Dies ist eine maschinelle Übersetzung; das englische Original ist maßgeblich. Original lesen

Zehn Grad am Feuer sind 8,2 Joule wert. Zehn Grad am Fluss sind 16,7 wert.

42Math team · 11 July 2026

Zwei Möglichkeiten, zehn Kelvin bei derselben Maschine einzusetzen. Die eine liefert doppelt so viel Arbeit wie die andere – und das Werkzeug gibt beide Zahlen aus.

Stellt man den Carnot simulator auf ein heißes Reservoir bei 600 K, ein kaltes bei 300 K und 1000 J entnommene Wärme pro Zyklus ein, gibt er 50,0 % Wirkungsgrad und 500,0 J Arbeit an.

Nun setzt man zehn Kelvin ein – und wählt die Stelle.

Führt man sie dem Feuer zu – 610 K gegenüber 300 K –, meldet das Tool 50,8 % und 508,2 J. Zieht man sie stattdessen beim Kühlwasser ab – 600 K gegenüber 290 K –, meldet es 51,7 % und 516,7 J.

Dieselben zehn Kelvin. Der eine Einsatz bringt 8,2 J, der andere 16,7 J. Die kalte Seite ist doppelt so viel wert.

Das Doppelte ist kein Zufall

Differenziert man den Carnot-Wirkungsgrad η = 1 − T_C/T_H nach der jeweiligen Temperatur, zeigt sich die Asymmetrie in einer einzigen Zeile:

∂η/∂T_C = −1/T_H · ∂η/∂T_H = T_C/T_H²

Teilt man den einen Wert durch den anderen, kürzt sich alles bis auf das Verhältnis selbst heraus:

|∂η/∂T_C| ÷ |∂η/∂T_H| = T_H/T_C

Bei 600 über 300 beträgt dieses Verhältnis genau 2, was genau den 16,7 gegenüber 8,2 entspricht, die das Tool gerade ausgegeben hat. Das ist keine Faustregel und auch nicht nur näherungsweise wahr: Der Faktor ist das Temperaturverhältnis, völlig unabhängig von den konkreten Temperaturen. Betreibt man eine Gasturbine bei 1500 K gegen 300 K, ist die kalte Seite pro Kelvin fünfmal so viel wert. Je heißer das Feuer ist, desto weniger ist ein zusätzliches Grad dort wert – und desto mehr zählt ein Grad weniger am kalten Ende.

Im eigenen Leitfaden des Tools heißt es, die kalte Seite sei „genauso wichtig wie die heiße“. Das ist eine Untertreibung. Sie ist wichtiger – und zwar um einen Faktor, den man nennen kann, noch bevor man irgendetwas misst.

Das ist bedauerlich, denn die kalte Seite gehört einem nicht

Warum dies kein einfacher Tipp für Konstrukteure ist:

Das heiße Reservoir ist etwas, das man baut. Man kann den Brennstoff, die Brennkammer, die Schaufellegierung, die Kühlkanäle frei wählen – jede einzelne Komponente ist eine Entscheidung. Die gesamte Geschichte des Turbinenbaus ist die Erzählung davon, wie T_H Schritt für Schritt um ein paar Kelvin angehoben wird – gegen den Widerstand von Werkstoffen, die lieber schmelzen würden.

Das kalte Reservoir hingegen ist ein Fluss, ein Kühlturm oder der Himmel. Seine Temperatur ist schlicht das Wetter.

Der Hebel mit der doppelten Hebelwirkung ist also jener, den niemand ziehen kann, und der Hebel, den alle ziehen, ist der schwächere. Diese Umkehrung erklärt erstaunlich viel aus der Ingenieurpraxis: warum Kraftwerke an Flüssen und Küstenlinien stehen statt nahe den Brennstoffvorkommen, warum ein Kondensator ein großes, teures Bauteil ist, dessen einzige Aufgabe darin besteht, eine Seite kalt zu halten, und warum es GuD-Kraftwerke überhaupt gibt – eine zweite Maschine, die mit der Abwärme der ersten läuft, ist eine Möglichkeit, sich ein Stück von dem zurückzuholen, was das kalte Ende gekostet hat.

Das hat auch eine jahreszeitliche Konsequenz, die sich im Stromnetz zeigt. Wenn eine Hitzewelle das Kühlwasser um zehn Kelvin erwärmt, verliert ein thermisches Kraftwerk nicht bloß einen Rundungsfehler, sondern die größere der beiden Ableitungen – und das genau dann, wenn die Nachfrage nach Klimatisierung ihren Höhepunkt erreicht. Die Physik läuft im schlechtesten Moment in die falsche Richtung, und kein technischer Aufwand auf der heißen Seite gleicht das aus, denn auf der heißen Seite liegt die kleinere Ableitung.

Was die Obergrenze kostet

Noch etwas verrät der Simulator ganz beiläufig, und man sollte es wissen, bevor man dies als Effizienzziel auffasst: Die Zeile für die Entropie zeigt bei jeder Einstellung exakt 0,0000 J/K an.

Diese Null ist die Definition der Carnot-Grenze. Ein Kreisprozess mit einer Gesamtentropieänderung von null ist reversibel, und reversibel bedeutet unendlich langsam – jeder Schritt im Gleichgewicht, nirgends eine Temperaturdifferenz, die den Wärmefluss antreibt, keine Reibung. Eine Maschine bei exakt diesem Wirkungsgrad gibt genau keine Leistung ab, weil sie unendlich lange braucht, um einen Arbeitstakt zu vollenden.

Curzon und Ahlborn haben 1975 berechnet, was passiert, wenn man stattdessen Leistung fordert, und die Antwort ist eleganter, als man erwarten sollte: Bei maximaler Leistungsabgabe beträgt der Wirkungsgrad 1 − √(T_C/T_H). Für unsere Werte 600 und 300 ergibt das 29,3 % statt 50 %, was den Werten realer Kraftwerke viel näher kommt. Die Asymmetrie bleibt dabei erhalten – die kalte Seite weist nach wie vor die größere Ableitung auf –, doch die überall zitierte Obergrenze ist ein Grenzwert, den keine funktionierende Maschine zu erreichen sucht.

Die Zahl, die man mitnehmen sollte, ist das Verhältnis, nicht der Wirkungsgrad. Wann immer ein System etwas in eine Umgebung abgibt, die es nicht kontrolliert, sollte man prüfen, was eine Einheit Verbesserung an jedem Ende bringt, bevor man entscheidet, an welchem Ende man ansetzt. Hier steht die Antwort direkt auf der Seite: 16,7 gegenüber 8,2 – und eine Formel, die begründet, warum.