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Lotterie-Mathematik

Lege n, k und die Gewinnbeträge fest. Das Tool berechnet alle Wahrscheinlichkeiten aus C(n,k), den Erwartungswert je Gewinnstufe und deine Jackpot-Chance über ein Leben.

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Erwartungswert und das 292-Millionen-Jahre-Problem 🖖

Powerballs Jackpot-Chance liegt bei 1 zu 292.201.338 — man muss 5 Zahlen aus 69 treffen, dann noch den Powerball aus einer separaten Trommel mit 26 Kugeln; C(69,5) × 26 ergibt genau diese Zahl. Bei einem Ticket pro Woche sagt die geometrische Verteilung voraus, dass man im Schnitt rund 5,6 Millionen Jahre auf einen einzigen Jackpot-Gewinn warten müsste. Mehr Tickets zu kaufen ändert kaum etwas: 10 Tickets pro Woche verkürzen die Wartezeit nur auf 560.000 Jahre, weil die Chancen linear skalieren, während der Erwartungswert pro Ticket negativ bleibt — der Gewinnpool zahlt nie vollständig zurück, was durch den Ticketverkauf eingenommen wurde. Die Lotterie ist keine schlechte Geldanlage; sie ist überhaupt keine Geldanlage.

zwei Lotterien, andere Regeln, identische Chancen 🖖

Im Kern zählt dieses Werkzeug nur: Jeder gültige Tippschein ist eine Kombination, alle sind gleich wahrscheinlich, also ist die Chance eins geteilt durch die Anzahl. Was das verbirgt: Wie unterschiedlich zwei Spiele auf dieselbe Anzahl kommen können. Das deutsche 6 aus 49 zieht sechs Kugeln aus 49 und eine Superzahl aus zehn, macht 13.983.816 × 10. EuroMillions zieht fünf aus 50 und zwei Sterne aus zwölf, macht 2.118.760 × 66. Beide ergeben exakt 139.838.160 mögliche Tippscheine — nicht ungefähr, exakt, denn C(49,6) ist das 6,6-Fache von C(50,5) und 66 ist das 6,6-Fache von 10. Zwei Gremien in zwei Ländern, und genau gleich viele Arten zu verlieren.

der Mann, der eine Lotterie kaufte 🖖

1992 nahm ein Konsortium unter dem Mathematiker Stefan Mandel die Virginia-Lotterie ins Visier, die nur C(44,6) = 7,059,052 mögliche Scheine zu je $1 hatte, während der Jackpot auf rund $27 Millionen angewachsen war. Übersteigt der Preistopf die Kosten, alle Kombinationen zu kaufen, wird der Erwartungswert positiv — also versuchten sie, sämtliche zu erwerben. Rechtzeitig druckten sie etwa 5 Millionen Scheine und gewannen. Mit dieser Brute-Force-Kombinatorik gewann Mandel 14-mal in Lotterien.

Sechs Lotterien, eine Formel

Die Hauptziehung von Powerball ist leichter als die von 6 aus 49

Fünf Zahlen aus 69 zu treffen ist leichter als sechs aus 49 — 1 zu 11.238.513 gegen 1 zu 13.983.816. Die gesamte zusätzliche Schwierigkeit von Powerball kommt aus der zweiten Trommel. Genau das zeigt die Aufteilung unten: Ein Jackpot ist die Hauptziehung mal dem Bonus, und die Spielmacher wägen beides gegeneinander ab.

Lotterie Die Ziehung Hauptziehung, 1 zu Bonusfaktor Jackpot, 1 zu
UK Lotto 6/59 45.057.474 — 45.057.474
Viking Lotto 6/48 + 1/8 12.271.512 ×8 98.172.096
Deutsches Lotto 6 aus 49 6/49 + 1/10 13.983.816 ×10 139.838.160
EuroMillions 5/50 + 2/12 2.118.760 ×66 139.838.160
Eurojackpot 5/50 + 2/12 2.118.760 ×66 139.838.160
US Powerball 5/69 + 1/26 11.238.513 ×26 292.201.338

Lies die beiden mittleren Spalten gegeneinander. EuroMillions hat die mit Abstand leichteste Hauptziehung der sechs — 1 zu 2.118.760, zwanzigmal leichter als die britische — und landet trotzdem bei den schwersten Jackpots, weil die beiden Sterne die Zahl mit 66 multiplizieren. Das UK Lotto ist das einzige Spiel hier ohne zweite Trommel, und genau deshalb ist sein Jackpot am erreichbarsten. Drei der sechs treffen sich auf die Ziffer genau bei 139.838.160: 6 aus 49 und EuroMillions kommen von entgegengesetzten Seiten dorthin, und Eurojackpot hat seit 2022 dieselbe Struktur wie EuroMillions. Die Gleichheit ist exakt und keine Beinahe-Übereinstimmung — C(49,6) ist das 6,6-Fache von C(50,5), und 66 ist das 6,6-Fache von 10. Jede Zahl der Tabelle rechnet dasselbe C(n,k) wie das Werkzeug, und jede Jackpot-Spalte wird beim Build gegen die veröffentlichten Quoten des Spiels geprüft.

Quellen (5)

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Sechs aus 49 und eine Superzahl aus zehn im deutschen Lotto 5 Schritte

    Deutsches Lotto: sechs Zahlen aus 49, plus eine Superzahl aus zehn. Berechnen Sie die Gewinnchancen und anschließend die ehrliche Frage — wie groß muss der Jackpot sein, damit sich ein Schein lohnt?

    1. Die Reihenfolge spielt bei den sechs Hauptzahlen keine Rolle, es handelt sich also um eine Kombination: die geordnete Anzahl geteilt durch die 720 Möglichkeiten, wie dieselben sechs gezogen werden können.

    2. Die Superzahl wird separat gezogen, sodass sie multipliziert und nicht addiert. Zehn unabhängige Ergebnisse kommen zu den fast vierzehn Millionen hinzu.

    3. Die Erwartungsrendite ist das, was der Betreiber zurückzahlt, und bei 28,6 % eines Scheins zu 1,20 € entspricht das 34 Cent. Der Rest ist der Verlust.

    4. Ein Schein kostet im Erwartungswert also jedes Mal 0,857 €, und keine Strategie ändert etwas an dieser Zahl — das Wählen von Geburtstagen, das Vermeiden der Zahlen der Vorwoche und der Kauf in Spielgemeinschaften lassen sie alle genau dort, wo sie ist.

    5. Damit die Erwartung die Gewinnschwelle erreicht, müsste allein der Jackpot das Defizit ausgleichen, was etwa 135 Millionen € erfordert.

    Antwort

    Das Werkzeug gibt 1 zu 139.838.160, eine Rückzahlungsquote von 28,6 % und einen erwarteten Verlust von 0,857 € pro Schein aus. Zwei Konsequenzen sind mehr wert als die Gewinnchancen. Erstens wird der Gewinnschwellen-Jackpot von etwa 134,9 Mio. € manchmal erreicht — und selbst dann ist der Schein keine gute Wette, da ein geteilter Jackpot den Gewinn halbiert, während die Chancen gleich bleiben. Zweitens bietet ein Schein pro Woche eine Chance von 50 % auf den Jackpot nach etwa 1,9 Millionen Jahren. Die Zahl, die Scheine verkauft, ist der Gewinn; die Zahl, die über sie entscheidet, sind die 28,6 %, und die ist auf keinem Schein abgedruckt.

· Aktualisiert

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