Lektion
Die Theorie — Smith-Diagramm & HF-Schwarze-Magie-Labor
Das Smith-Diagramm ist das Bild einer einzigen komplexen Zahl. Γ = (Z_L − Z_0)/(Z_L + Z_0) faltet jede existierende Last in eine Kreisscheibe vom Radius eins, sodass die Lage des Punktes bereits die Antwort ist. Die fünf Zeilen darunter sind keine fünf Messungen. Sie sind diese eine Zahl, fünffach geschrieben.
Was die einzelnen Symbole bedeuten
Γ- der Reflexionsfaktor — der Anteil der einlaufenden Welle, der zurückkommt, mit Betrag und Winkel. Alles Übrige leitet sich daraus ab.
VSWR(1+|Γ|)/(1−|Γ|). Läuft von 1 bei perfekter Anpassung bis unendlich bei Totalreflexion, spreizt also das schlechte Ende und staucht das gute.RL- die Rückflussdämpfung,
−20 log₁₀|Γ|, in Dezibel. Dieselbe Größe umgedreht: größer ist besser, und perfekte Anpassung ist unendlich. y- der normierte Leitwert
1/z. Er steht in der Anzeige, weil Parallelbauteile zum Leitwert addieren, Reihenbauteile dagegen zur Impedanz.
Woher die Formel kommt
- Alles beginnt mit einer Messung.
36 − j20 Ωin einem 50-Ω-System ergibtΓ = 0.276 ∠ −111.9°. Sonst wird auf dieser Seite nichts gemessen; der Rest ist Rechnen. - Allein der Betrag treibt vier Zeilen.
0.276liefert VSWR1.76, Rückflussdämpfung11.17 dB, Fehlanpassungsverlust0.345 dBund92.4%gelieferte Leistung. Der Winkel−111.9°kommt in keiner davon vor. - Der Winkel hat daher genau eine Aufgabe: Er sagt, wo auf dem Kreis du stehst, und damit, was hinzuzufügen ist. Die zwei normierten Zeilen sind die Umrechnung dafür —
z = 0.720 − j0.400für Reihenbauteile, die die Impedanz ändern, undy = 1.061 + j0.590für Parallelbauteile, die den Leitwert ändern. - Auto-Anpassung löst diese Geometrie. Sie wählt eine Reiheninduktivität von
+j42.45 Ω— 7.38 nH bei 915 MHz — und danach einen Parallelkondensator von+j12.5 mS, also 2.17 pF, und die Anzeige fällt auf|Γ| = 0.000.
So liest du, was du siehst
Stelle die Beispiele nebeneinander und sieh zu, wie die fünf Namen sich widersprechen. Die 915-MHz-Antenne steht bei VSWR 1.76, was nach Problem klingt, und liefert 92.4% ihrer Leistung, was nicht danach klingt. Der 2.4-GHz-Verstärkereingang zeigt VSWR 4.56 und 59.0%. Der Kurzschluss zeigt VSWR 5000 und 0.1%. VSWR lief über drei Größenordnungen, während die gelieferte Leistung von fast allem über etwas bis nichts ging — denn VSWR hat an einem Ende die Unendlichkeit, ein Prozentsatz nicht. In Dezibel gelesen kosten dieselben drei Lasten 0.345, 2.293 und 30.971 dB; das ist die Skala, die sich benimmt.
- Setzt voraus
- Dass die Anpassbauteile verlustfrei sind, dass nur eine Frequenz zählt und dass ein Bauteil klein genug ist, um keine Länge zu haben. Das Nomogramm prüft das Letzte davon und meldet, wenn es kippt: bei 915 MHz beträgt eine Wellenlänge 327.6 mm, eine 10-mm-Leiterbahn also 3.05% davon, und das Modell konzentrierter Bauelemente hält. Nimm dieselben 10 mm zu 2.4 GHz, und es werden 8.0%, worauf die Warnung vor der λ/10-Grenze erscheint. Die Einfrequenz-Annahme wird gar nicht geprüft: ein L-Netzwerk wird für die Entwurfsfrequenz gelöst, und nichts auf dieser Seite zeigt, wie schnell es daneben auseinanderfällt.
- Versagt, wenn
- Ein Fehlanpassungsverlust von
0.345 dBist für sich genommen nichts. Kein Streckenbudget bemerkt ein Drittel Dezibel, und 92.4% geliefert ist ein guter Wert. Trotzdem warnt die Seite, ein solches Stehwellenverhältnis könne die Endstufe eines Senders beschädigen, und das ist nicht übertrieben. Die beiden Aussagen beantworten verschiedene Fragen. Der Fehlanpassungsverlust fragt, wie viel Leistung nicht ankommt. Die Gefahr fragt, wohin die reflektierte Welle geht — zurück in den Verstärker, als Wärme, für die er nicht ausgelegt ist, und als Spannungsmaximum irgendwo auf dem Kabel, für das die Isolation nicht spezifiziert ist. Eine Last kann fast keine Leistung vergeuden und trotzdem das sein, was das Funkgerät zerstört. Deshalb werden HF-Bauteile in VSWR und Rückflussdämpfung spezifiziert und nicht in Prozent geliefert: Der Prozentsatz beantwortet die Frage, um die sich niemand gesorgt hat.
Aufgabe vollständig gelöst
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Eine fehlangepasste 915 MHz Antenne an einer 50 Ω Leitung 6 Schritte
Eine 915-MHz-Antenne wird an einer 50-Ω-Leitung mit 36 − j20 Ω gemessen. Bestimmen Sie das Ausmaß der Fehlanpassung, entwerfen Sie dann das Zweikomponenten-Netzwerk, das sie behebt — und entscheiden Sie, wie schmalbandig diese Lösung ist.
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Normalisieren Sie. Jede Regel auf dem Diagramm ist in Einheiten von Z₀ angegeben, und die Admittanz ist einfach der Kehrwert — Sie benötigen beide, da Serienelemente zur Impedanz addiert werden und Parallelelemente zur Admittanz.
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Der Reflexionsfaktor ist die bilineare Abbildung, die das Diagramm zu dem macht, was es ist. Multiplizieren Sie durch das konjugiert Komplexe des Nenners; der Betrag ist das, was für die nächste Zeile benötigt wird.
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Drei der Zeilen des Bedienfelds stellen dieselbe Zahl in unterschiedlichem Gewand dar. Nur der Betrag von Γ geht in jede dieser Zeilen ein — der Winkel trägt überhaupt nichts bei, was genau der Grund dafür ist, dass er frei ist, die andere Hälfte der Information zu tragen.
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Hier zeigt der Winkel seinen Nutzen. Eine Serienreaktanz ändert den Imaginärteil der Impedanz, ohne den Realteil zu berühren. Wählen Sie daher den Wert, der den Realteil der resultierenden Admittanz gleich 1/50 macht — eine quadratische Gleichung, zwei Lösungen, und dies ist die positive.
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Die verbleibende Suszeptanz wird durch ein Parallelelement mit entgegengesetztem Vorzeichen kompensiert. Rechnen Sie beide Werte bei 915 MHz in Bauteile um, und das Netzwerk ist fertiggestellt.
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Fragen Sie sich schlussendlich, wie empfindlich die Schaltung ist. Die Güte Q eines L-Netzwerks hängt nur von den beiden Widerständen ab, die es überbrückt.
Antwort
Eine Reiheninduktivität von 7,38 nH, gefolgt von einem Parallelkondensator von 2,17 pF, und die Reflexion fällt auf null. Die letzte Zeile ist diejenige, die man sich merken sollte. Die Güte Q dieses Anpassungsknotens beträgt 0,62, was klein ist, und eine Anpassung mit niedriger Güte ist breitbandig: Hält man die Last konstant und variiert die Frequenz um ±10 %, steigt das VSWR lediglich von 1,00 auf etwa 1,12. "L-Netzwerke sind schmalbandig" ist eine Halbwahrheit — die Bandbreite wird dadurch bestimmt, wie weit die Transformation den Widerstand verschieben muss, nicht durch die Topologie. Die Anpassung von 5 Ω an 50 Ω erfordert Q = 3 und ist tatsächlich empfindlich; die Anpassung von 36 an 50 ist davon kaum betroffen.
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Quellen (3)
- The chart as its usual namesake published it: P. H. Smith, "Transmission Line Calculator." Electronics 12(1), 29–31, January 1939.
- And the book in which he set out what to do with it: P. H. Smith, Electronic Applications of the Smith Chart, 2nd edition. Institution of Engineering and Technology, 1995. ISBN 978-1-884932-39-7.
- The standard treatment of the conversions between Γ, VSWR and return loss: D. M. Pozar, Microwave Engineering, 4th edition. Wiley, 2011 — chapter 2, on transmission lines and the reflection coefficient. ISBN 978-0-470-63155-3.