Wärmeübertrager: Gleichstrom und Gegenstrom

Stelle die zwei Eintrittstemperaturen, die beiden Massenströme und die Größe des Wärmeübertragers U·A ein. Die Seite berechnet denselben Wärmeübertrager zweimal: einmal im Gleichstrom und einmal im Gegenstrom. Sie zeichnet den Temperaturverlauf beider Ströme entlang der Wand.

Rechenbeispiel — Wärmeübertrager: Gleichstrom und Gegenstrom

Wärmekapazitätsstrom, heiß	418,0 W/K
Wärmekapazitätsstrom, kalt	418,0 W/K
Anzahl der Übertragungseinheiten	2,000
Kapazitätsstromverhältnis	1,0000
Die maximal übertragbare Wärme	29,26 kW
Effektivität, Gegenstrom	66,67%
Effektivität, Gleichstrom	49,08%
Übertragene Wärme, Gegenstrom	19,51 kW

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Wärmeübertrager: Gleichstrom und Gegenstrom

Ein Wärmeübertrager überträgt Wärme von einem heißen auf einen kalten Strom durch eine Wand, ohne die beiden zu vermischen. Der Wärmekapazitätsstrom C = ṁc_p jedes Stroms ist die Wärme, die er pro Grad transportiert. Die maximal mögliche Wärmeübertragung wird vom kleineren der beiden bestimmt: Q_max = C_min(T_h,in − T_c,in). Die Effektivität ε beschreibt, welchen Anteil davon der Übertrager tatsächlich umsetzt. Seine Größe geht ausschließlich als Anzahl der Übertragungseinheiten ein, NTU = UA/C_min.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

C: Wärmekapazitätsstrom eines Stroms, ṁc_p, in W/K. Wasser mit 0,1 kg/s transportiert 418 W/K
NTU: Anzahl der Übertragungseinheiten, UA/C_min: die Größe des Wärmeübertragers, bezogen auf den kleineren Strom
ε: Effektivität, die übertragene Wärme als Bruchteil von C_min(T_h,in − T_c,in)
Cr: Kapazitätsverhältnis C_min/C_max, von 0 für einen kondensierenden Dampf bis 1 für gleiche Ströme

Setzt voraus: Stationäre Strömung, keine Wärmeverluste an die Umgebung und ein konstanter Wärmedurchgangskoeffizient U über die gesamte Wand. Nur dann gelten die NTU-Beziehungen exakt. Beide Ströme bestehen aus flüssigem Wasser mit c_p = 4,18 kJ/(kg K). Dieser Wert weicht zwischen 10 und 90 °C um maximal 0,6 % und zwischen 0 und 99 °C um maximal 1 % vom gemessenen Wert ab. c_p fließt über die Kapazitätsströme ein. Ein Fehler darin verschiebt also die NTU und damit die übertragenen Kilowatt um etwa denselben Anteil.
Versagt, wenn: Wenn sich U entlang der Wand ändert. Das geschieht etwa, wenn ein Strom zu sieden beginnt oder die Strömung unterwegs laminar wird. Wenn ein Strom auf halber Strecke die Phase wechselt, sodass er teilweise erhitzt wird und teilweise siedet. Sein Kapazitätsstrom ist dann nämlich nicht mehr ṁc_p. Außerdem bei Rohrbündel- und Kreuzstrom-Übertragern. Diese erfordern ihre eigenen Formeln und übertragen bei gleicher NTU weniger Wärme als der Gegenstrom, es sei denn, die Temperatur eines Stroms ändert sich kaum.

Bei gleichen Strömen und NTU 2 überträgt ein viermal größerer Gleichströmer nicht einmal einen Punkt mehr 🖖

Klick auf Gleiche Ströme: 0,1 kg/s Wasser auf beiden Seiten, NTU 2. Führst du beide Ströme in dieselbe Richtung, überträgt der Übertrager 49,08 % der maximal möglichen Wärme. Fließen sie entgegengesetzt, sind es 66,67 %. Klick nun auf Viermal größer. Der Gegenstrom klettert auf 88,89 %. Der Gleichstrom erreicht 50,00 %, und keine Baugröße bringt ihn darüber hinaus. Beide Ströme treten am selben Ende ein und steuern auf dieselbe Temperatur von 45 °C zu – genau der Wert, den sie auch bei einer simplen Mischung erreichen würden. Je näher sie diesem Punkt kommen, desto mehr schwindet die Temperaturdifferenz, die den Wärmestrom antreibt. Das hintere Ende des Übertragers bewirkt fast nichts mehr. Bei gleichen Strömen liegt diese Obergrenze exakt bei der Hälfte. Im Gegenstrom trifft das eintretende heiße Wasser auf kaltes Wasser, das den Übertrager gleich verlässt. Das eintretende kalte Wasser begegnet heißem Wasser, das seine Wärme bereits größtenteils abgegeben hat. So bleibt über die gesamte Länge eine nutzbare Temperaturdifferenz bestehen.

Im Gegenstrom kann das kalte Wasser heißer austreten als das heiße Wasser 🖖

Bei Gleiche Ströme liegen die Austrittstemperaturen im Gegenstrom bei 56,67 °C für das kalte Wasser und 33,33 °C für das heiße. Der anfangs kalte Strom tritt 23,33 Grad wärmer aus als der anfangs heiße Strom. In der Zeichnung verlaufen die beiden Gegenstromlinien parallel. Bei gleichen Massenströmen bleibt die Temperaturdifferenz über die Wand an jedem Punkt bei exakt diesen 23,33 Grad. Der Gleichstrom kann das niemals leisten. Seine beiden Linien nähern sich von beiden Seiten den 45 °C an, wobei die kalte Linie immer unten bleibt. Bei jeder beliebigen Größe bleibt die kalte Austrittstemperatur unter der heißen: hier sind es 44,36 °C gegenüber 45,64 °C. Klick auf Doppelter heißer Strom, und der Gegenstrom lässt das kalte Wasser noch immer 11,33 Grad heißer austreten als das heiße.

Wenn ein Strom seine Temperatur kaum ändert, ist die Fließrichtung egal 🖖

Klick auf Großer heißer Strom: Heißwasser mit 5 kg/s gegen 0,1 kg/s Kaltwasser, die fünfzigfache Kapazität, bei NTU 2. Das heiße Wasser kühlt um weniger als 1,5 Grad ab. Gegenstrom und Gleichstrom übertragen hier 86,16 % und 85,29 % der Wärme, was einen Abstand von 0,87 Prozentpunkten bedeutet. Vergrößerst du den Übertrager bei diesem Verhältnis, wächst der Abstand auf bis zu 1,96 Punkte an. Das ist die Differenz zwischen 100 % und der Gleichstrom-Obergrenze von 98,04 %. Dieser Wert wird nie überschritten. Ein kondensierender Dampf, der Wärme völlig ohne Temperaturänderung abgibt, bildet das Limit: Beide Bauarten übertragen dann exakt 1 − e^−NTU, was bei NTU 2 genau 86,47 % entspricht. Kurzer Übertrager ist der andere Weg, um die Fließrichtung irrelevant zu machen: Bei NTU 0,2 ändert sich die Temperatur beider Ströme kaum, und sie übertragen 16,67 % sowie 16,48 %. Die Wahl der Richtung macht sich also erst bezahlt, wenn beide Ströme ihre Temperatur stark ändern.

Aufgabe vollständig gelöst

Wie viel größer, um von 80 % auf 90 % zu kommen? 4 Schritte
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager mit gleichen Strömen überträgt 80 % der Wärme. Wie viel größer muss er sein, um 90 % zu erreichen? Und was würde ein Gleichstrom-Wärmeübertrager dieser neuen Größe übertragen?

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Bei gleichen Strömen, also C_r = 1, beträgt die Gegenstrom-Effektivität NTU/(1 + NTU). Aufgelöst nach NTU:
  
  $ε = \frac{N T U}{1 + N T U} \Rightarrow N T U = \frac{ε}{1 - ε}$
2. 80 % erfordern NTU 4, und 90 % erfordern NTU 9.
  
  $N T U_{80%} = \frac{0 . 80}{0 . 20} = 4 N T U_{90%} = \frac{0 . 90}{0 . 10} = 9$
3. NTU steht für UA/C_min. Da sich die Ströme nicht verändert haben, muss UA um denselben Faktor wachsen. Bei gleichem Wandaufbau bedeutet das die 2,25-fache Fläche.
  
  $\frac{( U A ) _{90%}}{( U A ) _{80%}} = \frac{9}{4} = 2.25$
4. Der Gleichstrom überträgt bei NTU 9 mit gleichen Strömen (1 − e⁻¹⁸)/2:
  
  $ε_{p a r} = \frac{1 - e ^{- 2 \times 9}}{2} = 0.49999999$
Antwort

Die 2,25-fache Fläche. Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager dieser Größe würde 50,00 % übertragen. Die letzten zehn Prozentpunkte kosten mehr Wandfläche als die ersten achtzig. Klick auf Gleiche Ströme und setze U·A auf 1.672 W/K und danach auf 3.762. Die Gegenstrom-Zeile zeigt zuerst 80,00 % und dann 90,00 %. Die Gleichstrom-Zeile springt von 49,98 % auf 50,00 %.

$U A = 4 \times 418 = 1, 672 W/K \to 9 \times 418 = 3, 762 W/K$

Quellen (3)

Both effectiveness formulas the page solves, and the balanced-counterflow result that the temperature difference is the same all along the wall: J. H. Lienhard V and J. H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, 6th edition. Phlogiston Press, Cambridge MA, 2024. §3.3, eqns (3.20) and (3.21); Example 3.2.
The specific heat of liquid water, 4.18 kJ/(kg K), and how far it moves between 10 and 90 °C: "Isobaric Properties for Water", in P. J. Linstrom and W. G. Mallard (eds.), NIST Chemistry WebBook, NIST Standard Reference Database Number 69. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg MD. Computed from W. Wagner and A. Pruss, the IAPWS-95 formulation.
Where the effectiveness–NTU method was first set out in full: W. M. Kays and A. L. London, Compact Heat Exchangers. McGraw-Hill, New York, 1955.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.