Ideales Gasgesetz Rechner

Erkunde das ideale Gasgesetz. Fixiere eine Variable und berechne sie aus den anderen drei.

Rechenbeispiel — Ideales Gasgesetz Rechner

Ideales Gasgesetz	nRT
Druck P (gegeben)	101.33 kPa (1.013 bar)
Volumen V (gegeben)	22.400 L
Stoffmenge n (gegeben)	1.0000 mol
Temperatur T	272.99 K (−0.2 ∘C)
Gaskonstante R	8.314 LkPamol⁻¹K⁻¹

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Warum R in zwei Einheitensystemen 8,314 ist 🖖

Die Anzeige nennt R = 8,314 L·kPa·mol⁻¹·K⁻¹, der Lehrbuchwert lautet 8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹ – gleiche Ziffern, und das ist weder Zufall noch Rundung. Ein Liter-Kilopascal ist ein Joule: 10⁻³ m³ × 10³ Pa = 1 Pa·m³ = 1 J, exakt. Dieses Werkzeug nimmt das Volumen in Litern und den Druck in Kilopascal, genau damit in der gezeigten Rechnung nie ein Umrechnungsfaktor auftaucht. Frag es nach einem Mol bei 273,15 K in 22,414 L, und es liefert 101,3 kPa – den Standard-Atmosphärendruck, aus einer Formel ohne jede Einheiten-Trickserei.

Eine Gleichung, vier Regler, eine universelle Konstante 🖖

Das Werkzeug hält drei der Größen P, V, n, T fest und lässt dich die vierte ziehen; PV = nRT zwingt die übrigen dann zu reagieren. Die Konstante R ist für jedes Gas gleich, also gehorchen Helium und Kohlendioxid derselben Arithmetik — eine bestimmte Stoffmenge nimmt bei gleicher Temperatur und gleichem Druck dasselbe Volumen ein, ganz gleich, welches Molekül. Das ist die stille Stärke des idealen Modells: Die Chemie verschwindet, und nur die Teilchenzahl zählt.

Jede Gasgerade zeigt auf −273.15 °C 🖖

Trägt man das Volumen bei festem Druck gegen die Temperatur auf und verlängert die Gerade rückwärts, so trifft sie für jedes Gas bei genau −273.15 °C auf das Volumen null. So kalt hat noch nie jemand ein Gas abgekühlt — die Zahl stammt allein aus der Extrapolation einer schnurgeraden Linie, ein Kniff, den Guillaume Amontons um 1700 bemerkte. Dieser Fluchtpunkt ist der Nullpunkt der Kelvin-Skala, und deshalb muss das T in PV = nRT stets in Kelvin gemessen werden, nie in Grad Celsius.

DIE GASGESETZE — EINE GLEICHUNG UND JEWEILS EINE FESTGEHALTENE GRÖSSE

Welches Gasgesetz ist dein Problem?

Es gibt nur ein Gasgesetz: PV = nRT. Die benannten — Boyle, Charles, Gay-Lussac — sind dieselbe Gleichung mit einer festgehaltenen Größe und unverändertem n, wie es ein geschlossener Behälter liefert. Die Frage lautet also nie "welche Formel", sondern "was wird konstant gehalten?" Finde das, kürze es auf beiden Seiten, und das benannte Gesetz fällt heraus.

Nichts festgehalten — die volle Gleichung PV = nRT PV = nRT

Temperatur fest — Boyle: zusammendrücken, und der Druck steigt P₁V₁ = P₂V₂

Druck fest — Charles: erwärmen, und es dehnt sich aus V₁/T₁ = V₂/T₂

Volumen fest — Gay-Lussac: erwärmen, und der Druck steigt P₁/T₁ = P₂/T₂

Nichts festgehalten — die volle Gleichung PV = nRT

Was du weißt: Du hast drei der vier Größen und suchst die vierte. Es läuft kein Prozess ab; das ist ein einzelner Zustand des Gases.

Beziehung: PV = nRT

Rechenbeispiel: 1 mol bei 273,15 K und 101,325 kPa → V = nRT/P = 22,4 L, das molare Volumen bei Normbedingungen

Diesen Fall öffnen: STP

Nichts festgehalten — die volle Gleichung PV = nRT. Ein Zustand, vier Größen, eine Gleichung — kein Prozess, nichts festgehalten. Du hast drei der vier Größen und suchst die vierte. Es läuft kein Prozess ab; das ist ein einzelner Zustand des Gases. — Ein Zustand, vier Größen, eine Gleichung — kein Prozess, nichts festgehalten.

Temperatur fest — Boyle: zusammendrücken, und der Druck steigt

Was du weißt: Ein geschlossener Behälter bei konstanter Temperatur. n und T kürzen sich, PV ist also konstant: P₁V₁ = P₂V₂.

Beziehung: P₁V₁ = P₂V₂

Rechenbeispiel: 200 kPa in 10 L bei 300 K → halbiert man das Volumen auf 5 L, verdoppelt sich der Druck auf 400 kPa; das Gas enthält durchweg 0,80 mol

Diesen Fall öffnen: Boyle-Mariotte

Temperatur fest — Boyle: zusammendrücken, und der Druck steigt. Isotherm: Die P-V-Kurve ist eine Hyperbel, und das Produkt PV rührt sich nicht. Ein geschlossener Behälter bei konstanter Temperatur. n und T kürzen sich, PV ist also konstant: P₁V₁ = P₂V₂. — Isotherm: Die P-V-Kurve ist eine Hyperbel, und das Produkt PV rührt sich nicht.

Druck fest — Charles: erwärmen, und es dehnt sich aus

Was du weißt: Das Gas kann einen Kolben oder eine Ballonhaut schieben, der Druck bleibt also auf Umgebungsniveau, während sich die Temperatur ändert. V/T ist konstant.

Beziehung: V₁/T₁ = V₂/T₂

Rechenbeispiel: 22,4 L bei 273,15 K auf 546,3 K erwärmt, bei konstantem Druck → V = 44,8 L, exakt doppelt

Diesen Fall öffnen: Charles

Druck fest — Charles: erwärmen, und es dehnt sich aus. Isobar: Das Volumen steigt linear mit der absoluten Temperatur. Das Gas kann einen Kolben oder eine Ballonhaut schieben, der Druck bleibt also auf Umgebungsniveau, während sich die Temperatur ändert. V/T ist konstant. — Isobar: Das Volumen steigt linear mit der absoluten Temperatur.

Volumen fest — Gay-Lussac: erwärmen, und der Druck steigt

Was du weißt: Ein starrer, geschlossener Behälter. Nichts kann sich ausdehnen, die zugeführte Energie zeigt sich also als Druck: P/T ist konstant.

Beziehung: P₁/T₁ = P₂/T₂

Rechenbeispiel: 101,325 kPa bei 273,15 K in einem starren Gefäß auf 546,3 K erwärmt → P = 202,65 kPa, verdoppelt

Diesen Fall öffnen: Gay-Lussac

Volumen fest — Gay-Lussac: erwärmen, und der Druck steigt. Isochor: Bei festem Volumen steigen Temperatur und Druck gemeinsam. Ein starrer, geschlossener Behälter. Nichts kann sich ausdehnen, die zugeführte Energie zeigt sich also als Druck: P/T ist konstant. — Isochor: Bei festem Volumen steigen Temperatur und Druck gemeinsam.

Quellen (2)

The value of R, exact since the 2019 SI redefinition: Tiesinga, E., Mohr, P. J., Newell, D. B. & Taylor, B. N. (2021). "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010.
Why one litre-kilopascal is exactly one joule — the coherent SI derived units: Bureau International des Poids et Mesures. The International System of Units (SI), 9th edition, 2019, §2.3.4 (derived units: the pascal and the joule).

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Mol Gas, das 22,4 Liter bei einer Atmosphäre einnimmt 5 Schritte
Ein Mol Gas nimmt bei einer Atmosphäre ein Volumen von 22,4 Litern ein. Jedes Lehrbuch besagt, dass dies 0 °C entspricht. Das Bedienfeld oben zeigt −0,16 °C an. Finden Sie heraus, was falsch ist, und klären Sie den Unterschied bis auf das letzte Kelvin auf.
1. Das Umstellen nach der Temperatur ist der einfache Teil, und es lohnt sich festzustellen: Sobald drei der vier Größen fixiert sind, bleibt für das Ergebnis kein Spielraum mehr übrig, etwas anderes zu sein.
  
  $P V = n R T ⟹ T = \frac{P V}{n R}$
2. Einsetzen ergibt 272,99 K, was −0,16 °C statt null entspricht. Die Arithmetik steht außer Zweifel; somit ist entweder das Gasgesetz in diesem Maßstab falsch oder einer der drei Eingabewerte ist nicht die Zahl, die er zu sein vorgibt.
  
  $T = \frac{101.325 \times 22.4}{1 \times 8.314} = \frac{2269.68}{8.314} = 272.99 K = - 0.16^{\circ} C$
3. Überprüfen Sie die Eingabewerte, indem Sie dieselbe Gleichung in umgekehrter Richtung anwenden: Welches Volumen nimmt ein Mol bei exakt 273,15 K tatsächlich ein? Nicht 22,4 Liter — sondern 22,4127.
  
  $V = \frac{n R T}{P} = \frac{8.314 \times 273.15}{101.325} = 22.4127 L$
4. Der Eingabewert wurde also gerundet, und zwar um 0,057%. Und da Druck und Stoffmenge konstant gehalten werden, ist T direkt proportional zu V, sodass dieser relative Fehler unverändert durchgreift: 0,057% von 273,15 K entsprechen 0,155 K.
  
  $\frac{22.4127 - 22.400}{22.4127} = 0.057%, 0.057% \times 273.15 K = 0.155 K$
5. Die aufzuklärende Differenz betrug 273,15 − 272,99 = 0,16 K. Es liegt vollständig an der Rundung, ohne jeglichen Rest.
  
  $273.15 - 272.99 = 0.16 K ⟹ T \propto V transfers the error exactly$
Antwort

Das Werkzeug gibt 272,99 K aus 101,33 kPa und 22,400 L an, und es hat recht. Das Lehrbuch ebenfalls: Das Molvolumen unter Standardbedingungen beträgt tatsächlich 22,4127 L, und "22,4" ist diese Zahl auf drei signifikante Stellen gerundet. Die 0,16 K sind kein Fehler des Gasgesetzes, des Werkzeugs oder des Buches — sie sind das Ergebnis, wenn ein gerundeter Eingabewert auf eine exakte Beziehung trifft und das Ergebnis auf fünf Stellen abgelesen wird. Tippen Sie 22,4127 in das Volumenfeld ein, springt die Temperatur auf 273,15. Das ist Disziplin bei signifikanten Stellen auf einem Bildschirm: Da T ∝ V den relativen Fehler bewahrt, kann ein dreistelliger Eingabewert niemals eine fünfstellige Antwort rechtfertigen.

$T = \frac{P V}{n R} = 272.99 K; 22.4 is 22.4127 rounded, worth 0.16 K$

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-27

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

STP - Ein Mol in 22.400 L bei Normdruck bedeutet 272.99 K — knapp unter 0 °C.
Boyle-Mariotte - Presst man dasselbe Mol in 10.000 L bei 200.00 kPa, sinkt die zugehörige Temperatur auf 240.56 K.
Charles - Charles: nach dem Volumen aufgelöst füllen 273.15 K bei 101.33 kPa genau 22.413 L.
Gay-Lussac - Gay-Lussac: Volumen festhalten und nach dem Druck auflösen — 273.15 K in 22.400 L ergeben 101.38 kPa.