Bodentemperatur: Jahreszeiten unter der Erde

Wähle einen Boden und eine Tiefe. Die Oberfläche schwankt mit den Jahreszeiten und dem Tag. Die Seite zeigt dir die Schwankung, die dein Thermometer erreicht, berechnet aus der exakten Lösung der Wärmeleitungsgleichung. Die Schwankung der Oberfläche liegt als blasser Schatten daneben.

Rechenbeispiel — Bodentemperatur: Jahreszeiten unter der Erde

Thermometertiefe in Dämpfungstiefen	1,247
Wie spät der jährliche Höchstwert ankommt	72,5 Tage
Tiefe, in der das Jahr exakt auf dem Kopf steht	6,30 m
Tägliche Dämpfungstiefe	0,1049 m
Wie spät der tägliche Höchstwert ankommt	91,0 h

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Bodentemperatur: Jahreszeiten unter der Erde

Wenn die Temperatur an der Oberfläche eines einheitlichen Bodens als Sinus mit der Periode P schwankt, beträgt die Schwankung in der Tiefe z e^−z/d der Oberfläche und kommt (z/d)·P/2π später an. Dabei ist d = √(κP/π) die Dämpfungstiefe und κ die Temperaturleitfähigkeit des Bodens. Beide Effekte werden durch eine einzige Zahl bestimmt, nämlich z/d. Bei z = πd ist die Schwankung exakt eine halbe Periode verzögert.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

d: die Dämpfungstiefe √(κP/π), über die eine Schwankung um den Faktor e fällt; etwa 2 m für das Jahr in trockenem Boden, 10 cm für den Tag
z: die Tiefe unter der Oberfläche
P: die Periode der Oberflächenschwankung: ein Jahr von 365,2422 Tagen oder ein Tag
κ: die Temperaturleitfähigkeit des Bodens in m²/s

Die Schwankung schrumpft und verzögert sich um ein und dieselbe Zahl 🖖

Klick auf Calton Hill, 24 frz. Fuß und betrachte drei Zeilen der Ergebnisse. Die Tiefe in Dämpfungstiefen, z/d, beträgt 2,776. Die Schwankung dort ist e^−2,776 = 6,23 % der Oberfläche. Ihr Höchstwert kommt 2,776 × 58,13 = 161,4 Tage verzögert an, denn ein Jahr hat 2π Radian und ein Radian entspricht 365,2422/2π = 58,13 Tagen. Die Abschwächung und die Verzögerung sind dieselbe Zahl. Für jeden Faktor e, den die Schwankung auf dem Weg nach unten verliert, kommt sie also 58,1 Tage später an. Wählst du einen anderen Boden, ändert sich d. Die 58,1 Tage bleiben gleich. Forbes ließ Thermometer bei 3, 6, 12 und 24 französischen Fuß in das Gestein des Calton Hill in Edinburgh ein. 1860 wertete William Thomson dreizehn Jahre ihrer Messungen aus. Zwischen 3 und 24 Fuß fiel der Logarithmus der jährlichen Schwankung um 0,1160 pro französischem Fuß und ihr Höchstwert verschob sich um 0,1156 Radian pro französischem Fuß, wie die hervorgehobene Zeile der zweiten Tabelle zeigt. Die Theorie besagte, dass beide gleich sein würden, und sie sind es bis auf 0,3 %. Näher an der Oberfläche weichen sie um 6,2 % ab. Thomson schrieb dies dem Boden zu, nicht den Messungen: Weder das Gestein noch seine Oberfläche sind so einheitlich, wie die Theorie annimmt.

Sechs Meter tief im trockenen Boden kommt der wärmste Tag im Winter 🖖

Klick auf Trockener Boden, 6,3 m. Diese Tiefe entspricht auf den Zentimeter genau πd. Die Schwankung ist auf e^−π = 4,32 % der Oberfläche gesunken und kommt 182,7 Tage verzögert an. Das ist ein halbes Jahr bis auf zwei Stunden genau. Die beiden Kurven im unteren Feld sind also Spiegelbilder, und der Boden ist dort am wärmsten, wenn die Oberfläche am kältesten ist. Es ist eine geringe Wärme, 0,35 °C auf beiden Seiten des Mittelwerts. Ein Keller reicht nicht so tief. Klick auf Trockener Boden, 2,5 m: Auf Kellertiefe kommt der Sommer 72,5 Tage verspätet mit 28,73 % der Schwankung an, ein Höhepunkt im Herbst. Der kälteste Boden im Hochsommer liegt auch nicht bei 6,30 m, sondern bei 4,72 m, also bei drei Vierteln von πd. Dort ist die Schwankung größer und nur drei Achtel eines Jahres verzögert. Die Ergebnisse zeigen diese Tiefe für jeden beliebigen Boden.

Einen halben Meter tief ist die Nacht verschwunden, die Jahreszeiten bleiben 🖖

Klick auf Halber Meter, Tagesuhr. Im trockenen Boden fällt die tägliche Schwankung alle 0,1049 m um den Faktor e, die jährliche alle 2,004 m. Das ist 19,11-mal so tief. Dieses Verhältnis ist √365,2422, die Quadratwurzel aus dem Verhältnis der beiden Perioden. Dabei kürzt sich κ heraus, weshalb es in jedem Boden gleich ist. Einen halben Meter tief beträgt die Schwankung des Tages 0,85 % der Oberfläche und erreicht ihren Höhepunkt 18,2 Stunden verzögert. Die des Jahres liegt dort hingegen noch bei 77,92 % und kommt nur 14,5 Tage später an. Ein Thermometer registriert dort kaum Tag und Nacht, folgt aber den Jahreszeiten fast im Gleichschritt. Es ist wieder das quadratische Gesetz der Wärmeleitungsgleichung: Eine 365-mal so lange Periode reicht √365-mal so tief.

Aufgabe vollständig gelöst

Kelvins Erdalter 3 Schritte
Im Jahr 1862 betrachtete William Thomson, der spätere Lord Kelvin, die Erdkruste als Gestein mit κ = 400 Quadratfuß pro Jahr. Er ging davon aus, dass sie als fester Block begann, der 7.000 °F heißer war als die heutige Oberfläche, und seither über diese Oberfläche abkühlt. Messungen zufolge erwärmt sich der Boden um etwa 1 °F für jede 50 Fuß Tiefe. Wie alt war die Erde demnach? Klick zuerst auf Thomsons Gestein, 1 m: Die Seite zeigt, wie sich dieses κ auf die jährliche Welle auswirkt.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. In metrischen Einheiten entspricht Thomsons κ den 1,178 mm²/s im κ-Feld, und seine jährliche Schwankung fällt um e alle
  
  $κ = \frac{400 \times 0 . 304 8 ^{2} m ^{2}}{3 . 15569 \times 1 0 ^{7} s} = 1.178 \times 1 0^{- 6} m^{2} /s, d_{y} = \frac{400}{π} ft = 11.28 ft = 3.439 m$
2. Gestein, das einheitlich heiß beginnt und ab dem Zeitpunkt 0 über seine Oberfläche abgekühlt wird, weist an der Oberfläche den Gradienten G = ΔT/√(πκt) auf. Das ist Fouriers Lösung, wie Thomson sie notierte. Löse nach t auf, in seinen eigenen Einheiten °F, Fuß und Jahre:
  
  $t = \frac{Δ T ^{2}}{π κ G ^{2}} = \frac{7 , 00 0 ^{2}}{π \times 400 \times ( 1/50 ) ^{2}} = \frac{49 , 000 , 000}{0 . 50265} = 97, 480, 000 years$
3. Die Antwort verhält sich umgekehrt proportional zum Quadrat des Gradienten, der einzigen gemessenen Zahl. Ein halber Gradient macht die Erde viermal so alt. Thomsons hohe Schätzung für schmelzendes Gestein, 10.000 °F, ergibt
  
  $G = \frac{1}{100} : t = 4 \times 97.48 = 389.9 million years; Δ T = 10, 000^{\circ} F : t = 198.9 million years$
Antwort

Etwa 97,5 Millionen Jahre. Thomson schrieb 98.000.000. Da niemand wusste, wie sich Gestein bei hohen Temperaturen verhält, veranschlagte er ein Alter zwischen 20 und 400 Millionen Jahren. Das heute anerkannte Alter liegt bei 4,54 Milliarden. Die übliche Erzählung gibt der Radioaktivität die Schuld, doch das ist falsch: Fügst du die radioaktive Wärme der Erde in diese Berechnung ein, ändert sich das Ergebnis kaum. Was scheitert, ist die Annahme, dass sich im Inneren nichts bewegt. 1895 wies John Perry darauf hin, dass ein fließendes Inneres Wärme viel schneller nach oben transportieren kann als die reine Wärmeleitung, selbst wenn das heiße Gestein nur kriecht. Dann sagt der Gradient an der Oberfläche kaum etwas darüber aus, wie lange die Erde schon abkühlt.

$t \approx 97.5 \times 1 0^{6} years (Thomson: 98, 000, 000; accepted: 4.54 \times 1 0^{9})$

Lernpfad

Die Wärmeleitungs-, Wellen- und Laplace-Gleichung

Quellen (3)

Fourier's solution for a periodic surface temperature stated as a law, the retardation of the epoch in radians equal to the diminution of the logarithm of the amplitude, and tested on Forbes's thermometers at 3, 6, 12 and 24 French feet in the rock of Calton Hill (Table IV, thirteen years, 1842–1854: 0.1160 and 0.1156 per French foot from 3 to 24 feet), with k/c of 235.1, 260.5 and 690.7 square French feet a year for the three Edinburgh sites (§§11, 21, 35–38); and the age of the Earth from the cooling of a solid half-space, κ = 400 square feet a year and 1 °F per 50 feet, 98,000,000 years for 7,000 °F and limits of 20 and 400 million (§§6, 10–16): W. Thomson, "On the reduction of observations of underground temperature; with application to Professor Forbes' Edinburgh observations, and the continued Calton Hill series", Transactions of the Royal Society of Edinburgh 22 (1861), 405–427, doi:10.1017/S0080456800030702; and "On the secular cooling of the Earth", same journal, 23 (1862), 157–169, doi:10.1017/S0080456800018512. Both reprinted in his Mathematical and Physical Papers, vol. III (Cambridge University Press, 1890), Arts. XCIII and XCIV.
Kelvin's calculation re-run with modern values, and the case that radioactivity does not invalidate it (adding the Earth's radioactive heat barely changes the answer) while convection in the interior, argued by John Perry in 1895, does: P. England, P. Molnar and F. Richter, "John Perry's neglected critique of Kelvin's age for the Earth: A missed opportunity in geodynamics", GSA Today 17(1) (2007), 4–9.
The periodic solution and its damping, Example 5.7 (the coldest ground in high summer at three quarters of π damping depths); the thermal diffusivities of dry mineral soil, 4 × 10⁻⁷ m²/s, and granite, about 7.4 × 10⁻⁷ (Table A.2); and the accepted age of the Earth, 4.54 billion years (Problem 5.45): J. H. Lienhard V and J. H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, 6th edition. Phlogiston Press, Cambridge, Massachusetts, 2024. §5.6 and Example 5.7, pp. 233–235; Problem 5.45; Table A.2, p. 744.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.