Konvergenzradius

Die Taylorreihe von 1/(1 + x²) um a konvergiert nur innerhalb eines Abstands R von a. Verschiebe den Grad, den Punkt x₀ sowie das Zentrum und betrachte den reellen Graphen und die komplexe Ebene gemeinsam: Die Kreisscheibe in der Ebene entscheidet, wo man der Kurve vertrauen kann.

Rechenbeispiel — Konvergenzradius

Konvergenzradius, R	1,000000
Konvergenzbereich der Reihe	−1,000000 < x < 1,000000
Abstand von x₀, in Radien	1,1000
Polynom vom Grad 80 bei x₀	1.121,975
Die Funktion bei x₀	0,4524887
Fehler des Polynoms	1.121,522
Maximal möglicher Fehler	1.515,693
Mittelwert der Partialsummen bis Grad 80	1,774285

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Lektion

Die Theorie — Konvergenzradius

Der Konvergenzradius einer Potenzreihe Σ c_n(x − a)ⁿ ist die Zahl R, für die die Reihe bei |x − a| < R konvergiert und bei |x − a| > R divergiert. Für 1/(1 + x²) ist R der Abstand von a zum nächstgelegenen Punkt in der komplexen Ebene, an dem die Funktion unendlich wird. Das ist bei i oder −i, sodass R = √(1 + a²) gilt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

R: der Konvergenzradius um a, |a − i| = √(1 + a²)
q: (a − x)/(a − i); der Betrag |x − a|/R gibt an, wie viele Radien x vom Zentrum entfernt liegt

Woher die Formel kommt

Woher die Koeffizienten stammen. Zerlege 1/(1 + z²) in (1/2i)[1/(z − i) − 1/(z + i)]. Jeder Teil ist eine geometrische Reihe um a: 1/(z − i) = 1/((a − i) + (z − a)) = Σ (−1)ⁿ(z − a)ⁿ/(a − i)ⁿ⁺¹, was genau dann konvergiert, wenn |z − a| < |a − i|. Der andere Teil sieht mit a + i genauso aus und hat den gleichen Abstand, sodass beide bei R = √(1 + a²) abbrechen.
Warum der Fehler eine Potenz von q ist. Bricht man eine geometrische Reihe nach N + 1 Termen ab, bleibt als Rest das q^N+1-Fache des Ganzen übrig. Somit gilt exakt f(x) − T_N(x) = Im[q^N+1/(x − i)]. Der Betrag ist höchstens |q|^N+1/√(1 + x²): Er schrumpft wie eine geometrische Folge, wenn |q| < 1, wächst wie eine solche bei |q| > 1, und bei |q| = 1 schrumpft er weder noch wächst er.

Keine Probleme auf der reellen Achse, und dennoch scheitert die Reihe bei 1 🖖

Klick auf Kurz nach 1. Die Funktion 1/(1 + x²) ist so harmlos, wie eine Funktion nur sein kann: Sie ist positiv, übersteigt nie die 1 und besitzt an jeder reellen Zahl Ableitungen beliebiger Ordnung. Dennoch ergibt Grad 80 um 0 bei x = 1,1 den Wert 1.121,975, während die Kurve bei 0,4524887 liegt. Das Hinzufügen weiterer Terme macht es nur noch schlimmer: Alle zwei Grade multipliziert sich der Fehler mit 1,21. Klick auf Kurz vor 1: Der Punkt 0,9 liegt auf der anderen Seite im gleichen Abstand zu 1, und derselbe Grad weicht nur um 9,777×10⁻⁵ ab. Nichts bei x = 1 erklärt diesen Unterschied; die Kurve verläuft dort ohne Knick bei ½. Das untere Feld liefert die Erklärung. Ersetzt man x durch eine komplexe Zahl z, wird 1/(1 + z²) dort unendlich, wo z² = −1 gilt. Das ist bei i und −i der Fall, die beide genau 1 vom Zentrum entfernt sind.

Der Radius ist der Abstand zu i, ganz gleich, wo du die Reihe zentrierst 🖖

Zieh im unteren Feld das Zentrum a entlang der reellen Achse. Die Kreisscheibe wächst und schrumpft so, dass ihr Rand immer durch i und −i verläuft, also R = √(1 + a²). Das schattierte Band auf dem reellen Graphen oben ist der Schatten der Kreisscheibe auf der reellen Achse. Klick auf Zentrum bei 1: Hier ist R = 1,414214, die Reihe konvergiert also von −0,414214 bis 2,414214. Bei x = 2, wo die Reihe um 0 den Wert 9,671×10²³ geliefert hat, weicht Grad 80 nur um 2,728×10⁻¹³ ab. Keines der beiden Enden dieses Intervalls stellt auf der reellen Achse eine Besonderheit dar. Es sind lediglich die Stellen, an denen ein Kreis um 1 durch die beiden Polstellen zufällig die reelle Achse schneidet.

Auf dem Kreis selbst pendelt sich die Reihe weder ein, noch bricht sie aus 🖖

Klick auf Auf dem Rand. Bei x = 1 wird die Reihe um 0 zu 1 − 1 + 1 − 1 + …, der Grandi-Reihe. Grad für Grad lauten die Partialsummen 1, 1, 0, 0, 1, 1, … Sie pendeln sich nie ein, wachsen aber auch nicht. Die Funktion hat dort den Wert ½. Die letzte Ergebniszeile bildet den Mittelwert der Partialsummen. Dieser Mittelwert beträgt 0,5061728 bei Grad 80 und nähert sich exakt diesen ½ an.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Reihe scheitert bei x = 1. Gilt das auch für ihr Integral? 4 Schritte
Integriere das Polynom vom Grad 80 von 0 bis 1, Term für Term, und vergleiche es mit der tatsächlichen Fläche unter 1/(1 + x²). Bei x = 1 pendelt sich die Reihe selbst nie ein. Was passiert mit der Fläche?

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die tatsächliche Fläche ist ein Arkustangens:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan 1 = \frac{π}{4} = 0.7853982$
2. Term für Term wird jedes x^2k zu 1/(2k + 1):
  
  $\int_{0}^{1} T_{80} d x = \int_{0}^{1} (1 - x^{2} + x^{4} - \dots + x^{80}) d x = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{1}{81} = 0.7914948$
3. Die Differenz ist das Integral des Fehlers, den die geometrische Reihe exakt liefert. Dabei liegt 1/(1 + x²) auf [0, 1] zwischen ½ und 1:
  
  $\int_{0}^{1} (T_{80} - f) d x = \int_{0}^{1} \frac{x ^{82}}{1 + x ^{2}} d x \in (\frac{1}{166}, \frac{1}{83}) = (0.0060241, 0.0120482); 0.0060967$
4. Diese Schranke strebt mit wachsendem Grad gegen 0. Somit konvergiert die alternierende Reihe der ungeraden Kehrwerte, und zwar gegen π/4:
  
  $0 < \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 k + 2}}{1 + x ^{2}} d x < \frac{1}{2 k + 3} \to 0 \Rightarrow 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}$
Antwort

Die Fläche konvergiert dort, wo die Reihe es nicht tat: 0,7914948 gegenüber π/4 = 0,7853982, und jedes weitere Gradpaar verkleinert die Lücke. Sie konvergiert allerdings langsam. Da der Fehler nach n Termen nahe bei 1/(4n) liegt, erfordert ein Fehler von einem Millionstel etwa 250.000 Terme. Außerdem konvergiert sie nur bedingt, da 1 + ⅓ + ⅕ + … divergiert. Das ist genau die Art von Reihe, von der Riemann gezeigt hat, dass man sie so umordnen kann, dass sie jeden beliebigen Wert annimmt. Im selben Aufsatz von 1854 merkte er an, dass Reihen nach Potenzen einer Variablen absolut konvergieren, von einzelnen Werten der Variablen abgesehen; x = 1 ist einer dieser Werte.

$0.7914948 - 0.7853982 = 0.0060967 \approx \frac{1}{4 \times 41}; 1 0^{- 6} needs \approx 250, 000 terms$

Lernpfad

Unendliche Reihen und Konvergenz

Quellen (2)

The theorem the page draws, that a function holomorphic on a region can be expanded about any point into a power series whose radius is at least the distance to the region's boundary, and this page's own example, 1/(z² + 1) about 0, radius 1 because of the singularities at ±i: M. Beck, G. Marchesi, D. Pixton and L. Sabalka, A First Course in Complex Analysis, edition 1.6 (2025), open textbook, Corollary 8.1.10 and Example 8.1.11.
Riemann's remark, in the essay where he gave the rearrangement theorem, that series in rising powers of a variable belong to the class that converges absolutely, single values of the variable excepted: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe", Habilitationsschrift, Göttingen 1854; published by R. Dedekind in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1867), §3. Transcribed by D. R. Wilkins, Trinity College Dublin.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.