Dies ist eine maschinelle Übersetzung; die englische Fassung ist das Original. Original lesen
Resonanz ist eine Phasenbeziehung, kein Maximum
Das Resonanzmaximum liegt nicht bei der Eigenfrequenz, und bei hinreichender Dämpfung gibt es überhaupt kein Maximum. Die Phasennacheilung von 90 Grad ist immer exakt vorhanden.
SHM Resonance Lab beginnt mit einer einzelnen Anzeige: der Phasennacheilung φ, gesprochen „phi“, von 1,5708 rad, die sie hilfreich in 90,0° umwandelt.
Diese Zahl ist π/2, und sie ist das Verlässlichste an der Resonanz.
Das Maximum liegt nicht dort, wo man vermutet
Ein erzwungener, gedämpfter Oszillator reagiert nicht bei seiner Eigenfrequenz ωn am stärksten, sondern bei ωn√(1 − 2ζ²), wobei ζ, gesprochen „zeta“, der Dämpfungsgrad ist. Das Maximum liegt unterhalb der Eigenfrequenz und verschiebt sich, wenn sich die Dämpfung ändert:
- ζ = 0,02 → Maximum bei 0,9996 ωn
- ζ = 0,10 → Maximum bei 0,9899 ωn
- ζ = 0,30 → Maximum bei 0,9055 ωn
- ζ > 0,707 → überhaupt kein Maximum
Jenseits von ζ = 1/√2 fällt die Antwortkurve von Anfang an einfach ab. Das System besitzt weiterhin eine Eigenfrequenz, schwingt bei einem Stoß nach wie vor nach und weist keinerlei Resonanzmaximum auf.
Die Aussage „Resonanz ist dort, wo die Amplitude am größten ist“ taugt also nicht als Definition. Sie liefert in jedem realen Fall die falsche Frequenz und in einer großen Klasse von Fällen gar keine Frequenz.
Was sich nicht verschiebt
Nun zur Phase. Regt man den Oszillator exakt bei ωn an, eilt die Antwort der Anregung um genau 90° nach, und zwar für jeden Wert von ζ. Nicht nur näherungsweise und nicht nur bei schwacher Dämpfung. Sowohl der Fall ζ = 0,02 als auch der Fall ζ = 0,7 ergeben exakt 90,000°.
Der Grund dafür ist in der Gleichung sichtbar. Bei ω = ωn heben sich Feder- und Trägheitsterm exakt auf, da der eine wie ω² verläuft und der andere konstant ist und beide bei dieser Frequenz gleich groß sind. Es bleibt nur der Dämpfungsterm übrig, der phasenverschoben um 90° zur Auslenkung steht. Eine Antwort, die rein vom Dämpfungsterm bestimmt wird, hinkt exakt um einen Viertelzyklus hinterher.
Deshalb ist die Definition über die Phase diejenige, die man im Gedächtnis behalten sollte. Sie ist exakt, bleibt auch bei starker Dämpfung bestehen und verschiebt sich nicht.
Warum dies von praktischer Bedeutung ist
Bei 90° ist die Anregungskraft in Phase mit der Geschwindigkeit statt mit der Auslenkung, und Kraft mal Geschwindigkeit ist Leistung. Bei Resonanz verrichtet also jeder Anstoß über den gesamten Zyklus hinweg positive Arbeit, ohne dass etwas davon zurückgegeben wird.
Das ist der Mechanismus, und er erklärt auch die Amplitude. Energie akkumuliert sich, bis die Dämpfung sie ebenso schnell dissipiert, wie die Anregung sie zuführt. Die stationäre Amplitude wird somit allein durch die Dämpfung bestimmt: Die Verstärkung beträgt 1/(2ζ) bzw. das 25-Fache bei ζ = 0,02.
Ingenieure nennen dies den Gütefaktor Q, und das Auffinden der Resonanz durch Beobachten des 90°-Durchgangs statt der Suche nach einem Maximum ist gängige Praxis, da die Amplitude in der Nähe eines scharfen Maximums flach und schwer zu lokalisieren ist, während sich die Phase rasch ändert.
RLC Resonance zeigt die identische Mathematik in einem Schaltkreis: Induktivität und Kapazität heben sich auf, nur der Widerstand bleibt übrig, Strom und Spannung kommen in Phase, und Q ist wieder das Verhältnis von gespeicherter zu dissipierter Energie.
Das Beispiel, das alle verwenden, ist falsch
Die Tacoma-Narrows-Brücke ist das Standardbeispiel, und es handelte sich dabei nicht um Resonanz. Es gab keinen oszillierenden Erreger bei der Eigenfrequenz der Brücke. Der Wind wehte stetig, und die eigene Torsionsbewegung der Fahrbahn veränderte die Luftströmung so, dass dieser Bewegung mehr Energie zugeführt wurde – eine selbsterregte Instabilität, die als aeroelastisches Flattern bezeichnet wird.
Diese Unterscheidung ist keine Pedanterie. Resonanz ist die Antwort auf eine externe Frequenz und wird behoben, indem man die Frequenz verschiebt oder Dämpfung hinzufügt. Flattern benötigt keine externe Frequenz und nimmt oberhalb der kritischen Windgeschwindigkeit unabhängig davon zu.
Soldaten, die auf Brücken den Gleichschritt auflösen, sind das zutreffende Beispiel: ein echter periodischer Erreger, der bewusst verstimmt wird.
Messung von Q ohne Bestimmung des Maximums
Q entspricht auch f₀ / Δf, wobei Δf die Breite der Antwortkurve zwischen den Punkten beiderseits der Resonanz ist, an denen die Leistung auf die Hälfte abgefallen ist.
Dies ist der praktische Weg, und er vermeidet das oben genannte Problem. Das Lokalisieren eines scharfen Maximums bedeutet, den flachsten Teil der Kurve zu suchen, in dem sich die Amplitude kaum ändert und Rauschen dominiert. Die Halbwertspunkte liegen auf den steilen Flanken, wo sich das Signal am schnellsten ändert; genau dort ist eine Messung am präzisesten.
Bei ζ = 0,02 beträgt die Verstärkung 25 und die Bandbreite 4 % der Mittenfrequenz. Schmal und hoch sind dieselbe Aussage.