Das Gefangenendilemma und Axelrods Turnier

Bestimme die vier Auszahlungen. Das Tool findet die beste Antwort auf jeden gegnerischen Zug. Danach lässt es acht Strategien in einem Rundenturnier gegeneinander antreten und zeigt dir, was jede pro Runde erzielt, wenn das Match länger dauert.

Rechenbeispiel — Das Gefangenendilemma und Axelrods Turnier

Das Spiel	Gefangenendilemma
Wenn der Mitspieler kooperiert	Defektieren
Wenn der Mitspieler defektiert	Defektieren
Besser gegen beide gegnerischen Züge	Defektieren
Was das Gleichgewicht jedem einbringt	1
Die Bedingung für Wiederholungen	Ja
Strategie	Tit for Two Tats
Pro Runde	2,564

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Das Gefangenendilemma und Axelrods Turnier

Ein Spiel ist ein Gefangenendilemma, wenn seine vier Auszahlungen zwei Ungleichungen erfüllen. T > R > P > S macht Defektion zur besseren Antwort auf jeden möglichen Zug. Folglich defektieren beide Spieler und schneiden schlechter ab, als hätten sie kooperiert. Und 2R > T + S macht beidseitige Kooperation für das Paar vorteilhafter, als sich abwechselnd gegenseitig auszubeuten. Genau dies gibt dem wiederholten Spiel seinen Reiz, statt in einem bloßen Wettlauf um den Wechsel zu enden.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

T: die Versuchung: was du erhältst, wenn du gegen einen Kooperierenden defektierst
R: die Belohnung: was ihr beide erhaltet, wenn ihr kooperiert
P: die Strafe: was ihr beide erhaltet, wenn ihr defektiert
S: die Dummenauszahlung: was du erhältst, wenn du mit einem Defektierenden kooperierst

Der Turniersieger gewann kein einziges Match 🖖

Betrachte die letzte Spalte. Bei jeder Rundenanzahl von 1 bis 200 gewinnt Immer Defektieren sechs seiner acht Partien. Trotzdem belegt es ab der siebten Runde durchgehend den letzten Platz. Tit for Two Tats hingegen entscheidet bei keiner Rundenanzahl auch nur eine einzige der acht Partien für sich. Dennoch geht es über die von Axelrod angesetzten 200 Runden als Gesamtsieger hervor. Schau dir an, wie das passiert. Tit for Two Tats wartet eine zweite Defektion ab, bevor es Vergeltung übt. Immer Defektieren knöpft ihm also zweimal fünf Punkte ab. Die übrigen 198 Runden sammelt es dann bloß noch einen einzigen Punkt von einem Spieler ein, der die Kooperation längst eingestellt hat: 5 + 5 + 198 = 208, im Vergleich zu 0 + 0 + 198 = 198. Es gewinnt dieses Match mit zehn Punkten Vorsprung. Das ist aber völlig bedeutungslos, weil die Tabelle die reine Gesamtsumme belohnt und nicht die Gewinnmarge. Während Immer Defektieren dort auf 1,04 Punkte pro Runde kam, fuhren die fünf kooperativ startenden Strategien untereinander jeweils drei Punkte pro Runde ein. Robert Axelrod, auf dessen Turnier aus dem Jahr 1980 das Design und die Auszahlungen hier zurückgehen, verpackte seine Schlussfolgerung als Ratschlag. Sei nicht neidisch. Du spielst nicht gegen den anderen Spieler, du spielst gegen das Feld.

Vier Runden machen den ganzen Unterschied 🖖

Zieh den Rundenregler auf eins hinunter. Immer Defektieren führt die Tabelle mit 4,000 Punkten pro Runde an. Jede Strategie, die mit Kooperation eröffnet, liegt darunter. Zwei Runden: weiterhin Erste, mit 3,250. Drei: 2,833, immer noch Erste. Bei vier Runden fällt sie auf den dritten Platz zurück und geht danach nie wieder in Führung. Stell den Regler zurück auf zweihundert, und die gestrichelte senkrechte Linie im Diagramm markiert die erste Runde, in der die Führung wechselte. Nach Runde zwanzig wechselt sie noch elfmal, zuletzt in Runde 48. Von da an behauptet Tit for Two Tats die Spitze. Untersuche alle 250 ganzzahligen Auszahlungskombinationen von 0 bis 10, die ein echtes Dilemma ergeben, und in 237 davon geht eine nette Strategie in Führung: meistens bis Runde 4, spätestens bis Runde 20, und in 13 davon innerhalb von 200 Runden überhaupt nicht. Das Spiel an sich hat sich nicht verändert. In jeder Runde gibt es weiterhin denselben dominanten Zug und dasselbe Gleichgewicht. Was die vierte Runde mit sich bringt, ist eine Rechnung. Eine Defektion kostet dich nun in der Zukunft etwas, und vier Runden sind lang genug, damit diese Rechnung eintrifft.

Zwei Fehler auf hundert richten fast denselben Schaden an wie zwanzig 🖖

Ist das Rauschen deaktiviert, sind 62,2% aller gespielten Züge Kooperation. Schieb den Regler auf 2%, sodass zwei von hundert Zügen das Gegenteil dessen bewirken, was die Strategie beabsichtigt hatte, und die Kooperation fällt auf 50,2%. Dann mach weiter: 50,6% bei 4%, 50,2% bei 10%, 50,0% bei 20%. Die zehnfache Fehlerrate, und es geht nichts weiter verloren. Was zwei Prozent zerstören, bleibt zerstört. Grudger zeigt diesen Absturz am brutalsten, denn diese Strategie verzeiht nie: Eine einzige Defektion des Gegners, irgendwo innerhalb von 200 Runden, beendet die Kooperation in dieser Partie endgültig. Grudger fällt vom zweiten auf den fünften Platz. Generous Tit for Tat, das eine von drei Defektionen verzeiht, klettert auf den zweiten Platz. Ohne Rauschen liegt es nur auf Platz drei. Genau das kostet Vergebung, wenn sie niemand braucht.

Aufgabe vollständig gelöst

Wie lange muss die Beziehung dauern? Das Tool spielt eine feste Anzahl von Runden, und keine seiner acht Strategien spielt anders, wenn das Ende näher rückt. Ein echtes iteriertes Spiel endet jedoch an einem Punkt, den niemand benennen kann. Die Frage ist also nicht, wie viele Runden es gibt, sondern wie wahrscheinlich eine weitere ist.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Nenne w die Wahrscheinlichkeit, dass das Match nach dieser Runde weitergeht. Gegen Grudger, der ein einziges Defektieren für immer bestraft, bringt dauerhafte Kooperation in jeder Runde R ein. Diese geometrische Reihe summiert sich zu R über 1 minus w.
  
  $R + w R + w^{2} R + \dots = \frac{R}{1 - w}$
2. Einmaliges Defektieren bringt in dieser Runde T und in jeder folgenden Runde P ein, weil Grudger nie wieder zur Kooperation zurückkehrt.
  
  $T + w P + w^{2} P + \dots = T + \frac{w P}{1 - w}$
3. Kooperation hat Bestand, solange der erste Wert mindestens dem zweiten entspricht. Multipliziere beide Seiten mit 1 minus w, damit die Reihe verschwindet und eine einzige Ungleichung für w übrig bleibt.
  
  $\frac{R}{1 - w} \geq T + \frac{w P}{1 - w} ⟺ R \geq T - w (T - P)$
4. Mit den Auszahlungen von Axelrod sind das zwei Viertel. Die Partie erfordert eine Chance von fünfzig Prozent oder besser auf eine Fortsetzung. Das bedeutet eine erwartete Länge von zwei Runden.
  
  $w \geq \frac{T - R}{T - P} = \frac{5 - 3}{5 - 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \frac{1}{1 - w} = 2$
5. Betrachte nun dieselbe Abweichung gegen Tit for Tat. Diese Strategie bestraft für eine Runde und verzeiht danach. Der Abweichende erhält T, dann S und danach für immer wieder R. Der Schwellenwert steigt auf zwei Drittel, eine erwartete Länge von drei Runden.
  
  $R (1 + w) \geq T + w S ⟺ w \geq \frac{T - R}{R - S} = \frac{5 - 3}{3 - 0} = \frac{2}{3}, \frac{1}{1 - w} = 3$
6. Hier braucht der nachsichtigere Bestrafer die längere Beziehung, und der Grund dafür steht in der Zeile darüber: T − P ist der größere Abstand. Das ist keine allgemeine Regel. Bei den 250 ganzzahligen Dilemmata, die diese vier Eingaben zulassen, gilt sie in 50 und kehrt sich in 130 um. Setz T auf 4 sowie P auf 2, und Tit for Tat braucht nur ein Drittel.
  
  $T - P = 4 > R - S = 3 ⟹ \frac{T - R}{T - P} < \frac{T - R}{R - S}$
Antwort

Gegen einen Bestrafer, der niemals verzeiht, ist Kooperation stabil, sobald w den Wert (T − R)/(T − P) = 1/2 erreicht. Das entspricht erwarteten zwei Runden. Gegen einen Spieler, der bereits nach einer einzigen Runde verzeiht, braucht es (T − R)/(R − S) = 2/3, also erwartete drei. Der eigene Schnittpunkt des Tools liegt bei 4. Die Lücke zwischen zwei und vier entsteht durch das restliche Feld: Der Schwellenwert fragt danach, wann Kooperation im direkten Duell zweier Spieler eine Defektion schlägt. Die Tabelle fragt dagegen, wann der Durchschnitt eines kooperierenden Spielers gegen acht Gegner den eines defektierenden Spielers übertrifft, wobei drei dieser acht Gegner als Erstes defektieren. Zwei Runden verschaffen dir ein stabiles Paar. Vier verschaffen dir eine Liga.

$w^{*} = \frac{T - R}{T - P} = \frac{1}{2} vs \frac{T - R}{R - S} = \frac{2}{3}$

Lernpfad

Die beste Antwort und was passiert, wenn niemand sie berechnet

Quellen (4)

The tournament this tool reproduces, reported by the man who ran it — the source for the 1980 date, for the fourteen entries plus RANDOM, and for the nice/not-nice split: R. Axelrod, "Effective Choice in the Prisoner's Dilemma." Journal of Conflict Resolution 24(1), 1980, pp. 3–25.
"Don't be envious", and the argument that a strategy losing every match can still win the tournament: R. Axelrod, The Evolution of Cooperation. Basic Books, New York, 1984.
The 1950 RAND experiment the game came out of, written up by one of the two men who invented it. Albert Tucker gave it the prisoners and the name; this is the experiment: M. M. Flood, "Some Experimental Games." Management Science 5(1), 1958, pp. 5–26.
Why the winner changes when moves come out wrong, and where the one-in-three forgiveness rate this tool gives Generous Tit for Tat comes from: P. Molander, "The Optimal Level of Generosity in a Selfish, Uncertain Environment." Journal of Conflict Resolution 29(4), 1985, pp. 611–618.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.