Überhöhte Kurven

Stell den Kurvenradius, die Querneigung, die Haftung zwischen Reifen und Fahrbahn, die Geschwindigkeit und die Masse ein. Die Seite zerlegt die Kräfte, zeigt Richtung und erforderliche Größe der Reibung und prüft, ob die Reifen sie aufbringen können. Außerdem gibt sie den gesamten zulässigen Geschwindigkeitsbereich der Kurve an.

Rechenbeispiel — Überhöhte Kurven

Querneigung in Straßenbauweise	8,00%
Reibungswinkel	38,66°
Entwurfsgeschwindigkeit ohne Reibung	45,09 km/h
Niedrigste zulässige Geschwindigkeit	0,00 km/h
Höchste zulässige Geschwindigkeit	154,59 km/h
Beschleunigung zum Mittelpunkt	3,125 m/s²
Normalkraft der Fahrbahn	15.037 N
Erforderliche Reibungskraft	3.500 N hangabwärts

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Lektion

Die Theorie — Überhöhte Kurven

Eine überhöhte Kurve ist eine Kurve, deren Fahrbahn um den Winkel θ zum Mittelpunkt hin geneigt ist. Die stets senkrecht zur Oberfläche wirkende Normalkraft zeigt dadurch nach innen und liefert einen Teil oder die gesamte für die Kurvenfahrt nötige Kraft. Bei der Entwurfsgeschwindigkeit v₀ = √(r g tan θ) übernimmt sie die Kurvenführung vollständig; Reibung ist nicht nötig. Reibung bis zum μ-Fachen der Normalkraft erweitert diese einzelne Geschwindigkeit zu einem Bereich: r g tan(θ − φ) ≤ v² ≤ r g tan(θ + φ). Dabei ist φ = arctan μ der Reibungswinkel. Die Masse kommt in keiner dieser Beziehungen vor.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

r: Kurvenradius, waagerecht vom Mittelpunkt bis zum Fahrzeug gemessen
θ: Neigungswinkel gegen die Waagerechte; im Straßenbau wird tan θ als prozentuale Querneigung angegeben
μ: größtmögliche Reibungskraft der Reifen als Anteil der Normalkraft
φ: Reibungswinkel arctan μ: die steilste Neigung, auf der ein Fahrzeug stehen kann
v_0: Entwurfsgeschwindigkeit, bei der die Querneigung die gesamte Kurvenführung übernimmt und die Reibung null ist

Setzt voraus: Das Fahrzeug wird als Punktmasse betrachtet. Es bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einem waagerechten Kreis durch eine Kurve mit konstantem Radius und konstanter Querneigung. Verwendet wird die Normfallbeschleunigung 9,80665 m/s². Für jede Richtung gilt derselbe Reibwert; die veröffentlichten Werte stammen aus Bremsmessungen bei 17 % Schlupf, und für die Seitenführung eines rollenden Reifens wird dieselbe Größenordnung angenommen. Luftkräfte bleiben unberücksichtigt: kein Abtrieb, kein Luftwiderstand, kein Seitenwind.
Versagt, wenn: Ein Fahrzeug mit hohem Schwerpunkt kann umkippen, bevor es rutscht. In einer überhöhten Kurve hängt diese Grenze neben der Neigung auch von der Spurweite ab; ein Lkw erreicht sie zuerst. Bei der Straßenplanung werden wesentlich kleinere Seitenreibungswerte als die gemessene Haftung angesetzt. Das erhöht den Fahrkomfort und schafft Reserven für abgefahrene Reifen. Die Flügel eines Rennwagens erzeugen Abtrieb, der mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst und die Obergrenze anhebt. Eine echte Kurve beginnt außerdem mit einem Übergangsbogen, dessen Radius allmählich kleiner wird, statt unvermittelt einen festen Wert anzunehmen.

Unter 45,09 km/h wirkt die Reibung in dieser Kurve nach außen 🖖

Wähle Trockene Kurve, 30 km/h und danach Trockene Kurve, 90 km/h. Bei der Entwurfsgeschwindigkeit von 45,09 km/h für 200 m Radius und 8 % Querneigung übernimmt die Neigung die gesamte Kurvenführung. Die Fahrbahn drückt senkrecht zu ihrer Oberfläche; diese Normalkraft ist zum Mittelpunkt geneigt, und ihre waagerechte Komponente entspricht genau dem für die Kurve nötigen m v²/r. Die Reibung ist null. Bei geringerem Tempo ist die geneigte Normalkraft stärker, als die Kurvenfahrt verlangt. Ohne Reibung würde das Auto zur Kurveninnenseite hinabrutschen. Deshalb hält die Reibung es hangaufwärts zurück: bei 30 km/h mit 654 N. Bei höherem Tempo reicht die Normalkraft nicht mehr aus, und die Reibung wirkt hangabwärts: bei 90 km/h mit 3.500 N. Auf ebener Fahrbahn zieht die Reibung ein Auto tatsächlich in die Kurve hinein. Hier gilt das bei keiner Geschwindigkeit unter 45,09 km/h. Wähle nun 40-t-Lkw, 90 km/h. Jede Kraft ist 26,67-mal so groß wie beim Auto, doch der erforderliche Reibwert bleibt 0,2327, weil die Masse auf beiden Seiten jeder Gleichung als Faktor eingeht. Ein Lkw braucht keine stärkere Querneigung als ein Auto. Sein hoher Schwerpunkt kann jedoch dazu führen, dass ein beladener Lkw auf trockener Straße umkippt, bevor er rutscht. Diesen Effekt bildet die Seite nicht ab.

Auf nassem Glatteis rutscht ein stehendes Auto eine Fahrbahn mit 10 % Querneigung hinab 🖖

Eine überhöhte Kurve hat neben einer höchsten auch eine niedrigste zulässige Geschwindigkeit. Ein stehendes Auto benötigt hangaufwärts die Reibungskraft mg sin θ, während die Normalkraft mg cos θ beträgt. Es bleibt daher nur stehen, solange tan θ nicht größer als μ ist. Die Übersicht von Carl-Gustaf Wallman und Henrik Åström aus dem Jahr 2001 für das schwedische Verkehrsforschungsinstitut VTI gibt für nasses Glatteis Werte von 0,05 bis 0,10 an. Wähle Stillstand auf Eis, 10 %. Im Stand ist ein Reibwert von 0,1000 nötig, das Eis bietet 0,05, und das Auto rutscht zur Kurveninnenseite. Dasselbe geschieht bei jeder Geschwindigkeit unter 35,56 km/h. Im zweiten Diagramm siehst du, wie sich die Untergrenze von null abhebt. Das Straßenbauhandbuch des US-Bundesstaats Washington erlaubt Querneigungen bis 10 %. Wo sich Schnee und Eis ansammeln, setzt es die Grenze bei 6 %, weil „Fahrzeuge, die sich langsam bewegen oder in Kurven mit mehr als 6 % Querneigung stehen, dazu neigen, nach innen zu rutschen“. Stell den Winkel auf 3,434°, also 6 %. Nun bleibt das Auto bei jedem Reibwert über 0,06 stehen; auf dem ungünstigsten Eis mit 0,05 rutscht es weiterhin. Auf solchem Eis kann ein stehendes Auto nur bei höchstens 5 % Querneigung gehalten werden.

Jenseits von 51,34° ist auf trockener Straße keine Geschwindigkeit zu hoch 🖖

Mit wachsender Geschwindigkeit ist mehr Reibung nötig, zugleich wird das Auto aber stärker auf die Fahrbahn gedrückt. Bei großer Neigung überwiegt der zweite Effekt. Für unbegrenzt wachsende Geschwindigkeit nähert sich der erforderliche Reibwert 1/tan θ. Sobald 1/tan θ kleiner als μ ist, kann die benötigte Reibung den verfügbaren Wert bei keiner Geschwindigkeit mehr überschreiten. Auf trockener Straße mit μ = 0,8 geschieht das bei 51,34°. In der Tabelle liegt die Obergrenze der Kurve mit 200 m Radius bei 45° bei 478,30 km/h; bei 60° ist sie verschwunden. Bei 90° ist die Fahrbahn eine Wand geworden, und die Steilwand ist der Grenzfall. Die Reibung muss nun die gesamte Gewichtskraft tragen. Sie kann höchstens μ-mal so groß werden wie die Normalkraft der Wand, m v²/r. Daher gibt es eine Untergrenze von √(rg/μ), aber keinerlei Obergrenze. Eine Wand mit 5 m Radius erfordert mindestens 28,18 km/h. Bei 40 km/h beansprucht der Fahrer 0,3972 der verfügbaren Haftung, und die Wand drückt mit dem 2,518-Fachen seiner Gewichtskraft.

Aufgabe vollständig gelöst

Was bewirkt eine Kurvenneigung bei einem Flugzeug? 6 Schritte
Ein Leichtflugzeug fliegt mit 100 Knoten beziehungsweise 51,44 m/s eine waagerechte Kurve mit 60° Querneigung. Bestimme den Kurvenradius, die Dauer eines Vollkreises, die Kraft des Sitzes auf den Piloten, die größte mit der Strukturgrenze von 3,8 g mögliche Querneigung und die Auswirkung auf die Überziehgeschwindigkeit von 50 Knoten. Wähle Trockene Kurve, 90 km/h, um den ersten Schritt zu prüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Bei einem Flugzeug in einer waagerechten Kurve übernimmt der Auftrieb der Tragflächen die Rolle der Normalkraft; Reibung gibt es nicht. Es fliegt daher stets mit seiner Entwurfsgeschwindigkeit, tan θ = v²/(rg). Für die auf der Seite gezeigte Fahrbahn mit 200 m Radius und 8 % Querneigung gilt bei 45,09 km/h dieselbe Gleichung:
  
  $tan θ = \frac{v _{0}^{2}}{r g} : \frac{( 12 . 53 m/s ) ^{2}}{200 \times 9 . 80665} = 0.0800 = 8 . 00% \Rightarrow v_{0} = 45.09 km/h$
2. Nach dem Radius bei 60° aufgelöst:
  
  $r = \frac{v ^{2}}{g tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{51 . 4 4 ^{2}}{9 . 80665 \times 1 . 732} = 155.8 m$
3. Ein Umlauf auf diesem Kreis mit 51,44 m/s dauert
  
  $t = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \times 155 . 8}{51 . 44} = 19.03 s ω = 18.9 2^{\circ} / s$
4. Die senkrechte Komponente des Auftriebs muss allein die Gewichtskraft tragen, daher beträgt der Auftrieb mg/cos θ. Das entspricht der Normalkraft bei Entwurfsgeschwindigkeit und ist unabhängig von der Geschwindigkeit:
  
  $L cos θ = m g \Rightarrow n = \frac{L}{m g} = \frac{1}{cos 6 0 ^{\circ}} = 2.000$
5. Die Strukturgrenze von 3,8 g wird bei dem Neigungswinkel erreicht, dessen Kosinus 1/3,8 beträgt. In der Tabellenzeile für 75° steht bereits 3,864, also ein zu hoher Wert:
  
  $\frac{1}{cos θ} = 3.8 \Rightarrow θ = arccos \frac{1}{3 . 8} = 74.7 4^{\circ} \frac{1}{cos 7 5 ^{\circ}} = 3.864$
6. Eine Tragfläche überzieht bei einem festen Anstellwinkel. Die Geschwindigkeit, bei der sie den nötigen Auftrieb gerade noch erzeugt, wächst deshalb mit der Quadratwurzel des Lastvielfachen:
  
  $v_{s}^{'} = v_{s} n = 50 kn \times 2 = 70.71 kn$
Antwort

Der Kreis hat einen Radius von 155,8 m und wird in 19,03 s durchflogen. Unabhängig von der Fluggeschwindigkeit drückt der Sitz mit dem Doppelten der Gewichtskraft auf den Piloten. Das Airplane Flying Handbook der FAA nennt ebenfalls 2,0 bei 60° und 1,41 bei 45°. Es weist außerdem darauf hin, dass eine waagerechte Kurve bei 75° die Auslegungsgrenze von 3,8 für ein Leichtflugzeug der Standardkategorie überschreitet; der genaue Grenzwinkel beträgt 74,74°. Die Überziehgeschwindigkeit steigt von 50 auf 70,71 Knoten, im Handbuch gerundet auf 70.

$θ = 6 0^{\circ}, 100 kn : r = 155.8 m, t = 19.03 s, n = 2.000, θ_{m a x} = 74.7 4^{\circ}, v_{s}^{'} = 70.71 kn$

Quellen (3)

Measured tyre-road friction by surface, from Swedish skiddometer surveys: dry bare road 0.8 to 1.0, wet 0.7 to 0.8, packed snow 0.20 to 0.30, wet black ice 0.05 to 0.10, the values behind the page's grip hint and its presets: C.-G. Wallman and H. Åström, "Friction measurement methods and the correlation between road friction and traffic safety. A literature review." VTI meddelande 911A, Swedish National Road and Transport Research Institute, Linköping, 2001, p. 36.
Why roads that see ice are banked gently: the steepest bank allowed is 10%, and where snow and ice accumulate it is limited to 6%, because slow or stopped vehicles on steeper banks slide inward: Washington State Department of Transportation, Design Manual M 22-01.23, Chapter 1250 "Cross Slope and Superelevation", section 1250.03, September 2024.
A banked aircraft's load factor depends on the bank alone, 1.41 at 45° and 2.0 at 60° for any airspeed or aeroplane, a standard-category light aircraft is built for 3.8, and the stall speed rises as the square root of the load: Federal Aviation Administration, Airplane Flying Handbook (FAA-H-8083-3C), Chapter 10 "Performance Maneuvers", section on steep turns.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.