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La résonance est une relation de phase, non un pic
Le pic de résonance ne se situe pas à la fréquence propre, et avec un amortissement suffisant, il n'y a aucun pic. Le retard de phase de 90 degrés est toujours exactement là.
SHM Resonance Lab s'ouvre sur un affichage unique : le retard de phase φ, prononcé « phi », de 1,5708 rad, qu'il convertit utilement en 90,0°.
Ce nombre est π/2, et c'est ce qu'il y a de plus fiable concernant la résonance.
Le pic n'est pas là où on vous l'a dit
Un oscillateur forcé et amorti répond le plus fortement non pas à sa fréquence propre ωn mais à ωn√(1 − 2ζ²), où ζ, prononcé « zêta », est le taux d'amortissement. Le pic se situe en dessous de la fréquence propre et se déplace lorsque l'amortissement varie :
- ζ = 0,02 → pic à 0,9996 ωn
- ζ = 0,10 → pic à 0,9899 ωn
- ζ = 0,30 → pic à 0,9055 ωn
- ζ > 0,707 → aucun pic
Au-delà de ζ = 1/√2, la courbe de réponse décroît simplement dès le départ. Le système conserve une fréquence propre, oscille toujours lorsqu'on le frappe, et ne présente aucun pic de résonance.
Ainsi, « la résonance est le moment où l'amplitude est la plus grande » échoue en tant que définition. Elle donne une fréquence erronée dans chaque cas réel et aucune fréquence dans toute une classe d'entre eux.
Ce qui ne se déplace pas
Passons à la phase. Excitez l'oscillateur exactement à ωn et la réponse retarde sur l'excitation d'exactement 90°, pour chaque valeur de ζ. Pas approximativement, et pas seulement pour un amortissement faible. Le cas 0,02 et le cas 0,7 donnent tous deux 90,000°.
La raison est visible dans l'équation. À ω = ωn, les termes de rappel élastique et d'inertie s'annulent exactement, car l'un varie comme ω² et l'autre est constant, et ils sont égaux à cette fréquence. Il ne reste que le terme d'amortissement, qui est celui en quadrature avec le déplacement. Une réponse uniquement régie par le terme d'amortissement accuse exactement un quart de cycle de retard.
C'est pourquoi la définition qui mérite d'être retenue est celle basée sur la phase. Elle est exacte, elle subsiste en cas de fort amortissement, et elle ne se déplace pas.
Pourquoi cela importe en pratique
À 90°, la force d'excitation est en phase avec la vitesse plutôt qu'avec le déplacement, et la force multipliée par la vitesse est la puissance. Ainsi, à la résonance, chaque poussée fournit un travail positif tout au long du cycle, sans que rien ne soit restitué.
Tel est le mécanisme, et il explique également l'amplitude. L'énergie s'accumule jusqu'à ce que l'amortissement la dissipe aussi vite que l'excitation la fournit, de sorte que l'amplitude en régime permanent est fixée par le seul amortissement : le gain est de 1/(2ζ), soit 25 fois pour ζ = 0,02.
Les ingénieurs appellent cela le facteur de qualité, Q, et chercher la résonance en repérant le passage par 90° plutôt qu'en traquant un pic est une pratique courante, car au voisinage d'un pic étroit, l'amplitude est plate et difficile à localiser, tandis que la phase varie rapidement.
RLC Resonance est la même mathématique appliquée à un circuit : l'inductance et la capacité s'annulent, seule la résistance subsiste, le courant et la tension deviennent en phase, et Q est à nouveau le rapport de l'énergie emmagasinée sur l'énergie dissipée.
L'exemple que tout le monde utilise est faux
Le pont de Tacoma Narrows est l'illustration classique, et ce n'était pas de la résonance. Il n'y avait aucun excitateur oscillant à la fréquence propre du pont. Le vent était constant, et le mouvement de torsion propre du tablier a modifié l'écoulement de l'air de façon à alimenter ce mouvement en énergie : une instabilité auto-excitée appelée flottement aéroélastique.
La distinction n'est pas de la pédanterie. La résonance est une réponse à une fréquence externe et se traite en modifiant la fréquence ou en ajoutant de l'amortissement. Le flottement n'a besoin d'aucune fréquence externe, et au-dessus de la vitesse critique du vent, il s'amplifie quoi qu'il en soit.
Les soldats qui rompent le pas sur les ponts constituent l'exemple authentique : un véritable excitateur périodique, délibérément désaccordé.
Mesurer Q sans trouver le pic
Q est également égal à f₀ / Δf, où Δf est la largeur de la réponse entre les points situés de part et d'autre de la résonance où la puissance a diminué de moitié.
C'est la voie pratique, et elle évite le problème évoqué ci-dessus. Localiser un pic étroit revient à trouver la partie la plus plate de la courbe, là où l'amplitude varie à peine et où le bruit domine. Les points de demi-puissance se situent sur les flancs raides où le signal varie le plus vite, de sorte que c'est précisément là que la mesure est la plus précise.
Pour ζ = 0,02, le gain est de 25 et la bande passante représente 4 % de la fréquence centrale. Étroit et haut expriment la même réalité.