Nash-Gleichgewicht in einem 2×2-Spiel

Trag die acht Auszahlungen ein. Das Tool markiert die beste Antwort jedes Spielers direkt in den Zellen. Eine doppelt markierte Zelle ist ein Gleichgewicht. Anschließend löst es die Indifferenzbedingungen für das gemischte Gleichgewicht.

Rechenbeispiel — Nash-Gleichgewicht in einem 2×2-Spiel

Das Spiel	Feiglingsspiel
Gleichgewichte	3
Zeile spielt Oben	33,3 %
Spalte spielt Links	33,3 %
Gemischtes Gleichgewicht liefert	1,67 / 1,67
Beide spielen Unten	44,4 %

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Nash-Gleichgewicht in einem 2×2-Spiel

Ein Nash-Gleichgewicht ist ein Strategiepaar, für jeden Spieler genau eine Strategie, bei dem sich niemand durch einen einseitigen Wechsel verbessern kann. Es ist eine Aussage, die sich ausschließlich auf unilaterale Züge bezieht. Sie bedeutet keineswegs, dass das Ergebnis gut, fair oder das bestmögliche für einen der Spieler ist. Eine gemischte Strategie ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die zwei Züge. Ein gemischtes Gleichgewicht beschreibt den Fall, in dem jeder Spieler absichtlich unberechenbar agiert. Das gelingt ihnen jedoch nur bei einer exakten Häufigkeit.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

p: wie oft der Zeilenspieler seine obere Zeile wählt
q: wie oft der Spaltenspieler seine linke Spalte wählt

Setzt voraus: Dass beide Spieler die gesamte Auszahlungsmatrix kennen, im selben Moment entscheiden und sich gegenseitig nichts versprechen können. Du kannst jede dieser Annahmen lockern. Jede einzelne dieser Abweichungen öffnet einen neuen Zweig der Spieltheorie. Sequentielle Spiele, unvollständige Information und kooperative Spiele geben dir auf exakt dieselben acht Zahlen jeweils eine völlig andere Antwort.

Deine eigenen Wahrscheinlichkeiten gehen dich nichts an 🖖

Schau dir die Schritte 4 und 5 an. Die Gleichung, die bestimmt, wie oft der Zeilenspieler Oben spielt, enthält nur die vier Zahlen des Spaltenspielers. Jene für die Häufigkeit des Spaltenspielers besteht nur aus den Zahlen des Zeilenspielers. Genau dafür ist das Mischen da. Du wählst deine Wahrscheinlichkeiten so, dass dein Gegner keinen Grund hat, eine seiner beiden Optionen vorzuziehen. Die Gleichung, die du löst, ist also seine und nicht deine eigene. Überschreibe eine deiner eigenen Auszahlungen und lass die deines Gegners unverändert. Beobachte, wie dein eigener Prozentsatz starr bleibt. Das geht genau bis zu dem Punkt, an dem deine Änderung das gemischte Gleichgewicht komplett zerstört und die Karte keines anzeigt. Der Haken liegt in diesem Nebensatz. Beim Elfmeter sind die beiden Matrizen fest aneinander gebunden. Jeder Punkt, den der Schütze gewinnt, ist ein Punkt, den der Torwart verliert. Ein Schütze, der tatsächlich besser wird, verändert somit beide Matrizen. Folglich verschiebt sich auch seine eigene Mischung. Erhöhe seinen ungedeckten Schuss von 95 auf 99. Senke zum Ausgleich den Wert des Torwarts von 5 auf 1. Der Schütze wird dadurch statt in 36,4 % nur noch in 33,9 % der Fälle nach Oben schießen.

Besser in etwas zu werden, kann dich schlechter stellen 🖖

Klick auf Feiglingsspiel und dann auf Feiglingsspiel, belohnt. Genau eine Zahl hat sich geändert, und sie gehört dem Zeilenspieler. Das Nervenbehalten gegen einen Ausweichenden bringt nun 12 statt 5. Das eigene Verhalten des Zeilenspielers rührt sich nicht. Er weicht immer noch in 33,3 % der Fälle aus. Seine Gleichgewichtsauszahlung fällt jedoch von 1,67 auf 1,20. Das ist ein Rückgang von 28 %. Verändert hat sich der andere Fahrer, dessen Ausweichquote von 33,3 % auf 10,0 % sinkt. Bei einem so großen Gewinn reicht bereits eine Chance von zehn Prozent auf ein Nachgeben des anderen Autos, damit sich das Geradeausfahren lohnt. Für mehr Nachgiebigkeit lässt das Gleichgewicht daher keinen Raum. Beide Autos fahren nun zu 60,0 % geradeaus, wo es vorher 44,4 % waren. Die Belohnung für bessere Nerven ist ein Gegner, der deinen Bluff öfter durchschaut. Es kommt zu mehr Unfällen und einer geringeren Auszahlung. Die eigene Auszahlung des Spaltenspielers bewegt sich dabei überhaupt nicht.

Eins oder drei, niemals zwei 🖖

Stell die acht Auszahlungen so ein, dass kein Spieler exakt indifferent bleibt. Zähl dann die Gleichgewichte. Du erhältst eins oder drei. Durchsuche alle 65.536 möglichen 2×2-Spiele, deren Auszahlungen ganze Zahlen von 0 bis 3 sind. Dabei ergeben sich 31.968 Spiele mit einem und 7.968 mit drei Gleichgewichten. Es gibt 25.600 mit einer geraden Anzahl. Jedes einzelne davon enthält einen Gleichstand. Das sind zwei Auszahlungen, mit denen ein Spieler gleichermaßen zufrieden ist. Dadurch wird eine komplette Kante des Quadrats zur besten Antwort, und die Pfade im Diagramm überlappen sich, anstatt sich zu kreuzen. Trag eine 2 in alle acht Felder ein, um den Extremfall zu sehen. Jede Zelle ist ein Gleichgewicht, also insgesamt vier. Robert Wilson bewies im Jahr 1971, dass fast jedes endliche Spiel eine ungerade Anzahl von Gleichgewichten besitzt. Das Diagramm zeigt dir den Grund dafür. Zwei Pfade, die jeweils von einer Seite eines Quadrats zur anderen verlaufen, müssen sich treffen. Sie treffen sich in einer ungeraden Anzahl von Punkten, sofern sie nicht direkt übereinanderliegen.

Aufgabe vollständig gelöst

Was bringt dir das Mischen eigentlich? Das Tool druckt die Gleichgewichtshäufigkeiten aus. Man liest sie leicht als eine Möglichkeit, den anderen Spieler auszunutzen. Das sind sie nicht. Finde heraus, was der Zeilenspieler verdient, wenn der Spaltenspieler das Gleichgewicht komplett aufgibt, und zwar in zwei verschiedenen Spielen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Nimm den Elfmeter. Notiere die erwartete Trefferchance des Schützen als Funktion beider Mischungen. Nutze p für den Schuss nach links und q für den Hechtsprung des Torwarts nach links.
  
  $E_{kick} = p (60 q + 95 (1 - q)) + (1 - p) (90 q + 70 (1 - q))$
2. Fasse die q-Terme zusammen. Die Chance des Schützen hängt nur durch die Klammer, die mit q multipliziert wird, vom Torwart ab. Bei p = 20/55 wird diese Klammer exakt null.
  
  $E_{kick} = 70 + 25 p + q (20 - 55 p)$
3. Bei seiner Gleichgewichtsmischung trifft der Schütze also zu 79,09 %, ganz egal, was der Torwart tut: immer nach links hechten, immer nach rechts hechten, eine Münze werfen. Es macht keinen Unterschied. Das ist eine Garantie, und genau diese kauft er sich damit.
  
  $p = \frac{20}{55} ⟹ 20 - 55 p = 0, E_{kick} = 70 + 25 \cdot \frac{20}{55} = 79.09%$
4. Nun dieselbe Rechnung für das Feiglingsspiel. Hier sind die beiden Auszahlungsmatrizen nicht aneinander gebunden.
  
  $E_{row} = p (3 q + 1 (1 - q)) + (1 - p) (5 q + 0) = p + q (5 - 3 p)$
5. Bei p = 1/3 ergibt die Klammer 4, nicht 0. Die Auszahlung des Zeilenspielers hängt weiterhin komplett vom anderen Fahrer ab. Sie beträgt 0,33, falls dieser niemals ausweicht, und 4,33, wenn er es immer tut.
  
  $p = \frac{1}{3} ⟹ 5 - 3 p = 4, E_{row} = \frac{1}{3} + 4 q \in [\frac{1}{3}, 4 \frac{1}{3}]$
6. Der Grund dafür ist, dass ein Elfmeter ein Konstantsummenspiel ist. Jeder Punkt, den der Schütze gewinnt, ist ein Verlust für den Torwart. Den Torwart indifferent zu machen und die eigene Auszahlung abzusichern, ist hier dieselbe Handlung. Die beiden Matrizen im Feiglingsspiel sind unabhängig. Ihre Zellen addieren sich zu 6, 6, 6 und 0, womit beide Aspekte auseinanderfallen.
  
  $A_{r c} + B_{r c} = 100 \forall r, c vs A_{r c} + B_{r c} \in {6, 6, 6, 0}$
Antwort

In einem Konstantsummenspiel ist die Gleichgewichtsmischung eine Garantie. Die 79,09 % des Schützen gelten gegen jeden Torwart, selbst wenn dieser diese Seite gelesen hat. Das ist von Neumanns Minimax-Theorem. Es ist der Grund, warum Profifußballer zum Forschungsobjekt wurden. Ignacio Palacios-Huerta schätzte die Trefferchancen bei Elfmetern im Ligabetrieb. Er berechnete die daraus folgenden Minimax-Häufigkeiten und konnte die Hypothese nicht verwerfen, dass die Spieler diese tatsächlich nutzen. Das Feiglingsspiel bietet keine solche Garantie. Der Zeilenspieler, der zu 1/3 mischt, verdient irgendwo zwischen 0,33 und 4,33. Das hängt von einem Fahrer ab, den er nicht kontrolliert. Die 1,67 stellen sich lediglich dann ein, wenn jener Fahrer ebenfalls seinen Teil dazu beiträgt. Die konstante Summe reicht für die Garantie aus, ist aber nicht zwingend erforderlich. Setze die Auszahlungen des Zeilenspielers auf 4, 0, 0, 4 gegen die 7, 2, 3, 8 des Spaltenspielers. Die Zellen addieren sich zu 11, 2, 3 und 12, während der Zeilenspieler weiterhin bei exakt 2,00 festgenagelt ist, völlig ungeachtet dessen, was der Spaltenspieler tut. Was die Garantie tatsächlich benötigt, ist Folgendes: Die Mischung, die deinen Gegner indifferent macht, muss dieselbe Mischung sein, die seinen Einfluss auf dich aufhebt. Eine konstante Summe zwingt diese beiden Dinge dazu, zusammenzufallen.

$\forall q 79.09% vs 0.33 \to 4.33 \frac{1}{3} + 4 q$

Lernpfad

Die beste Antwort und was passiert, wenn niemand sie berechnet

Quellen (3)

Two pages, and the reason every game on this tool has an equilibrium at all: J. F. Nash, "Equilibrium points in n-person games." Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1), 1950, pp. 48–49.
Where insight block 3's "one or three, never two" comes from: R. Wilson, "Computing Equilibria of N-Person Games." SIAM Journal on Applied Mathematics 21(1), 1971, pp. 80–87.
The empirical test the worked problem ends on — whether people actually mix at the equilibrium frequencies: I. Palacios-Huerta, "Professionals Play Minimax." Review of Economic Studies 70(2), 2003, pp. 395–415.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.