Explorer für stationäre Markow-Ketten

Markov-Ketten modellieren gedächtnislose probabilistische Übergänge über diskrete Zeit. Da die Übergangsmatrix wiederholt potenziert wird, konvergiert das System gegen einen eindeutigen stationären Eigenwertvektor, der die anfänglichen Bedingungen auslöscht und das reine stochastische Gleichgewicht offenbart.

Jede Zeile der Übergangsmatrix ist einfach eine Menge von Wahrscheinlichkeiten: Wenn du in einem Zustand bist, wie wahrscheinlich springst du im nächsten Schritt in jeden anderen. Multipliziere deinen aktuellen Wahrscheinlichkeitsvektor pro Schritt einmal mit P, und die Zahlen driften auf eine feste Mischung zu, die stationäre Verteilung π. Diese Mischung zeigt den Zeitanteil, den das System langfristig in jedem Zustand verbringt — probiere das Wetter-Beispiel und beobachte, wie sich p(k) einpendelt.

Setze die Zwei-Zustands-Matrix auf [[0,1],[1,0]] — eine Münze, die immer umschlägt. Sie besitzt eine völlig gültige, eindeutige stationäre Verteilung π = (0.5, 0.5), doch startet man bei (1, 0), springt p(k) für immer 1,0 → 0,1 → 1,0 und konvergiert nie. Genau solche periodischen Ketten sind der Grund, warum der Explorer converged: no melden kann; garantierte Konvergenz braucht eine aperiodische Kette, nicht nur ein eindeutiges π.