Die Wärmeleitungsgleichung

Wähle ein Starttemperaturprofil oder zeichne eines in das Diagramm, und bestimme ein Material. Beide Enden des Stabes werden auf 0 °C gehalten. Die Seite löst die Wärmeleitungsgleichung exakt und lässt die Zeit laufen, wobei das Startprofil als Umriss zurückbleibt.

Rechenbeispiel — Die Wärmeleitungsgleichung

Zeit auf der Uhr	432,2 s
Zeit, bis Mode 1 um e abfällt	875,7 s
Aktuelle Höhe der ersten Mode	38,9 °C
Temperatur in der Mitte	39,4 °C
Heißester Punkt	0,500 m
Max. Abstand (Anteil am Peak)	1,27%
Viertelpunkt links - rechts	0,0 °C
Restwärme (Anteil vom Start)	73,91%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Die Wärmeleitungsgleichung

Die Wärmeleitungsgleichung ∂u/∂t = κ ∂²u/∂x² besagt, dass sich die Temperatur an einem Punkt mit einer Rate ändert, die durch die dortige Krümmung des Profils bestimmt wird. Ein Punkt, der kälter ist als der Durchschnitt seiner Nachbarn, erwärmt sich; ein Punkt, der heißer ist, kühlt ab. Die Temperaturleitfähigkeit κ = k/(ρc_p) ist die Wärmeleitfähigkeit geteilt durch die Wärmekapazität pro Volumeneinheit. Für einen Stab der Länge L, dessen Enden auf 0 gehalten werden, lautet die Lösung ausgehend von einem Startprofil f(x): u = Σ b_k sin(kπx/L) e^{−k²π²κt/L²}, mit b_k = (2/L) ∫ f(x) sin(kπx/L) dx über den Stab integriert.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

u: die Temperatur an der Position x zur Zeit t, in °C
κ: die Temperaturleitfähigkeit in m²/s: 1,157 × 10⁻⁴ für Kupfer, 1,17 × 10⁻⁵ für Kohlenstoffstahl
τ: κt/L², die Zeit, wie die Gleichung sie zählt. Zwei Stäbe, die mit demselben Profil beginnen, haben beim selben τ dieselbe Form
b_k: die Größe der Sinusmode k zu Beginn, berechnet aus dem Startprofil

Ein heißer Stab verliert zuerst seine scharfen Kanten 🖖

Klick auf Mittleres Drittel, Kupfer. Der gestrichelte Umriss zeigt den Anfangszustand des Stabes, einen Block von 100 °C mit vertikalen Wänden. Jedes Startprofil lässt sich als Summe von Sinusmoden schreiben, die an beiden Enden verschwinden, wobei Mode k genau k Buckel hat. Die Tabelle unten gibt ihre Größen an: b₁ = 63,662, b₃ = −42,441, b₅ = 12,732. Jede Mode klingt nach ihrer eigenen Uhr ab, als e^{−k²π²κt/L²}. Daher verschwindet Mode 3 neunmal so schnell wie Mode 1 und Mode 5 fünfundzwanzigmal so schnell. Die vertikalen Wände setzen sich aus den schnellen Moden zusammen, weshalb sie als Erstes verschwinden. Bei τ = κt/L² = 0,05, was in einem Meter Kupfer 7,2 Minuten entspricht, weicht das Profil um höchstens 1,27 % seines Spitzenwerts von der reinen ersten Mode ab, und die Mitte misst 39,4 °C. Ab hier ändert sich die Form kaum noch; was sinkt, ist ihre Höhe. Im logarithmischen Diagramm ist jede Mode eine gerade Linie, die k²-mal so steil ist wie die erste. Das ist die Reihe, die der Fourier Series Builder aufbaut. Fourier schrieb sie für die Wärme: Seine Théorie analytique de la chaleur (1822) entstand aus einer Abhandlung, die er Ende 1807 an das Institut de France schickte.

Die doppelte Länge braucht viermal so lange 🖖

Klick auf Mittleres Drittel, Kupfer und dann auf Kupfer, ein halber Meter. Die Profile sind identisch, weil die Gleichung nur eine einzige Uhr führt, nämlich τ = κt/L². Die Länge des Stabes geht quadratisch ein und das Material nur durch κ, seine Temperaturleitfähigkeit. Der Meter Kupfer erreicht τ = 0,05 also nach 432,2 s und der halbe Meter nach 108,0 s, einem Viertel der Zeit. Die Zeit, in der die erste Mode um den Faktor e fällt, ist L²/(π²κ): Das sind 875,7 s für einen Meter Kupfer, 8.659,9 s für Kohlenstoffstahl, dessen κ 9,89-mal kleiner ist, und 36,1 Stunden für Pyrex. Wärme reist nicht mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Die Strecke, auf der sie sich ausbreitet, wächst mit der Quadratwurzel der Zeit. Genau diese Quadratwurzel taucht auch bei der Ausbreitung eines klassischen Zufallsläufers in Quantum Random Walk auf.

Der Stab vergisst, welche Seite erhitzt wurde 🖖

Klick auf Linke Hälfte heiß. Die gesamte Wärme beginnt auf der linken Seite, und man könnte erwarten, dass der Stab asymmetrisch bleibt, bis er abgekühlt ist. Die Asymmetrie verschwindet jedoch lange vor der Wärme. Der asymmetrische Teil des Profils besteht aus seinen geraden Moden, die jeweils genauso viele Buckel nach oben wie nach unten haben. Die größte und langsamste von ihnen, Mode 2 mit einem Buckel nach oben und einem nach unten, beginnt exakt so groß wie die erste Mode: b₂ = b₁ = 63,662. Sie klingt viermal so schnell ab. Bei τ = 0,1, was 14,4 Minuten in Kupfer entspricht, hat Mode 2 noch 0,0193 von sich selbst übrig, verglichen mit 0,3727 bei der ersten Mode. Der heißeste Punkt ist auf 0,468 m gewandert und damit 3,2 cm von der Mitte entfernt. Der Viertelpunkt auf der erhitzten Seite ist nur 2,5 °C wärmer als sein Spiegelbild, während noch 30,21 % der Wärme im Stab stecken. Du kannst ein beliebiges Profil zeichnen und es passiert genau dasselbe, es sei denn, seine erste Mode ist exakt null. Jede Mode stirbt schneller als die erste, sodass jedes derartige Profil als derselbe Bogen endet. Am Ende merkt sich der Stab von seinem Ausgangszustand nur noch eine einzige Zahl, nämlich b₁, die Höhe des Bogens.

Aufgabe vollständig gelöst

Wie lange dauert es, bis die Mitte eines Stahlstabs kalt ist? 3 Schritte
Ein 1 m langer Kohlenstoffstahlstab hat sein mittleres Drittel bei 100 °C und beide Enden in Eis. Wie lange dauert es, bis die Mitte unter 1 °C fällt? Der Zeitregler stoppt bei τ = 0,3, also vor der Antwort. Klick zuerst auf Mittleres Drittel, Stahl. Die Seite zeigt dir b₁ und die Zeit, die die erste Mode braucht, um um den Faktor e zu fallen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Lange bevor die Mitte 1 °C erreicht, sind alle Moden bis auf die erste verschwunden (bei τ = 0,1 weicht das Profil bereits weniger als 0,02 % von einem Bogen ab). Die Mitte ist also b₁e^−π²τ, und wenn du das gleich 1 setzt, erhältst du τ:
  
  $b_{1} e^{- π^{2} τ} = 1 \Rightarrow τ = \frac{ln 63 . 662}{π ^{2}} = \frac{4 . 1536}{9 . 8696} = 0.42085$
2. Da τ = κt/L² und T₁ = L²/(π²κ) gelten, entspricht die Zeit genau ln(b₁) e-Faltungszeiten der ersten Mode:
  
  $t = \frac{τ L ^{2}}{κ} = ln (b_{1}) T_{1} = 4.1536 \times 8, 659.9 s = 35, 970 s$
3. Überprüfe, ob Mode 3, die größte der verbleibenden Moden, bis dahin wirklich verschwunden ist:
  
  $∣ b_{3} ∣ e^{- 9 π^{2} τ} = 42.441 \times e^{- 9 π^{2} \times 0.42085} = 42.441 \times e^{- 37.38} = 2.5 \times 1 0^{- 15}^{\circ} C$
Antwort

Knapp zehn Stunden: 35.970 s. Die Antwort lautet ln(63,662) = 4,15 e-Faltungszeiten, unabhängig vom Material. Derselbe Stab aus Kupfer braucht also 4,1536 × 875,7 s = 3.637 s, was etwa einer Stunde entspricht. Mode 3 ist bis dahin auf 2,5 × 10⁻¹⁵ °C gesunken, sodass die Ein-Bogen-Formel auf viel mehr Nachkommastellen genau ist, als jedes Thermometer anzeigen kann.

$t = 35, 970 s \approx 9.99 h; copper: 4.1536 \times 875.7 s = 3, 637 s$

Lernpfad

Die Wärmeleitungs-, Wellen- und Laplace-Gleichung

Quellen (2)

Fourier's own account of where the theory began: first set out in a manuscript sent to the Institute of France at the end of 1807, with an extract in the Bulletin des Sciences for 1808 (Preliminary Discourse); and the first problem the book solves with a trigonometric series, the steady temperatures of a plate between two parallel sides held at 0 with its base held at 1, which is Laplace's equation rather than the cooling rod (Art. 163 onwards): J. Fourier, The Analytical Theory of Heat, translated by A. Freeman. Cambridge University Press, 1878 (Théorie analytique de la chaleur, 1822). Preliminary Discourse; Chapter III, Section I, Arts. 163–166.
The thermal diffusivities this page uses, at 20 °C: pure copper 11.57 × 10⁻⁵ m²/s, pure aluminium 9.61 × 10⁻⁵ and carbon steel with 1.0% C 1.17 × 10⁻⁵ (Table A.1), Pyrex borosilicate glass 7.8 × 10⁻⁷ (Table A.2); and the history in the caption of Fig. 1.4, Fourier's 1807 monograph refereed by Lagrange and Laplace and his series not in print until 1822: J. H. Lienhard V and J. H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, 6th edition. Phlogiston Press, Cambridge, Massachusetts, 2024. Table A.1, p. 739; Table A.2, p. 742; Fig. 1.4, p. 12.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.