Die Tragik der Allmende

Stell ein, wie viele Personen die Ressource teilen. Das Tool berechnet den individuell besten Aufwand jedes Nutzers. Es vergleicht die Summe mit der Wahl eines Alleinbesitzers und zeigt, was dieser Unterschied kostet.

Rechenbeispiel — Die Tragik der Allmende

Aufwand pro Person	3,64
Gesamtaufwand	36,36
Wahl eines Alleinbesitzers	20,00
Aufwand im Vergleich zum Optimum	1,82×
Geschaffener Gesamtwert	132,2
Wertschöpfung eines Alleinbesitzers	400,0
Verbleibender Wert	33,1 %
Jede Person verdient	13,22

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Die Tragik der Allmende

Eine Allmende ist hier eine Ressource, aus der mehrere Personen gleichzeitig schöpfen. Dein eigener Ertrag sinkt dabei, je mehr Gesamtaufwand alle zusammen betreiben. Jeder wählt den Aufwand, der für ihn angesichts des Verhaltens der anderen am besten ist. Das ist ein Nash-Gleichgewicht. Die Lücke zwischen diesem Zustand und dem, was ein alleiniger Eigentümer der gesamten Ressource wählen würde, bildet die Tragik. Niemand muss dafür gierig oder dumm sein. Sie resultiert allein daraus, dass jeder seinen eigenen Fang komplett behält, die Last der Übernutzung aber nur anteilig trägt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

n: wie viele Personen aus der Ressource schöpfen
E: der Gesamtaufwand, also die Summe aller Anstrengungen
a, b: die Weide: a ist der Ertrag der ersten Aufwandseinheit, b gibt an, wie schnell dieser Ertrag sinkt

Setzt voraus: Identische Nutzer, die im selben Moment entscheiden, ohne Eigentumsrechte, ohne Absprachen und ohne die Möglichkeit, einander zu bezahlen. Elinor Ostrom hat ein ganzes Forscherleben damit verbracht zu zeigen, dass reale Gemeinschaften diese Annahmen ganz bewusst außer Kraft setzen. Die Tragik auf dieser Seite ist das, was passiert, wenn ihnen das nicht gelingt.

Bei einem Alleinbesitzer gibt es keine Tragik 🖖

Klick auf Ein Alleinbesitzer. Der Aufwand beträgt 20,00 Einheiten, das Optimum liegt bei 20,00 Einheiten, und das Verhältnis ist exakt 1,00×. Ein einzelner Hirte auf Hardins Weide tut genau das Richtige. Nicht aus Tugendhaftigkeit, sondern weil jeder Grashalm, den seine zusätzliche Kuh frisst, seinen anderen Kühen fehlt. Die gesamten Kosten der Überfüllung fallen auf die Person zurück, die sie verursacht. Klick nun auf Zwei Hirten und betrachte die erste Karte. Jeder von ihnen nutzt 13,33 Einheiten. Das ist weniger als der Alleinbesitzer nutzte. Niemand arbeitet als Einzelner härter. Aber jeder trägt jetzt nur noch die Hälfte des verursachten Schadens, behält jedoch den vollen Gewinn. Deshalb nutzt jeder mehr als die Hälfte von 20,00, wodurch die Summe auf 26,67 steigt. Das ist der gesamte Mechanismus. Beachte, was er nicht ist: Niemand hier ist gierig, kurzsichtig oder schlecht informiert. Jeder Einzelne wählt seinen individuell besten Aufwand in Anbetracht dessen, was die anderen tun. Die Tragik ist eine Eigenschaft der Anzahl der Entscheider, nicht ihres Charakters.

Die Übernutzung stoppt beim Doppelten, der Schaden nirgendwo 🖖

Zieh den Schieberegler und beobachte, wie die beiden Verhältnisse auseinanderklaffen. Der Gesamtaufwand verläuft über 1,00×, 1,33×, 1,50×, 1,60×. Er entspricht 2n/(n+1), klettert also in Richtung 2 und kommt dort nie an. Vierundzwanzig Personen bewirtschaften die Weide 1,92× zu intensiv. Tausend kämen auf 1,998×. Der Anteil des verbleibenden Wertes erzählt eine andere Geschichte. 100,0%, dann 88,9%, dann 75,0%, schließlich 33,1% bei zehn Personen und 15,4% bei vierundzwanzig. Er lautet nämlich 4n/(n+1)² und fällt damit bodenlos in Richtung null. Tausend Hirten würden die Allmende fast doppelt so intensiv bewirtschaften wie ein Alleinbesitzer und nur 0,4% ihres Wertes übrig lassen. Der Grenzwert lässt sich exakt benennen. Wächst die Menge, nähert sich der Gesamtaufwand 40 Einheiten. Genau bei einem Aufwand von 40 ist diese Weide nichts mehr wert. Die Tragik konvergiert gegen den Punkt, an dem es nichts mehr zu streiten gibt.

Den Verhältnissen ist die Qualität der Weide egal 🖖

Klick auf Zehn Hirten, dann auf Eine reichere Weide. Letztere ist in jeder Hinsicht eine andere Ressource. Die erste Aufwandseinheit bringt 90 statt 50 ein, sie ist doppelt so schnell überfüllt, und der Aufwand kostet 5 statt 10. Jede Zahl mit Einheiten verschiebt sich. Die beiden Verhältnisse jedoch nicht. Sie liegen bei 1,82× und 33,1%, genau wie zuvor. Die Rechenschritte 5 und 6 sind zeichengetreu identisch, denn 2n/(n+1) und 4n/(n+1)² enthalten kein a, kein b und kein c. Der verschwendete Anteil einer Allmende hat also nichts damit zu tun, wie wertvoll sie ist, wie schnell sie verfällt oder wie teuer ihre Ausbeutung ist, solange eine Aufwandseinheit mehr einbringt, als sie kostet. Er hängt allein davon ab, wie viele Personen entscheiden dürfen. Deshalb kann die Bereicherung einer Allmende sie nicht retten. Der zerstörte Anteil ändert sich nicht. Da der Wert vom Quadrat des Überschusses abhängt, vervierfacht sich das Weggeworfene, wenn sich der Wert der Weide verdoppelt. Die einfache Weide verschwendet 267,8 von ihren 400,0. Eine Weide mit doppeltem Überschuss verschwendet 1.071,1 von ihren 1.600,0.

Aufgabe vollständig gelöst

Was würde die Lücke schließen? Das Tool zeigt die Übernutzung und belässt es dabei. Eine Steuer ist schließlich keine Option, für die sich die Akteure selbst entscheiden können. Berechne die Abgabe pro Aufwandseinheit, die die Menge auf das Optimum zurückführen würde. Schau dir dann an, wer das Geld am Ende behält.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Erhebe eine Abgabe von t auf jede Aufwandseinheit. Am Spiel ändert sich nichts außer den Kosten für jede Person. Diese steigen auf c + t, wodurch der Überschuss pro Einheit von a − c auf a − c − t fällt.
  
  $π_{i} = e_{i} (a - b E) - (c + t) e_{i}, s_{t} = a - c - t$
2. Das Gleichgewicht ist dieselbe Formel mit dem geringeren Überschuss. Setze diese Summe mit dem Optimum gleich, das ein Planer wählen würde.
  
  $E^{*} (t) = \frac{n s _{t}}{b ( n + 1 )} =! \frac{a - c}{2 b} = E^{opt}$
3. Kürze den Überschuss, der auf beiden Seiten auftaucht, und löse die Gleichung. Die Abgabe hängt nur davon ab, wie viele Personen sich die Allmende teilen.
  
  $\frac{n ( s - t )}{n + 1} = \frac{s}{2} ⟹ t = s \cdot \frac{n - 1}{2 n}$
4. Mit zehn Hirten auf dieser Weide sind das 18 pro Einheit. Prüfe es nach. Der Überschuss nach Steuern beträgt 22. Jede Person nutzt also 22/11 = 2 Einheiten. Zehn von ihnen nutzen 20. Das ist exakt das Optimum, und die Weide bringt wieder ihre vollen 400 ein.
  
  $t = 40 \cdot \frac{9}{20} = 18, s_{t} = 22, e^{*} = \frac{22}{11} = 2, E^{*} = 20$
5. Sieh dir nun an, was den Hirten bleibt. Sie zahlen 28 pro Einheit auf 20 Einheiten. Von den 600, die sie erwirtschaften, behalten sie also 40. Die Abgabe bringt 360 ein.
  
  $600 20 (50 - 20) - 560 28 \cdot 20 = 40 vs t E = 18 \cdot 20 = 360$
6. Unreguliert behielten dieselben zehn Personen gemeinsam 132,2, also zehn Anteile von 13,22. Die Steuer hat den Ertrag der Weide verdreifacht, und den dort arbeitenden Menschen bleibt nur ein Drittel so viel wie zuvor.
  
  $40 < 132.23, 40 + 360 = 400 = Π^{opt}$
Antwort

Die korrigierende Abgabe lautet t = (a − c)(n − 1)/(2n). Sie ist null bei einem Alleinbesitzer, was der Aussage aus Erkenntnisblock 1 entspricht. Wächst die Menge, klettert sie in Richtung der Hälfte des Überschusses. Das sind 10 bei zwei Hirten, 18 bei zehn, 19,17 bei vierundzwanzig. Sie stellt bei jedem n exakt den effizienten Aufwand wieder her. Sie ist jedoch keine Lösung für das Problem der Hirten, es sei denn, die 360 fließen an sie zurück. Der Gesamtwert steigt von 132,2 auf 400,0, während ihr eigener Anteil von 132,2 auf 40,0 fällt. Zahlt man die Einnahmen in gleichen Teilen zurück, besitzt jeder der zehn Hirten 40,0 statt zuvor 13,22. Genau diese Variante funktioniert. Aus diesem Grund ist die Feldforschung von Elinor Ostrom für eine Seite wie diese so wichtig. Die Allmenden, die Jahrhunderte überdauerten, wurden nicht von einer äußeren Instanz zur Effizienz besteuert. Sie wurden durch Regeln gesteuert, die die Nutzer selbst verfassten, überwachten und durchsetzten. Und beachte, was das Modell ausblendet, denn es handelt sich nicht um ein Gespräch. Dies ist ein simultanes Einmal-Spiel. Hirten, die einer Einschränkung zustimmen, stehen im Moment ihrer Entscheidung also immer noch vor derselben Bedingung erster Ordnung. Was fehlt, ist jegliche Vereinbarung, an die sie gebunden werden könnten. Dieses Fehlen, nicht die Arithmetik, macht die Tragik unausweichlich.

$t = \frac{( a - c ) ( n - 1 )}{2 n} n \to \infty \frac{a - c}{2}$

Lernpfad

Die beste Antwort und was passiert, wenn niemand sie berechnet

Quellen (3)

The essay the phrase comes from, and the pasture the tool is a model of: G. Hardin, "The Tragedy of the Commons." Science 162(3859), 1968, pp. 1243–1248.
Where the arithmetic actually comes from — the common-property fishery, fourteen years before Hardin named it: H. S. Gordon, "The Economic Theory of a Common-Property Resource: The Fishery." Journal of Political Economy 62(2), 1954, pp. 124–142.
And the reason the word "tragedy" is doing too much work. Ostrom's fieldwork found commons that are governed successfully, for centuries, without either privatisation or the state: E. Ostrom, Governing the Commons: The Evolution of Institutions for Collective Action. Cambridge University Press, 1990.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.