Das Martingale-System

Setz 1 Einheit auf Rot und verdopple nach jedem Verlust, bis du gewinnst. Schau zu, wie eine ganze Gruppe das System tausend Runden lang spielt. Ändere dann das Spielkapital und entdecke, was zusätzliche Einsatzstufen bringen.

Rechenbeispiel — Das Martingale-System

Bankvorteil je gesetzter Einheit	2,70%
Mit dem Spielkapital mögliche Wetten, k	10
Runden mit 1 Einheit Gewinn	99,8725%
Runden mit Verlust der gesamten Einsatzfolge	0,1275%
Erwarteter Gewinn pro Runde, E(R)	−0,3056
Erwarteter Gesamteinsatz pro Runde, E(S)	11,308
Ergebnis je gesetzter Einheit	−2,7027%
Spieler ohne Verlustrunde in 1.000 Runden	27,92%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Das Martingale-System

Beim Martingale-System setzt du 1 Einheit auf eine Chance mit einer Nettoauszahlung in Höhe des Einsatzes. Nach jedem Verlust verdoppelst du den Einsatz; beim ersten Gewinn hörst du mit einem Gesamtgewinn von 1 Einheit auf. Reicht das Spielkapital für k Wetten, also 2^k − 1 Einheiten, geht es mit Wahrscheinlichkeit q^k vollständig verloren. Der erwartete Gewinn pro Runde beträgt 1 − (2q)^k. Der erwartete Gesamteinsatz ist die Summe der Terme (2q)ⁱ für i von 0 bis k − 1. Der Quotient aus beiden ist genau p − q. In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Martingal ein stochastischer Prozess, bei dem der bedingte Erwartungswert des nächsten Wertes, gegeben alle bisherigen Informationen, gleich dem gegenwärtigen Wert ist. Damit lässt sich ein faires Spiel mathematisch beschreiben.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

B: das Spielkapital, gemessen in Einheiten des ersten Einsatzes
k: die Anzahl der mit dem Spielkapital möglichen Wetten, also das größte k mit 2^k − 1 ≤ B
q: die Wahrscheinlichkeit, eine Wette zu verlieren, 1 − p
R: das Ergebnis einer Runde: +1 oder −(2^k − 1)
S: der Gesamteinsatz einer Runde
X: die Anzahl der Verlustrunden unter n Runden

Setzt voraus: Jede Runde beginnt erneut mit einem Einsatz von 1 Einheit und aufgefülltem Spielkapital. Jede gewonnene Wette bringt einen Nettogewinn in Höhe des Einsatzes; bei Zero geht der gesamte Einsatz verloren. Ein Tischlimit begrenzt die Einsatzfolge genauso wie ein kleineres Spielkapital.

Verdoppeln gewinnt fast jede Runde und kostet bei jeder gesetzten Einheit den Bankvorteil 🖖

Klick auf 1.023 E., 1.000 Runden. Setz 1 Einheit auf Rot, verdopple nach jedem Verlust und hör beim ersten Gewinn auf. Dieser Gewinn bringt dir insgesamt 1 Einheit, egal wie viele Wetten du vorher verloren hast: Jeder Einsatz ist um 1 größer als die Summe aller vorherigen Verluste. Mit 1.023 Einheiten kannst du dir 10 Wetten leisten, 1 + 2 + … + 512. Eine Runde endet also mit 1 Einheit Gewinn, solange Rot nicht 10-mal hintereinander ausbleibt. Das geschieht in 0,1275 % der Runden. Dann sind alle 1.023 Einheiten weg. Die graue gestrichelte Linie zeigt, wie sich das System beim Spielen anfühlt: jede Runde eine Einheit mehr. Der erwartete Gewinn pro Runde beträgt 0,998725 × 1 − 0,001275 × 1.023 = −0,3056. Im Mittel werden pro Runde insgesamt 11,308 Einheiten gesetzt. Die meisten Runden enden nach der ersten oder zweiten Wette, einige erreichen höhere Einsatzstufen. Teilt man den erwarteten Gewinn durch den erwarteten Gesamteinsatz und rechnet dabei mit den ungerundeten Werten, erhält man −2,7027 %. Das ist −1/37, bis zur letzten Stelle genau der Erwartungswert je Einheit bei einer einzelnen Wette auf Rot. Die Beziehung gilt für jedes Spielkapital. Eine Runde besteht aus einer Folge von Wetten, und jede davon verliert im Mittel 1/37 ihres Einsatzes, unabhängig von dessen Höhe. Klick auf Eine faire Münze: Der erwartete Gewinn beträgt genau 0. Dahinter steht Doobs Satz vom optionalen Stoppen. Kyle Siegrist formuliert die Fassung für Glücksspiele in seinem Lehrbuch so: Bei fairen oder nachteiligen Spielen kann „keine Stoppzeit, wie geschickt sie auch gewählt sein mag, dem Spieler helfen“. Eine Runde, die spätestens nach 10 Wetten endet, ist ein besonders einfacher Fall. Der Name stammt aus der Sprache der Glücksspieler. Roger Mansuy findet ihn bereits im Wörterbuch des Abbé Prévost von 1750: Beim Pharo verdoppelt man nach jedem Verlust den Einsatz, „um mit sicherem Gewinn aufzuhören, sofern man einmal gewinnt“. Jean Ville übernahm das Wort 1939 in die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Fast jede Runde bringt Gewinn, doch nach 1.000 Runden liegen die meisten Spieler im Minus 🖖

Bleib bei 1.023 E., 1.000 Runden und schau dir die Gruppe an: 400 Spieler, deren Spielkapital nach jedem Verlust wieder aufgefüllt wird. Jede Kurve steigt pro Gewinnrunde um 1 Einheit und fällt bei einer Verlustrunde um 1.023. Verlustrunden sind selten, ihre Wahrscheinlichkeit beträgt jeweils 0,1275 %. Jeder Spieler spielt aber tausend Runden. Nach 1.000 Runden haben 27,92 % noch keine verloren und stehen bei +1.000. Alle anderen haben mindestens einmal verloren. Schon eine einzige Verlustrunde führt zu einer Bilanz von 999 − 1.023 = −24. Deshalb liegen 72,08 % im Minus. Der Median der ersten Verlustrunde liegt bei Runde 544. Klick auf 100 Runden: Hier sind 88,02 % noch ohne Verlustrunde. Die mittlere Gesamtbilanz nach 1.000 Runden beträgt 1.000 × (−0,3056) = −305,6 und folgt der violetten gestrichelten Linie. Im unteren Diagramm siehst du, dass kein Spieler genau dort steht. Möglich sind nur die Bilanzen 1.000, −24, −1.048 und weitere Werte in Abständen von 1.024. Jede Verlustrunde kostet die 1.023 gesetzten Einheiten und die eine Einheit, die sie nicht eingebracht hat. Das System bündelt die Verluste in seltenen Einbrüchen von 1.023 Einheiten. Zwischen ihnen fühlt sich das Spielen lange wie ständiges Gewinnen an.

Mehr Einsatzstufen erhöhen den erwarteten Verlust pro Runde 🖖

Klick auf 63 Einheiten: 6 Wetten. 63 Einheiten reichen für 6 Wetten. In 1,8336 % der Runden gehen sie alle verloren; der erwartete Gewinn beträgt −0,1735 pro Runde. Mit 1.023 Einheiten sind es −0,3056. Klick auf Eine Million Einheiten: 1.048.575 Einheiten reichen für 20 Wetten. Nur 1,63×10⁻⁴ % der Runden gehen verloren, und der erwartete Gewinn beträgt −0,7047. Die zusätzlichen Verluste entstehen auf den höheren Einsatzstufen. Sie werden selten erreicht, doch dort werden erheblich größere Beträge gesetzt. In der Tabelle zum Spielkapital steigt deshalb der erwartete Gesamteinsatz von 6,420 über 11,308 auf 26,072. Von jeder gesetzten Einheit gehen im Mittel 2,7027 % an die Bank. Mit dem Spielkapital von rund einer Million Einheiten überstehen 99,84 % der Spieler die 1.000 Runden ohne Verlust und stehen am Ende 1.000 im Plus. Die mittlere Gesamtbilanz beträgt trotzdem −704,7. Sie entsteht durch die 0,16 %, die auf einmal 1.048.575 verlieren. Casanova beschreibt in seinen Memoiren, wie er beim Karneval in Venedig 1754 mit einer Einsatzfolge von 6 Wetten spielte: „Die sechste Karte verlor ich nie. Hätte ich sie verloren, wäre mir das Geld ausgegangen.“ Grinstead und Snell zitieren diese Stelle. Bei einer fairen Münze beträgt der erwartete Gewinn für jedes Spielkapital genau 0, unabhängig von der Zahl der Stufen. Mit unbegrenztem Spielkapital hingegen gewinnt das System fast sicher 1 Einheit. Dafür ist der erwartete Gesamteinsatz pro Runde unendlich. Im nächsten Abschnitt begegnet dir das Verdoppeln aus einer anderen Richtung: Beim Sankt-Petersburg-Spiel verdoppelt sich der mögliche Gewinn mit jedem Münzwurf. Sein Erwartungswert ist unendlich.

Aufgabe vollständig gelöst

Der Preis für tausend Runden ohne Verlust 4 Schritte
Wie viel Spielkapital brauchst du auf Rot beim europäischen Roulette, um mit 90 % Wahrscheinlichkeit 1.000 Runden ohne Verlustrunde zu spielen? Und wie hoch ist der erwartete Verlust pro Runde? Klick zuerst auf 1.023 E., 1.000 Runden und lies die Wahrscheinlichkeit für 1.023 Einheiten ab.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Anzeige liefert für 10 mögliche Wetten:
  
  $(1 - q^{10})^{1, 000} = (1 - 0.001275)^{1, 000} = 0.2792$
2. Für 90 % muss die Wahrscheinlichkeit einer Verlustrunde auf folgenden Wert sinken:
  
  $(1 - q^{k})^{1, 000} \geq 0.9 \Rightarrow q^{k} \leq 1 - 0 . 9^{1/1, 000} = 0.00010535$
3. Jede zusätzliche Wette multipliziert diese Wahrscheinlichkeit mit q = 19/37. Daher brauchst du mindestens so viele Stufen:
  
  $k \geq \frac{ln 0 . 00010535}{ln ( 19/37 )} = \frac{- 9 . 1582}{- 0 . 6665} = 13.74 \Rightarrow k = 14$
4. 14 Wetten erfordern 2¹⁴ − 1 Einheiten. Mit derselben Formel ergibt sich der erwartete Gewinn:
  
  $B = 2^{14} - 1 = 16, 383 : (1 - q^{14})^{1, 000} = 0.9152, E (R) = 1 - (\frac{38}{37})^{14} = - 0.4526$
Antwort

16.383 Einheiten reichen für 14 Wetten und ergeben 91,52 %. 13 Wetten mit 8.191 Einheiten ergeben nur 84,14 %. Der erwartete Gewinn sinkt dafür von −0,3056 auf −0,4526 pro Runde. Über die 1.000 Runden sind das −452,6 statt −305,6. Für die höhere Wahrscheinlichkeit brauchst du das 16-Fache des Spielkapitals und nimmst zugleich einen größeren erwarteten Verlust in Kauf.

$B = 16, 383 : 91 . 52%, 1, 000 \times (- 0.4526) = - 452.6 (B = 1, 023 : - 305.6)$

Lernpfad

Faire Spiele, die dich ruinieren

Quellen (3)

Where the name comes from, which the first insight quotes: the abbé Prévost's dictionary of 1750 defines the martingale, at faro, as doubling the stake at each loss "in order to quit with a sure profit, provided that he wins once"; Jean Ville's 1939 thesis took the gamblers' word into probability, and Doob adopted it from there. The Provençal and harness etymologies are reported as uncertain: R. Mansuy, "The Origins of the Word 'Martingale'", translated by R. Sverdlove. Journ@l Électronique d'Histoire des Probabilités et de la Statistique / Electronic Journal for History of Probability and Statistics 5(1), June 2009.
Doob's optional stopping theorem for bounded stopping times, and the gambler's reading the first insight quotes, "If the games are fair or unfavorable, then no stopping time, regardless of how cleverly designed, can help the gambler"; with the red-and-black identity E(Xᵢ) = E(Xᵢ₋₁) + (2p − 1)E(Yᵢ), which summed over a session's bets gives the page's E(R) = (p − q)E(S): K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 16, Martingales, §3 Stopping Times; and Chapter 12, Games of Chance, §9 Red and Black.
Casanova's martingale in Venice, quoted in the third insight ("I never lost the sixth card. If I had lost it, I should have been out of funds"), the doubling system set as Exercise 10 of §1.1, and Exercise 12 of §6.1, the page's 63-unit ladder on a wheel with no zero (start with 1, stop at the first win or when black has come up six times and you are down 63): C. M. Grinstead and J. L. Snell, Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society; the CHANCE Project version dated 4 July 2006 (GNU Free Documentation License). §1.1, Historical Remarks, pp. 11–12, and Exercise 10; §6.1, Martingales and Exercise 12.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.