Sigma-Summen-Rechner

Wähle einen Ausdruck, lege die Grenzen fest und beobachte, wie sich die kumulierte Summe Glied für Glied entwickelt.

Rechenbeispiel — Sigma-Summen-Rechner

Endliche Summe	55
Anzahl der Glieder	10

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Sigma-Summen-Rechner

Die Sigma-Notation ist eine kompakte Anweisung zum Addieren. ∑ besagt: Nimm den Ausdruck rechts davon, lass den Index jede ganze Zahl von der unteren Grenze bis zur oberen Grenze durchlaufen — beide Enden eingeschlossen — und addiere die Ergebnisse.

Die vier Teile eines Sigma-Ausdrucks: das Summenzeichen mit der darüber stehenden oberen Grenze sowie dem darunter stehenden Index und der unteren Grenze, gefolgt vom zu addierenden Term.

Das Summenzeichen. Es hat keinen eigenen Wert — es weist dich an zu addieren.
Die obere Grenze n über dem Sigma: der letzte Wert des Index, eingeschlossen.
Der Index und seine untere Grenze, k = m, unter dem Sigma: wo das Zählen beginnt, ebenfalls eingeschlossen.
Der Term f(k) rechts davon: wird für jeden Indexwert einmal berechnet, und diese Ergebnisse werden addiert.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

k: der Index — ein Zähler, der nacheinander jeden ganzzahligen Wert annimmt. Mathematisch gesehen ist sein Name lokal für die Summe, sodass i oder j genau dasselbe bedeuten würde; hier heißt er immer k, und die Tabellenspalte oben ist mit Index (k) überschrieben.
m: die untere Grenze, geschrieben unter dem Sigma als k = m. Sie ist der erste Wert des Index und ist eingeschlossen — sie entspricht dem von-Feld oben.
n: die obere Grenze, geschrieben über dem Sigma. Der letzte Wert, den der Index annimmt, ist ebenfalls eingeschlossen — weshalb das Durchlaufen von 1 bis 10 zehn Terme ergibt statt neun. Es ist das bis-Feld oben.
f(k): der Term — der Ausdruck, der für jeden Indexwert einmal ausgewertet wird. Hier kann er aus fünf Vorlagen ausgewählt werden: k, k^2, 2k+1, 1/k und (-1)^k.

Woher die Formel kommt

Da beide Grenzen eingeschlossen sind, ist die Anzahl der Terme nicht n − m. Schreib die Indexwerte aus: m, m + 1 und so weiter bis n.
Subtrahiere m von jedem Eintrag, sodass die Liste bei null beginnt: 0, 1, … , n − m. Das Umbenennen ändert nur, wie die Eintragsbezeichnungen heißen, nicht aber wie viele es sind.
Eine Liste von 0 bis n − m enthält n − m + 1 Einträge. Von 1 bis 10 ergeben sich also zehn Terme und von 0 bis 12 dreizehn — was oben jeweils als Anzahl der Terme angezeigt wird.

Setzt voraus: Ganzzahlige Indexwerte, Schritt für Schritt und in endlicher Anzahl: Beide Grenzen werden auf ganze Zahlen gerundet und auf den Bereich von −30 bis 30 beschränkt, damit die Seite nicht einfriert. Der Term wird aus fünf Vorlagen ausgewählt und nicht frei eingegeben, was dies zu einer Veranschaulichung der Schreibweise macht und nicht zu einem allgemeinen Summenrechner.
Versagt, wenn: Wählt man 1/k und lässt den Index bei 0 beginnen, ist der erste Term undefiniert. Er wird nicht stillschweigend übersprungen — die Berechnung stoppt dort: Das Ergebnis lautet undefined, die Anzahl der Terme fällt auf 1, und die Aufschlüsselungstabelle endet nach dieser einzelnen Zeile. Die ausgeschriebene Entwicklung zeigt weiterhin undef + 1/1 + 1/2 + ⋯, was das ehrliche Bild ist — ein einzelner undefinierter Term macht die gesamte Summe undefiniert, egal wie viele wohldefinierte Terme danach folgen.

Jede Zwischensumme in der Ungerade-Zahlen-Voreinstellung ist eine Quadratzahl 🖖

Lade die Voreinstellung 2k+1 und lies die Kumulativspalte von oben nach unten: 1, 4, 9, 16, 25 — es bleibt immer eine Quadratzahl, und am Ende steht 169, also 13². Das liegt nicht an diesen Grenzen. Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ergibt stets genau n², also ist die Zwischensumme, die das Werkzeug nach jedem Schritt anzeigt, die Anzahl der bisherigen Glieder zum Quadrat. Die Partialsummen betreiben Geometrie: jede ungerade Zahl ist der L-förmige Streifen, der ein Quadrat in das nächste verwandelt.

Kurzschreibweise fürs Aufsummieren 🖖

Das große Σ ist einfach eine Anweisung: Addiere jeden Term, während der Index von der unteren zur oberen Grenze läuft. Dieses Werkzeug übernimmt das Addieren und zeigt ebenso nützlich die laufende Summe nach jedem Schritt — die Partialsummen. Das Endergebnis ist nichts anderes als die letzte Partialsumme dieser Kurve.

Wenn Nichts-Addieren null ergibt 🖖

Eine leere Summe — also eine ganz ohne Terme, weil die obere Grenze unter der unteren liegt — ist nicht undefiniert. Vereinbarungsgemäß ist sie gleich 0: Null ist das neutrale Element der Addition, sodass eine leere Summe den Wert unverändert lässt, zu dem sie addiert wird. Ihr multiplikatives Gegenstück ist ebenso überraschend: Ein leeres Produkt ist 1. Hier kann man eine solche allerdings nicht erzeugen, und das ist gut zu wissen: Stellt man eine obere Grenze ein, die unter der unteren liegt, werden die beiden stillschweigend vertauscht, sodass aus k = 5 hinunter bis 2 stattdessen k = 2 hinauf bis 5 wird und 14 zurückgibt.

Euler schrieb es auf, und du klickst es bereits an 🖖

Das Symbol stammt von Euler. In Institutiones calculi differentialis (1755) hielt er fest, dass eine Summe durch das Zeichen Σ gekennzeichnet werden solle — das griechische große Sigma, der Anfangsbuchstabe von summa — und es setzte sich durch, was für mathematische Schreibweisen selten ist: Die meisten Vorschläge aus jener Zeit wurden später ersetzt. Längst hat es die reine Mathematik verlassen. Die AutoSumme-Schaltfläche in jeder gängigen Tabellenkalkulation ist genau dieses Σ, sodass Menschen, die sich selbst nie als Mathematiker bezeichnen würden, an den meisten Arbeitstagen zu Eulers Schreibweise greifen. Eine Warnung noch, da die beiden ähnlich aussehen, es aber nicht sind: Das große Σ ist eine Anweisung, addiere diese Werte, während das kleine σ die Standardabweichung einer Verteilung bezeichnet. Bei “Six Sigma” handelt es sich um das kleine Sigma.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Die Voreinstellung ungerade Zahlen summiert 2k+1 von k = 0 bis 12 und meldet 169 über 13 Terme. Die anderen Voreinstellungen zeigen unter ihrer Summe eine geschlossene Formel; diese zeigt keine. Finde das Muster selbst — setze die obere Grenze auf 4, dann 9, dann 19.

Antwort anzeigen

25, 100 und 400, über 5, 10 und 20 Terme. Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist immer genau n², und 169 ist 13². Stell dir ein Quadrat vor, das in L-förmigen Schichten wächst: ein Punkt, dann ein L aus drei Punkten darum, dann ein L aus fünf Punkten darum — nach n Schichten hältst du ein n × n Quadrat in der Hand, und jede Schicht war die nächste ungerade Zahl. Das Werkzeug kennt die geschlossenen Formen für k und k² und zeigt sie an; diese hier kennt es nicht, also bekommst du nur die Summe.
Die Voreinstellung harmonisch summiert 1/k von 1 bis 8 und erhält 2.717857, mit dem Hinweis, dass die Partialsummen sich keinem endlichen Grenzwert nähern. Rate, wie weit die obere Grenze gehen muss, bis die Summe 5 überschreitet — und finde es dann heraus.

Antwort anzeigen

83. Term 82 lässt sie bei 4.990020 stehen, Term 83 kippt sie auf 5.002068. Bis 6 braucht es 227 Terme, und 226 landet bei 5.999961 — vier Millionstel zu wenig. Beachte 227 ÷ 83 = 2.73, also fast genau e: die Partialsummen folgen ln n, deshalb kostet jeder weitere Schritt um +1 rund e ≈ 2.718 mal so viele Terme wie alles davor zusammen. Für 10 braucht es 12367 Terme; das Werkzeug rechnet es aus, wenn du es verlangst. So sieht „nähert sich keinem Grenzwert“ von innen aus — es hört nie auf zu steigen, wird dabei aber geometrisch langsamer, und deshalb kamst du mit acht Termen nur bis 2.7.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Quadratsumme, die durch das Paaren von 1 bis 10 nicht erreichbar ist 6 Schritte
Summieren Sie 1 bis 10 durch Paarbildung statt durch Addition, und nutzen Sie dann denselben Trick für die Summe der Quadrate — welche die Paarbildung nicht erreichen kann.
1. Schreiben Sie die Summe aus. Zehn Terme sind klein genug, um direkt addiert zu werden, was genau der Grund ist, warum es der falsche Weg ist.
  
  $S = k = 1 \sum 10 k = 1 + 2 + \dots + 10$
2. Addieren Sie die Summe zu ihrer eigenen Umkehrung. Jede Spalte ergibt dieselbe Summe, und es gibt n davon — also ist die verdoppelte Summe ein Rechteck.
  
  $2 S = (1 + 10) + (2 + 9) + \dots + (10 + 1) = 10 \times 11 ⟹ S = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$
3. Das allgemeine Ergebnis. Beachten Sie, dass das Argument die Summe verdoppelt, anstatt sie zu halbieren, weshalb es keinen separaten Fall für ungerade n benötigt — die Version, die Terme von beiden Enden paarweise zusammenfasst, hingegen schon.
  
  $k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2} — the pairing needs no case split, because it doubles the sum rather than folding it$
4. Nun die Quadrate. Beginnen Sie mit einer Differenz aufeinanderfolgender Kubikzahlen, die sich zu etwas ausmultiplizieren lässt, das k² enthält.
  
  $(k + 1)^{3} - k^{3} = 3 k^{2} + 3 k + 1 ⟹ k = 1 \sum n [(k + 1)^{3} - k^{3}] = (n + 1)^{3} - 1$
5. Summieren Sie beide Seiten. Die linke Seite teleskopiert zu einem einzigen Term; die rechte Seite enthält die gesuchte Summe plus die Summe, die Sie bereits haben.
  
  $(n + 1)^{3} - 1 = 3 \sum k^{2} + 3 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + n ⟹ k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = 385$
6. Noch eine Potenz höher, und das Muster schließt sich in sich selbst.
  
  $k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2} = 5 5^{2} = 3025$
Antwort

55, dann 385, dann 3025 — und die dritte Zahl ist das Quadrat der ersten. Das Argument der Paarbildung ist berühmt und zugleich eine Sackgasse: Es funktioniert, weil die Terme linear sind, und es gibt keine Möglichkeit, Quadrate in gleiche Paare zu falten. Was es ersetzt, ist das Teleskopieren. Schreiben Sie eine Differenz aufeinanderfolgender Kubikzahlen auf, summieren Sie diese, und fast alles hebt sich auf; die Summe der Quadrate fällt aus den Trümmern heraus. Dieselbe Maschinerie eine Potenz höher angewendet liefert die Summe der Kubikzahlen, und sie landet bei 55² — die Summe der ersten n Kubikzahlen ist das Quadrat der Summe der ersten n Zahlen, für jedes n. Das ist kein Zufall, den man durch Anstarren der Zahlen erkennen kann, und deshalb lohnt es sich, das Teleskopieren zu lernen, obwohl die Paarbildung die erste Antwort schneller liefert.

$k = 1 \sum 10 k = 55, \sum k^{2} = 385, \sum k^{3} = 5 5^{2} = 3025$

Quellen (3)

Where the Σ sign comes from — Euler’s own text: L. Euler, Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, vol. 1. Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae, 1755 (E212).
And the history of the notation itself: Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Volume II. The Open Court Publishing Company, 1929.
The conventions this page relies on — inclusive limits, index changes, and why an empty sum is 0: R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik, Concrete Mathematics, 2nd ed., chapter 2 (“Sums”). Addison-Wesley, 1994. ISBN 978-0-201-55802-9.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-05-21

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

natürliche Zahlen - Klassische Summe der ersten zehn natürlichen Zahlen.
Quadratzahlen - Endliche Quadratsumme mit schnell wachsenden Termen.
linearer Ausdruck - Aufsummierung linearer Terme nach dem Muster ungerader Zahlen.
harmonische Partialsumme - Die harmonische Partialsumme zeigt langsames, logarithmisches Wachstum.