Das Kelly-Kriterium

Du wiederholst eine günstige Wette und setzt jedes Mal denselben Anteil deines Spielkapitals. Je höher der Einsatz, desto stärker wächst das Spielkapital im Durchschnitt. Schau dir die Spieler an, aus deren Ergebnissen dieser Durchschnitt entsteht. Welcher Einsatz ist für einen einzelnen Spieler am besten?

Rechenbeispiel — Das Kelly-Kriterium

Kelly-Anteil	0,200
Wachstumsrate pro Wette beim Kelly-Anteil	+0,02014
Erhaltener Anteil an Kellys Wachstumsrate	100,0%
Durchschnittliches Spielkapital nach 100 Wetten	50,50
Median des Spielkapitals nach 100 Wetten	7,49
Wahrscheinlichkeit, noch Spielkapital zu haben	1

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Lektion

Die Theorie — Das Kelly-Kriterium

Das Kelly-Kriterium bestimmt den Anteil f des Spielkapitals, den du bei einer wiederholten Wette einsetzen solltest, um die langfristige Wachstumsrate g(f) = p ln(1 + bf) + q ln(1 − f) zu maximieren. Diese Rate ist der Erwartungswert des Logarithmus des Wachstumsfaktors des Spielkapitals pro Wette. Bei einer Gewinnwahrscheinlichkeit p und einer Gewinnquote b zu 1 liegt das Maximum bei f* = (bp − q)/b. Entspricht der Gewinn dem Einsatz, gilt f* = p − q: Der optimale Einsatzanteil entspricht dann deinem Wettvorteil. Nach dem Gesetz der großen Zahlen liegt das Spielkapital eines einzelnen Spielers nach n Wetten auf logarithmischer Skala nahe bei e^ng(f). Das durchschnittliche Spielkapital beträgt hingegen (1 + (bp − q)f)ⁿ und wächst bei einer günstigen Wette mit jeder Erhöhung von f.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

p: die Gewinnwahrscheinlichkeit jeder Wette; q = 1 − p
b: der Gewinn pro eingesetzter Einheit, zusätzlich zum zurückgezahlten Einsatz
f: der Anteil des aktuellen Spielkapitals, den du bei jeder Wette einsetzt
g(f): die Wachstumsrate eines einzelnen Spielers pro Wette, gemessen im natürlichen Logarithmus

Setzt voraus: Du wiederholst dieselbe Wette mit unverändertem p und b. Die Wettresultate sind unabhängig voneinander, und das Spielkapital lässt sich beliebig fein aufteilen. Vor jeder Wette passt du den Einsatz auf den Anteil f des aktuellen Spielkapitals an.

Das durchschnittliche Spielkapital steigt rasant, der typische Spieler geht pleite 🖖

Klick auf Alles setzen. Die Münze fällt mit 60 % Wahrscheinlichkeit zu deinen Gunsten; bei einem Gewinn erhältst du zusätzlich zum Einsatz noch einmal denselben Betrag. Jede Wette bringt dir daher im Durchschnitt 20 % des Einsatzes als Gewinn. Wenn du jedes Mal alles setzt, wächst das durchschnittliche Spielkapital so stark wie möglich: Nach 100 Wetten beträgt es das 1,2¹⁰⁰ = 8,28×10⁷-Fache des Anfangskapitals. Dieser Mittelwert beruht allein auf dem Fall, dass ein Spieler alle 100 Wetten gewinnt. Dessen Wahrscheinlichkeit beträgt 0,6¹⁰⁰ = 6,53×10⁻²³. Alle anderen Spieler sind pleite, auch sämtliche 200 Spieler dieser Simulation. John Kelly schrieb 1956, ein solcher Spieler würde „mit Wahrscheinlichkeit eins pleitegehen, wenn er unbegrenzt weiterspielte“. Auch bei geringerem Einsatz kann das Problem auftreten. Klick auf Doppelter Kelly-Anteil: Du setzt pro Wette 40 % deines Spielkapitals. Nach 100 Wetten beträgt der Mittelwert 2.199,76, der Median 0,78; 53,8 % der Spieler liegen unter ihrem Anfangskapital. Beim <a href="/stat/martingale-betting">Verdopplungssystem</a> zeigte sich die umgekehrte Konstellation: Trotz Gewinnen an fast allen Spielabenden entstand im Mittel ein Verlust.

Jede Wette ist günstig, doch mit Wahrscheinlichkeit eins geht das Kapital verloren 🖖

Die gestrichelte Mittelwertkurve im oberen Diagramm zeigt den Logarithmus des Wachstumsfaktors des durchschnittlichen Spielkapitals, ln(1 + 0,2f). Sie steigt mit jeder Erhöhung des Einsatzes. Die durchgezogene Kurve zeigt g(f) = 0,6 ln(1 + f) + 0,4 ln(1 − f), die Rate, mit der das Spielkapital eines einzelnen Spielers auf Dauer mit Wahrscheinlichkeit eins wächst. Ihr Maximum liegt beim Kelly-Anteil 0,200. Bei 0,3894, dem 1,947-Fachen des Kelly-Anteils, fällt sie wieder auf null. Dort bringt jede Wette im Durchschnitt noch immer einen Gewinn von 7,79 % des Spielkapitals. Oberhalb dieses Einsatzes geht das Kapital eines Spielers mit Wahrscheinlichkeit eins gegen null, wie günstig jede einzelne Wette auch sein mag. Edward Thorp formuliert dies in Teil (ii) seines ersten Satzes zu diesem Thema. Wenn der Gewinn dem Einsatz entspricht, liegt die Nullstelle bei jeder Gewinnwahrscheinlichkeit unter dem doppelten Kelly-Anteil. Klick auf Doppelt, 1.000 Wetten: Das durchschnittliche Spielkapital beträgt 2,65×10³³, der Median 0,0866. In der Nähe von f = 0 entspricht der Abstand zwischen den beiden Kurven ungefähr der halben Varianz der Rendite einer Wette. Diesen wachstumshemmenden Effekt untersucht die Lektion Kapitalrückgang und Volatilitätsverlust an realen Portfolios. Beim Kelly-Anteil ist der Abstand bereits ungefähr so groß wie die Wachstumsrate selbst.

Mit halbem Kelly-Anteil bleiben drei Viertel der Wachstumsrate erhalten 🖖

Klick auf Halber Kelly-Anteil. Wenn du 0,1 statt 0,2 deines Spielkapitals setzt, halbierst du jeden Einsatz und behältst 74,7 % der Wachstumsrate. Am Maximum verläuft g(f) flach; eine kleine Verringerung des Einsatzes kostet dort wenig Wachstum. In der Tabelle siehst du den Nutzen: Nach 100 Wetten sinkt die Wahrscheinlichkeit, unter dem Anfangskapital zu liegen, von 17,9 % auf 6,4 %. Kellys Ergebnis gilt weiterhin: Sein Spieler wird „mit Wahrscheinlichkeit eins irgendwann vorn liegen und vorn bleiben“, verglichen mit jedem anderen festen Einsatzanteil. Bis dahin kann allerdings viel Zeit vergehen. Bei denselben 100 Wettresultaten liegt der Spieler mit vollem Kelly-Anteil am Ende mit 69,7 % Wahrscheinlichkeit vor dem Spieler mit halbem Kelly-Anteil; nach 1.000 Wetten sind es 94,3 %. Thorp gibt für den halben Kelly-Anteil drei Viertel der Wachstumsrate an. Wenn der Gewinn dem Einsatz entspricht, bleibt nie mehr erhalten. Claude Shannon machte ihn 1960 am MIT auf Kellys Arbeit aufmerksam. Thorp nutzte das Kriterium beim Blackjack und stellte es 1962 in Beat the Dealer einem breiten Publikum von Spielern vor. Dabei wies er darauf hin, dass der Einsatz in der Praxis meist niedriger gewählt wird. Der Kelly-Anteil maximiert zugleich den Erwartungswert des logarithmierten Vermögens, jenes Maß, das Daniel Bernoulli beim Sankt-Petersburg-Spiel verwendete.

Aufgabe vollständig gelöst

Du hältst die Münze für 60–40. Tatsächlich ist sie 55–45. 4 Schritte
Du schätzt p = 0,6 und setzt den dazugehörigen Kelly-Anteil bei einem Gewinn in Höhe des Einsatzes. Die tatsächliche Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 0,55. Wie verändert sich deine Wachstumsrate? Was wäre mit halbem Kelly-Anteil passiert? Klick zuerst auf Kelly-Anteil: Du siehst deinen gewählten Einsatz und die Wachstumsrate, die du erwartest.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Dein gewählter Einsatz und die erwartete Wachstumsrate aus der Anzeige:
  
  $f^{*} = p - q = 0.6 - 0.4 = 0.2, g (f^{*}) = + 0.02014$
2. Der tatsächliche Kelly-Anteil ist p − q = 0,10. Mit 0,2 setzt du also das Doppelte des optimalen Anteils. Die Wachstumsrate beim tatsächlichen p:
  
  $0.55 ln 1.2 + 0.45 ln 0.8 = - 0.00014$
3. Die Hälfte deines Kelly-Anteils, 0,1, entspricht genau dem tatsächlichen Kelly-Anteil:
  
  $0.55 ln 1.1 + 0.45 ln 0.9 = + 0.00501$
4. Hätte deine Schätzung von 0,6 gestimmt, wären mit halbem Kelly-Anteil immer noch erhalten geblieben
  
  $\frac{0 . 6 ln 1 . 1 + 0 . 4 ln 0 . 9}{0 . 02014} = \frac{0 . 01504}{0 . 02014} = 74 . 7%$
Antwort

Beim tatsächlichen p beträgt die Wachstumsrate mit deinem vollen Kelly-Anteil −0,00014 pro Wette. Trotz eines Wettvorteils von 10 % lässt dieser vermeintlich optimale Einsatz dein Spielkapital mit Wahrscheinlichkeit eins gegen null gehen. Mit halbem Kelly-Anteil beträgt die Wachstumsrate +0,00501. Bei p = 0,55 ist das die höchstmögliche Rate. Hätte deine Schätzung gestimmt, hättest du dafür ein Viertel der Wachstumsrate aufgegeben. Schon eine Überschätzung der Gewinnwahrscheinlichkeit um fünf Prozentpunkte bringt deinen vollen Kelly-Anteil über den Einsatz mit Wachstumsrate null hinaus; bei p = 0,55 liegt diese Grenze bei 0,1987. Diese Asymmetrie ist der übliche Grund, nur einen Teil des Kelly-Anteils zu setzen.

$p = 0.55 : g (0.2) = - 0.00014 < 0 < g (0.1) = 0.00501; f_{c} = 0.1987 < 0.2$

Lernpfad

Faire Spiele, die dich ruinieren

Quellen (2)

The paper the page is named after: a gambler betting a fraction ℓ of his capital on an even-money channel symbol has growth G = q log(1 + ℓ) + p log(1 − ℓ), maximised at 1 + ℓ = 2q, that is ℓ = q − p; betting everything maximises the expected capital, "(2q)^N V₀", but "he would be broke with probability one if he continued indefinitely"; and the maximising gambler "will, with probability one, eventually get ahead and stay ahead" of one using any other fraction. Kelly's p is the chance of an error and q of a correct symbol, the reverse of the page's p and q: J. L. Kelly, Jr., A new interpretation of information rate. Bell System Technical Journal 35(4), 917–926 (July 1956). doi:10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x
The practitioner's account: the coin-tossing case with g(f) = p log(1 + f) + q log(1 − f), f* = p − q, the zero-growth stake f_c with f* < f_c < 1, Theorem 1 (part (ii): if g(f) < 0 the bankroll tends to 0 almost surely; part (iv): Kelly beats any essentially different strategy), betting everything as the 'bold' criterion that makes ruin almost sure, half Kelly's growth reduced to 3/4 of the maximum in the continuous approximation, and Thorp's own history: introduced to Kelly's paper by Claude Shannon at MIT in 1960, used it in play, and introduced it to gamblers in the first edition of Beat the Dealer (1962), with stakes 'modified somewhat in practice (generally down)': E. O. Thorp, The Kelly criterion in blackjack, sports betting, and the stock market. Chapter 9 in S. A. Zenios and W. T. Ziemba (eds.), Handbook of Asset and Liability Management, Volume 1, pp. 385–428. Elsevier, 2006. doi:10.1016/S1872-0978(06)01009-X

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.