Das Sankt-Petersburg-Paradoxon

Eine faire Münze wird geworfen, bis zum ersten Mal Kopf fällt. Geschieht das beim k-ten Wurf, erhält der Spieler 2^k−1 Dukaten. Der Erwartungswert ist unendlich. Schau zweihundert Spielern dabei zu, wie sie diesem Wert nachjagen. Begrenze anschließend die Auszahlung der Bank und sieh, was das Spiel dann wert ist.

Rechenbeispiel — Das Sankt-Petersburg-Paradoxon

Wert bei einem Bankvermögen von 16.777.216	13,00
Wert bei einem Bankvermögen von 1.000	5,98

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Das Sankt-Petersburg-Paradoxon

Beim Sankt-Petersburg-Spiel wird eine faire Münze geworfen, bis zum ersten Mal Kopf fällt. Geschieht das beim Wurf k, gewinnt der Spieler 2^k−1 Dukaten. Der Beitrag dieser Spieldauer zum Erwartungswert beträgt 2^−k · 2^k−1 = ½. Der Erwartungswert ist daher unendlich. Eine Bank, die höchstens B Dukaten auszahlen kann, zahlt min(2^k−1, B). Der Wert des Spiels beträgt dann V(B) = (m + 1)/2 + B/2^m+1 mit m = ⌊log₂ B⌋. Für B = 2^m ergibt sich 1 + m/2. Bei Bernoullis logarithmischer Nutzenfunktion zahlt ein Spieler mit Vermögen W höchstens den Preis x, der die Gleichung Σ 2^−k ln(W − x + 2^k−1) = ln W erfüllt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

B: höchste Auszahlung der Bank in Dukaten
V(B): Erwartungswert des Spiels gegen diese Bank
W: Vermögen des Spielers vor dem Spiel in Dukaten
x: höchster Preis, den ein Spieler mit Vermögen W bei logarithmischer Nutzenfunktion zahlt

Kann die Bank höchstens Cramers Grenze auszahlen, ist die Unendlichkeit 13 Dukaten wert 🖖

Klick auf Cramers Bank. Jede mögliche Spieldauer trägt denselben halben Dukaten zum Erwartungswert bei: Fällt beim Wurf k zum ersten Mal Kopf, beträgt die Auszahlung 2^k−1 und die Wahrscheinlichkeit dafür 2^−k. Die unendliche Summe dieser halben Dukaten ist unendlich. Dafür steht die gestrichelte Linie am oberen Rand des unteren Diagramms. Keine Bank kann jede mögliche Auszahlung leisten. Das Vermögen des Gegenspielers ist hier ebenso endlich wie beim <a href="/stat/gamblers-ruin">Ruinproblem des Spielers</a>. Gabriel Cramer wies in einem Brief von 1728 darauf hin, den Daniel Bernoulli zitiert. Sein Vorschlag: Kein Gewinn darf 2²⁴ = 16.777.216 Dukaten überschreiten. Fällt Kopf in einem der ersten 25 Würfe, kommt jeweils ein halber Dukat zum Erwartungswert hinzu. Alle längeren Spiele zahlen den Höchstbetrag aus und tragen zusammen einen weiteren halben Dukaten bei. Das Spiel ist damit 13 Dukaten wert. Bei einem Bankvermögen von 2^m beträgt sein Wert 1 + m/2. Jede Verdopplung des Bankvermögens erhöht ihn also um einen halben Dukaten; eine tausendmal so große Bank bringt etwa fünf Dukaten mehr. Nicolaus Bernoulli, der das Problem 1713 stellte, schrieb Daniel, jeder halbwegs vernünftige Mensch würde seine Gewinnchance mit großem Vergnügen für zwanzig Dukaten verkaufen. Damit das Spiel 20 Dukaten wert ist, muss die Bank 2³⁸ = 274.877.906.944 Dukaten besitzen. Mit einer Billion Dukaten kommt sie auf einen Spielwert von 20,91.

Der Durchschnitt vieler Spiele pendelt sich nie ein 🖖

Klick auf 65.536 Spiele ohne Limit. Jede dünne Linie zeigt den laufenden Durchschnitt eines Spielers. Bei einem endlichen Erwartungswert sorgt das Gesetz der großen Zahlen dafür, dass sich solche Linien diesem Wert nähern. Hier ist der Erwartungswert unendlich. Tatsächlich wächst der Durchschnitt von n Spielen mit Wahrscheinlichkeit 1 über jede Grenze hinaus, allerdings langsam. Der Median der Durchschnitte steigt knapp oberhalb der gepunkteten Kurve. Diese zeigt den Wert des Spiels gegen eine Bank, deren Vermögen der Zahl der gespielten Spiele entspricht. Mit jeder Verdopplung der Spielzahl gewinnt die Kurve einen halben Dukaten hinzu. Nach 65.536 Spielen steht sie bei 9; der Median liegt am Ende dieses Durchlaufs bei 9,29. Für den Anstieg sorgen seltene, lange Spiele. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von n Spielen mindestens n Dukaten auszahlt, beträgt bei 1.024 Spielen 63,2 % und bei 65.536 Spielen ebenfalls 63,2 %. Sie nähert sich 1 − 1/e, nicht null. So kann ein einziges Spiel den Durchschnitt weiterhin um mindestens einen Dukaten anheben, egal wie lange der Abend dauert. Bei der Verdopplungsstrategie ist der Verlauf umgekehrt: Fast jeder Abend bringt einen Gewinn von einer Einheit. Den Durchschnitt bestimmen die seltenen Abende, an denen alles verloren geht. Klick auf Bank mit 1.024. Mit einer endlichen Bank beträgt der Erwartungswert 6 Dukaten. Die Durchschnitte rücken an ihn heran; die exakte Standardabweichung des Durchschnitts eines Spielers sinkt auf 0,15.

Ein Spieler mit Vermögen W bewertet das Spiel fast wie eine Bank mit W Dukaten 🖖

Klick auf Bernoullis 1.000 Dukaten. Daniel Bernoulli schlug 1738 vor, den Nutzen eines Vermögenszuwachses umgekehrt proportional zum vorhandenen Vermögen anzusetzen. Daraus ergibt sich der Logarithmus als Nutzenfunktion. Ein Spieler mit Vermögen W sollte höchstens den Preis x zahlen, bei dem der erwartete Logarithmus seines Vermögens nach dem Spiel dem Logarithmus seines bisherigen Vermögens entspricht. Besitzt er 1.000 Dukaten, zahlt er 5,97. Gegen eine Bank mit genau 1.000 Dukaten ist das Spiel 5,98 Dukaten wert. Klick auf Ein Millionär: 10,94 gegenüber 10,95. Zwischen 1.000 Dukaten und 10¹⁵ unterscheiden sich die beiden Werte nie um mehr als 0,03. Das lässt sich am Logarithmus ablesen. Solange ein Gewinn g im Verhältnis zu W klein ist, liegt ln(1 + g/W) nahe bei g/W. Der Gewinn geht dann annähernd mit seinem vollen Geldwert ein. Übersteigt g das Vermögen W, wächst der Logarithmus so langsam, dass lange Spiele kaum noch etwas beitragen. Das eigene Vermögen setzt dem Spieler eine Grenze. Unterhalb von 1.000 Dukaten gehen die Werte auseinander: Wer 10 Dukaten besitzt, zahlt 2,88 für ein Spiel, das gegen eine Bank mit 10 Dukaten einen Wert von 2,63 hat. Bernoulli selbst schätzte den Wert eines geschenkten Spiels auf etwa 3 Dukaten bei einem Vermögen von 10, etwa 4 bei einem Vermögen von 100 und 6 bei einem Vermögen von 1.000. Für jemanden, der nichts besitzt, beträgt der Wert genau 2.

Aufgabe vollständig gelöst

Cramers andere Lösung: Quadratwurzel statt Auszahlungsgrenze 4 Schritte
Im selben Brief von 1728 untersuchte Cramer eine zweite Idee: Die Auszahlung bleibt unbegrenzt, aber der Nutzen des Geldes entspricht seiner Quadratwurzel. So bringen 40 Millionen doppelt so viel Nutzen wie 10 Millionen. Wie viel ist das Spiel für ihn dann in Dukaten wert? Klick zuerst auf Cramers Bank. Dort siehst du den Wert aus seiner ersten Lösung.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Der Wert des begrenzten Spiels aus seiner ersten Lösung, wie auf der Seite angegeben:
  
  $V (2^{24}) = 1 + \frac{24}{2} = 13$
2. Bewerte jede Auszahlung mit ihrer Quadratwurzel. Der k-te Summand lautet 2^−k√(2^k−1). Die geometrische Reihe mit dem Quotienten 1/√2 konvergiert auch ohne Auszahlungsgrenze:
  
  $k \geq 1 \sum 2^{- k} 2^{k - 1} = \frac{1}{2} j \geq 0 \sum (\frac{1}{2})^{j} = \frac{1}{2 - 2} = 1.7071$
3. Das Sicherheitsäquivalent ist der Geldbetrag, dessen Quadratwurzel diesem erwarteten Nutzen entspricht:
  
  $(\frac{1}{2 - 2})^{2} = \frac{1}{6 - 4 2} = 2.914$
4. Zum Vergleich: Bernoullis logarithmische Nutzenfunktion für einen Spieler, der nichts besitzt und das Spiel geschenkt bekommt:
  
  $k \geq 1 \prod (2^{k - 1})^{2^{- k}} = 2^{\sum_{k} (k - 1) 2^{- k}} = 2^{1} = 2$
Antwort

2,91 Dukaten: 1/(6 − 4√2), bei unbegrenzter Bank. Cramer nannte das „weniger als 3, wahrlich ein geringfügiger Betrag, aber dennoch, wie ich glaube, näher an der landläufigen Bewertung als 13“. Durch die Quadratwurzel nehmen die Beiträge langer Spiele geometrisch ab. Die Auszahlungsgrenze hatte sie unmittelbar beschränkt. Bernoullis logarithmische Nutzenfunktion ergibt für einen Spieler ohne Vermögen einen Wert von 2.

$\frac{1}{6 - 4 2} = 2.91 < 3 < 13$

Lernpfad

Faire Spiele, die dich ruinieren

Quellen (2)

Daniel Bernoulli's paper of 1738, in Louise Sommer's translation: the game in the page's form (one ducat on the first toss, doubling), Nicolaus Bernoulli's remark that a reasonable man would sell his chance for twenty ducats, the logarithmic valuation with the man worth 10, 100 and 1,000 ducats (about 3, 4 and 6) and nothing (two ducats precisely), the equation for the purchase price, and Gabriel Cramer's letter of 1728 with the cap at 2²⁴ ducats (13) and the square root (less than 3), which the first insight and the worked problem use: D. Bernoulli, Exposition of a new theory on the measurement of risk, translated by L. Sommer. Econometrica 22(1), 23–36 (1954). Originally Specimen theoriae novae de mensura sortis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 5, 175–192 (1738). doi:10.2307/1909829
The history in one place: Nicolaus Bernoulli's letter to Montmort of 9 September 1713 (a die, not a coin, and a progression 1, 2, 4, 8, 16), Cramer's simpler coin version and his bounded valuation in 1728, Daniel Bernoulli's logarithm in 1738, and the objection that no bank has an indefinitely large reserve: M. Peterson, The St. Petersburg Paradox. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2023 edition), E. N. Zalta and U. Nodelman (eds.). First published 30 July 2019; substantive revision 1 August 2023.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.