterquadrate entlang einer Seite; der Gitterabstand beträgt 1/N der Seite
W: die Anzahl der bei P gestarteten Läufer

Die Temperatur an einem Punkt ist die Wahrscheinlichkeit, zum heißen Rand zu wandern 🖖

Klick auf Oben heiß, P auf 3/4. Die Reihe setzt P auf 54,05 °C. Vergiss jetzt die Platte und spiel ein Spiel: Starte bei P, mach mit gleicher Wahrscheinlichkeit einen Schritt zu einem der vier benachbarten Gitterpunkte und geh so lange weiter, bis du einen Rand erreichst. Von 20.000 Läufern erreichen 10.825 als erste den oberen Rand. Somit enden 54,13 % der Läufer bei 100 °C und der Rest bei 0, was einen Durchschnitt von 54,13 ± 0,35 ergibt. Auf dem Gitter ist die Übereinstimmung exakt und nicht nur ungefähr: Die Wahrscheinlichkeit, oben zu landen, gehorcht derselben Regel wie die Temperatur, nach der jeder Punkt der Mittelwert seiner vier Nachbarn ist und an den Rändern dieselben Werte gelten. Die 53,98 des Gitters spiegeln exakt diese Wahrscheinlichkeit wider, bis zur letzten Ziffer. Die Läufer ermitteln die Temperatur von P, ohne die irgendeines anderen Punktes zu berechnen. Die Balken außerhalb der Platte zeigen, wo sie die Fläche verlassen haben. Die meisten taten dies nahe der Mitte des oberen Randes, da dieser am nächsten liegt.

Jeder Punkt ist der Mittelwert jedes Kreises um ihn herum 🖖

Bleib auf Oben heiß, P auf 3/4 und schau dir den grünen Kreis an. Sein oberster Punkt liegt bei 89,97 °C und sein unterster bei 29,46. Genau in der Mitte dazwischen liegt 59,71. Der Durchschnitt für den gesamten Kreis beträgt 54,05, was exakt der Temperatur von P entspricht. Dieser Wert bleibt bei 54,05 für jeden beliebigen Kreis um P, der noch in die Platte passt. Die Regel des Gitters, nach der jeder Punkt der Mittelwert seiner vier Nachbarn ist, zeigt genau diese Eigenschaft in ihrer kleinsten Form. Das hat eine Konsequenz, die du selbst überprüfen kannst, wenn du P an eine beliebige Stelle ziehst: Kein Punkt im Inneren kann heißer sein als alle Punkte um ihn herum. Daher liegen die heißesten und kältesten Stellen der Platte immer an ihren Rändern. Genau dieselbe Eigenschaft des elektrischen Potentials ist auch der Grund, warum keine Anordnung fester Ladungen eine andere Ladung im leeren Raum in einem stabilen Gleichgewicht halten kann. Dieses Thema greift der Electric Field Visualiser auf.

Die Relaxation einer Platte bedeutet Wärmefluss. Ein doppelt so feines Gitter braucht also viermal so viele Durchläufe 🖖

Klick auf Zentrum auf 10 × 10, dann auf Oben heiß, P im Zentrum und schließlich auf Zentrum auf 40 × 40. Das Zentrum nähert sich nach 120, 485 und 1.945 Durchläufen bis auf 0,1 °C dem Wert 25 an. Jeden Wert durch den Mittelwert seiner Nachbarn zu ersetzen, entspricht exakt einem Zeitschritt der Wärmeleitungsgleichung. Es ist der größte Schritt, den das Gitter machen kann, ohne instabil zu werden. Ein Jacobi-Durchlauf ist somit eine in der Zeit eingefrorene Version der abkühlenden Platte, und er erbt die Trägheit der Wärme. Halbierst du den Abstand, deckt jeder Schritt nur noch ein Viertel der Zeit ab, sodass dieselbe Abkühlung viermal so viele Schritte erfordert. Die Läufer zahlen denselben Preis. Ihre durchschnittliche Reise zu einem Rand dauert auf den drei Gittern 29,5, 118,0 und 467,6 Schritte. Ein Gitter, das fein genug für präzise Ergebnisse ist, lässt sich auf diese Weise also nur sehr aufwendig relaxieren. Im Zentrum bringen die zusätzlichen Durchläufe überhaupt keine höhere Genauigkeit: Nach dem Vierteldrehungs-Argument ist das Ergebnis jedes Gitters dort exakt 25.

Aufgabe vollständig gelöst

Wie viele Durchläufe würde ein feines Gitter benötigen? 4 Schritte
Das 20 × 20 Gitter benötigt 485 Jacobi-Durchläufe aus dem kalten Zustand, bevor das Zentrum der Platte innerhalb von 0,1 °C um 25 bleibt. Wie viele würde ein 1.000 × 1.000 Gitter benötigen? Klick auf Oben heiß, P im Zentrum: Die Seite zeigt die 485 an.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Aus einem Kaltstart heraus ist der Fehler, der am längsten anhält, das glatteste Muster, sin πx sin πy, und jeder Durchlauf multipliziert ihn mit cos(π/N). Mit dem oberen Rand bei 100 beträgt die Größe dieses Musters im Zentrum auf einem feinen Gitter 400/π², und bei N = 20 weicht sie um weniger als ein halbes Prozent davon ab:
  
  $\frac{4}{π ^{2}} \times 100 \times sin \frac{π}{2} sin \frac{π}{2} = \frac{400}{π ^{2}} = 40.53$
2. Es muss auf 0,1 °C schrumpfen, also löst die Anzahl der Durchläufe s die Gleichung 40,53 cos(π/N)^s = 0,1. Auf dem 20 × 20 Gitter ergibt dies den Zählwert der Seite:
  
  $s = \frac{ln ( 40 . 53/0 . 1 )}{- ln cos ( π /20 )} = \frac{6 . 0046}{0 . 012388} = 484.7 \Rightarrow 485$
3. Auf einem 1.000 × 1.000 Gitter liegt cos(π/N) viel näher an 1:
  
  $- ln cos \frac{π}{1 , 000} = 4.935 \times 1 0^{- 6}, s = \frac{6 . 0046}{4 . 935 \times 1 0 ^{- 6}} = 1.22 \times 1 0^{6}$
4. Jeder Durchlauf aktualisiert 999² innere Punkte:
  
  $1.22 \times 1 0^{6} \times 99 9^{2} = 1.22 \times 1 0^{6} \times 998, 001 \approx 1.2 \times 1 0^{12}$
Antwort

Etwa 1,22 Millionen Durchläufe, also rund 1,2 × 10¹² Aktualisierungen eines einzelnen Punktes. Das ist ungefähr das 2.500-Fache der 485 für ein 50-mal feineres Gitter, was dem Quadrat dieses Verhältnisses entspricht. Das ist der Grund, warum große Gitter nicht allein mit einfachen Jacobi-Durchläufen gelöst werden.

$s \approx 1.22 \times 1 0^{6} sweeps \approx 2, 500 \times 485$

Lernpfad

Die Wärmeleitungs-, Wellen- und Laplace-Gleichung

Quellen (2)

Fourier's first worked example of his method: the permanent temperatures of a rectangular plate of infinite length, its base held at the temperature of boiling water and its two sides at that of ice (Arts. 163–165), solved as a series whose terms are e^(−kx) cos ky with the coefficients found by expanding 1 in cosines (Arts. 171–190): J. Fourier, The Analytical Theory of Heat, translated with notes by A. Freeman, Cambridge University Press, 1878 (Théorie analytique de la chaleur, 1822), Chapter III, Arts. 163–165, pp. 131–133, and Art. 190, p. 154.
The random-number generator the walkers use, transcribed into the page from the authors' reference C and checked against it output for output: D. Blackman and S. Vigna, xoshiro128** 1.1, reference implementation in C (public domain), 2018, https://prng.di.unimi.it/xoshiro128starstar.c.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.