Ruin des Spielers

Du bringst dein Startkapital mit und setzt dir ein Ziel. Dann spielst du, bis du es erreichst oder alles verloren hast. Zuerst trittst du gegen einen reichen Gegner an. Danach geht es an den Roulettetisch, wo du den Einsatz von einem Jeton bis zu deinem gesamten Kapital verschieben kannst.

Rechenbeispiel — Ruin des Spielers

Bankvorteil pro eingesetztem Jeton	0,00%
Chance, 1.010 zu erreichen	0,9901%
Chance, alles zu verlieren	99,0099%
Erwartete Anzahl der Spiele, E(T)	10.000,0
Erwartete Einsatzsumme, E(S)	10.000,0
Erwarteter Verlust aus dem Ergebnis	0,00
Erwarteter Verlust aus den Einsätzen	0,00
Bis zu diesem Spiel ist die Hälfte fertig	220

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Ruin des Spielers

Beim Ruin des Spielers beginnt ein Spieler mit a Jetons und spielt unabhängige Spiele, die er jeweils mit Wahrscheinlichkeit p gewinnt. Er hört auf, sobald er alles verloren oder das Ziel N erreicht hat. Bei einem Jeton pro Spiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, N zu erreichen, (1 − r^a)/(1 − r^N) mit r = q/p; für p = ½ beträgt sie a/N. Die erwartete Anzahl der Spiele ist a/(q − p) − (N/(q − p))·P(N erreichen), für p = ½ hingegen a(N − a). Bei jeder Strategie ist der erwartete Verlust gleich dem Bankvorteil q − p multipliziert mit der erwarteten Einsatzsumme.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

a: die Anzahl der Jetons, die du mitbringst
N: das Ziel; dein Gegner besitzt N − a Jetons
p: die Gewinnwahrscheinlichkeit eines Spiels mit Nettogewinn in Höhe des Einsatzes; dabei gilt q = 1 − p
T: die Anzahl der Spiele bis zum Ende des Abends
S: die Summe aller Einsätze des Abends; jeder Einsatz wird einmal gezählt

Setzt voraus: Jeder Gewinn bringt einen Nettogewinn in Höhe des Einsatzes. Die Spiele sind voneinander unabhängig. Bei einer Niederlage geht der gesamte Einsatz verloren, auch wenn die Null fällt. Einsätze bestehen aus ganzen Jetons, und der Spieler hört erst bei 0 oder N auf.

Ein fairer Gegner mit mehr Kapital lässt dich meist alles verlieren 🖖

Klick auf 10 gegen 1.000 Jetons. Jeder Münzwurf ist fair; keine Einstellung auf der Seite ändert daran etwas. Über alle Spieler gemittelt beträgt der Gewinn genau null. Deshalb bleibt die gestrichelte Linie bei 10 Jetons, während die meisten Spielverläufe darunter bei null enden. Fairness beschreibt diesen Mittelwert. Deine Chance, die 1.000 Jetons des Gegners zu gewinnen, beträgt 10/1.010 = 0,9901 %. Die 99,0099 %, die alles verlieren, bezahlen die Gewinne der wenigen anderen: Wenn von 101 Spielern einer mit 1.010 Jetons zurückkommt, bleibt der Mittelwert bei 10. Auch die Spieldauer ist höchst ungleich verteilt. Nach 220 Würfen ist die Hälfte der Spieler fertig. Die mittlere Dauer beträgt jedoch 10 × 1.000 = 10.000 Würfe, weil seltene, weit ausschweifende Zufallspfade sie nach oben ziehen. Keine Einsatzstrategie verändert die 0,9901 %. In einem fairen Spiel erreicht jede Strategie das Ziel N mit Wahrscheinlichkeit a/N, wie die rechte Tabellenspalte zeigt. Die Maximalstrategie verändert die Spieldauer und die Einsatzsumme; Gewinnchance und mittlerer Gewinn bleiben gleich. Gegen einen Gegner mit unbegrenztem Kapital verlierst du mit Sicherheit alles. Grinstead und Snell zeigen das, indem sie in 1 − a/N den Wert N unbegrenzt wachsen lassen. Die Chance, von x Jetons aus N zu erreichen, ist dabei genau der Mittelwert der Chancen von x − 1 und x + 1 aus. Dieselbe Mittelwertregel bestimmt die Temperatur einer Platte in der <a href="/math/laplace-equation">Laplace-Gleichung</a>.

Der Bankvorteil fällt auf jeden eingesetzten Jeton an 🖖

Klick auf 100 verdoppeln, einzeln. Beim europäischen Roulette bringt Rot einen Nettogewinn in Höhe des Einsatzes und fällt in 18 von 37 Fällen. Jeder eingesetzte Jeton verliert daher im Mittel 1/37 = 2,70 %. Da liegt der Gedanke nahe: „Ein Abend kostet mich etwa 2,7 % meines Startkapitals.“ Die blassere gestrichelte Linie zeigt, wo du damit landen würdest: bei 97,30 Jetons. Tatsächlich liegt das Kapital aller Spieler am Ende im Mittel unter einem Jeton. Wer mit einzelnen Jetons das Ziel 200 ansteuert, spielt im Mittel 3.666,9-mal und setzt dabei jedes Mal einen Jeton ein. 1/37 von 3.666,9 ergibt 99,11. Das ist der erwartete Verlust. Genau denselben Wert liefert die Rechnung über das Endergebnis: 100 − 200 × P(200 erreichen). Die Ergebnistabelle zeigt beide Rechenwege. Klick jetzt auf 100 verdoppeln: ein Dreh. Du setzt einmal 100 Jetons ein, der Bankvorteil kostet dich im Mittel 2,70, und du verdoppelst dein Kapital mit Wahrscheinlichkeit 18/37 = 48,6486 %. Mit einzelnen Jetons sind es 0,4466 %. Wenn jedes Spiel zu deinen Ungunsten ausfällt, erreicht keine Einsatzstrategie das Ziel häufiger als die Maximalstrategie. Dabei setzt du alles, was du hast, oder genau so viel, wie dir zum Ziel fehlt. Kyle Siegrist beweist das in seinem frei zugänglichen Lehrbuch Random. Das betreffende Kapitel stützt sich auf Lester Dubins und Leonard Savages Buch How to Gamble If You Must von 1965. Dafür verkürzt die Maximalstrategie den Abend auf einen Dreh statt durchschnittlich 3.666,9.

Mit einzelnen Jetons wird Verdoppeln bei größerem Kapital unwahrscheinlicher 🖖

Klick auf 10 verdoppeln, einzeln: 36,8031 %. Lies dann die Tabelle von oben nach unten. Mit 50 Jetons beträgt die Chance aufs Verdoppeln 6,2775 %, mit 100 sind es 0,4466 %, mit 1.000 nur noch 3,30×10⁻²² %. Die Maximalstrategie bleibt bei jeder Kapitalhöhe auf 48,6486 %. Mehr Jetons lassen dich länger durchhalten. Währenddessen fällt bei jedem weiteren Spiel erneut der Bankvorteil an. Für das Verdoppeln vereinfacht sich die Formel erheblich: Das Verhältnis von Verlust- zu Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt (19/18)^a zu 1. Jeder zusätzliche Jeton, den du mitbringst und ebenfalls verdoppeln willst, multipliziert dieses Verhältnis mit 19/18. Bei 100 Jetons beträgt es 222,9 zu 1. Abraham de Moivre leitete die allgemeine Formel 1711 mit einem Kunstgriff her, den Grinstead und Snell nacherzählen: Jeder Jeton erhält einen rechnerischen Wert, der jeweils um den Faktor q/p wächst. In diesen Werten gerechnet ist das unfaire Spiel fair. Klick auf Die zweite Null. Das zusätzliche Fach beim amerikanischen Roulette erhöht den Bankvorteil von 2,70 % auf 5,26 %, also fast auf das Doppelte. Mit einzelnen Jetons wird das Verdoppeln von 100 Jetons dadurch etwa 168-mal seltener: 0,002656 % gegenüber 0,4466 %. Bei der Maximalstrategie sinkt die Chance nur von 48,6486 % auf 47,3684 %. Als Nächstes folgt die Martingale-Strategie, die genau diesem Problem entkommen soll: klein anfangen und nach jedem Verlust den Einsatz verdoppeln.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine Chance unter einer Million 4 Schritte
Wie viele Jetons musst du mitbringen, damit deine Chance aufs Verdoppeln auf eins zu einer Million sinkt, wenn du jeweils einen Jeton auf Rot setzt? Klick zuerst auf 100 verdoppeln, einzeln. Die Seite zeigt dir die Wahrscheinlichkeit für 100 Jetons.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Für 100 Jetons beim europäischen Roulette zeigt die Seite:
  
  $P = \frac{1 - r ^{100}}{1 - r ^{200}} = 0.004466, r = \frac{q}{p} = \frac{19}{18}$
2. Beim Verdoppeln gilt N = 2a. Damit vereinfacht sich der Bruch, denn 1 − r^2a = (1 − r^a)(1 + r^a). Für 100 Jetons gilt r¹⁰⁰ = 222,90:
  
  $\frac{1 - r ^{a}}{1 - r ^{2 a}} = \frac{1}{1 + r ^{a}} : \frac{1}{1 + 222 . 90} = 0.004466$
3. Setze die Wahrscheinlichkeit gleich eins zu einer Million und löse nach a auf:
  
  $\frac{1}{1 + r ^{a}} = 1 0^{- 6} \Rightarrow a = \frac{ln 999 , 999}{ln ( 19/18 )} = \frac{13 . 8155}{0 . 054067} = 255.52$
4. Du kannst nur ganze Jetons mitbringen. Prüfe deshalb die beiden benachbarten ganzen Zahlen:
  
  $a = 255 : 1.03 \times 1 0^{- 6}, a = 256 : 9.75 \times 1 0^{- 7}$
Antwort

256 Jetons beim europäischen Roulette. Mit 255 beträgt die Chance 1,03 zu einer Million, mit 256 beträgt sie 0,975 zu einer Million. Beim amerikanischen Roulette gilt r = 20/18. Dieselbe Rechnung ergibt 131,1, also brauchst du 132 Jetons. Mit der Maximalstrategie verdoppelst du dein Kapital beim europäischen Roulette mit Wahrscheinlichkeit 48,65 %, beim amerikanischen mit 47,37 %. Das gilt bei jeder dieser Kapitalhöhen. Stell auf der Seite 256 als Startkapital und 512 als Ziel ein und verschiebe den Einsatz, um beide Strategien zu vergleichen.

$a = 256 (r = \frac{19}{18}), a = 132 (r = \frac{20}{18})$

Lernpfad

Faire Spiele, die dich ruinieren

Quellen (3)

The gambler's ruin problem and its formula for the chance of ruin, the limit against an "infinitely rich" adversary (ruin with probability tending to 1 in a fair game, which the first insight quotes), and de Moivre's 1711 derivation by giving the counters nominal values (q/p)^k so that the unfair game becomes fair, which the third insight retells: C. M. Grinstead and J. L. Snell, Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society; the CHANCE Project version dated 4 July 2006, freely redistributable under the GNU Free Documentation License. Section 12.2, Gambler's Ruin, pp. 486–490.
Timid play (a constant bet until ruin or the target) with its probability of winning f(x) = ((q/p)^x − 1)/((q/p)^a − 1), or x/a when p = 1/2, and its expected number of games g(x) = x/(q − p) − (a/(q − p)) f(x), or x(a − x); that larger constant bets help in an unfair game and make no difference in a fair one; bold play's functional equation F(x) = pF(2x) or p + qF(2x − 1), its binary-digit sum, the table F(k/8) and G(k/8), and that for p = 1/2 bold play reaches the target with probability x/a, as timid play does. The page's formulas are these, and check:compute holds its bold-play solver to the binary-digit sum and to the table: K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 12, Games of Chance: §9 Red and Black, §10 Timid Play, §11 Bold Play.
Bold play is optimal when the trials are unfair (p ≤ 1/2), proved through the sufficient condition pV(x + y) + qV(x − y) ≤ V(x); bold play is not the only optimal strategy; and the chapter's own statement that its exposition 'is based primarily on' Dubins and Savage. The second insight cites both through this page, and check:compute applies the same condition to every whole-chip bet in the page's table: K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 12, Games of Chance, §12 Optimal Strategies; the chapter is based on L. E. Dubins and L. J. Savage, Inequalities for Stochastic Processes (How to Gamble If You Must), 1965.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.