Esta es una traducción automática y el texto original está en inglés. Leer el original
La resonancia es una relación de fase, no un pico
El pico de resonancia no se encuentra en la frecuencia natural, y con suficiente amortiguamiento no hay pico en absoluto. El desfase de 90 grados siempre está exactamente ahí.
SHM Resonance Lab comienza con una sola lectura: el desfase φ, pronunciado «fi», de 1,5708 rad, que convierte de forma útil a 90,0°.
Ese número es π/2, y es lo más fiable de la resonancia.
El pico no está donde nos dijeron
Un oscilador forzado y amortiguado no responde con mayor intensidad en su frecuencia natural ωn, sino en ωn√(1 − 2ζ²), donde ζ, pronunciado «zeta», es el factor de amortiguamiento. El pico se sitúa por debajo de la frecuencia natural y se desplaza a medida que cambia el amortiguamiento:
- ζ = 0,02 → pico en 0,9996 ωn
- ζ = 0,10 → pico en 0,9899 ωn
- ζ = 0,30 → pico en 0,9055 ωn
- ζ > 0,707 → sin pico en absoluto
Superado ζ = 1/√2, la curva de respuesta simplemente decrece desde el principio. El sistema sigue teniendo una frecuencia natural, sigue oscilando al ser golpeado y no presenta pico de resonancia alguno.
Por tanto, la afirmación «la resonancia es donde la amplitud es máxima» falla como definición. Proporciona la frecuencia incorrecta en todos los casos reales y ninguna frecuencia en un amplio grupo de ellos.
Lo que no se desplaza
Pasemos ahora a la fase. Al excitar el oscilador exactamente a ωn, la respuesta se retrasa respecto a la excitación exactamente 90°, para cualquier valor de ζ. No de forma aproximada, y no solo para un amortiguamiento débil. Tanto el caso de 0,02 como el de 0,7 dan 90,000°.
La razón es visible en la ecuación. En ω = ωn, los términos elástico y de inercia se anulan exactamente, porque uno varía como ω² y el otro es constante, y ambos son iguales a esa frecuencia. No queda nada salvo el término de amortiguamiento, que es el que está en cuadratura con el desplazamiento. Una respuesta gobernada puramente por el término de amortiguamiento se retrasa exactamente un cuarto de ciclo.
Por esto, la definición que merece la pena conservar es la de la fase. Es exacta, se mantiene con un amortiguamiento fuerte y no se desplaza.
Por qué es importante en la práctica
A 90°, la fuerza de excitación está en fase con la velocidad en lugar de con el desplazamiento, y la fuerza multiplicada por la velocidad es la potencia. Así pues, en resonancia, cada impulso realiza un trabajo positivo a lo largo de todo el ciclo, sin devolver nada de él.
Este es el mecanismo, y también explica la amplitud. La energía se acumula hasta que el amortiguamiento la disipa tan rápido como la aporta la excitación, de modo que la amplitud en régimen permanente queda determinada únicamente por el amortiguamiento: la ganancia es 1/(2ζ), o de 25 veces para ζ = 0,02.
Los ingenieros llaman a esto el factor de calidad, Q, y encontrar la resonancia observando el cruce por 90° en lugar de buscar un pico es una práctica habitual, porque cerca de un pico agudo la amplitud es plana y difícil de localizar, mientras que la fase varía rápidamente.
RLC Resonance presenta exactamente las mismas matemáticas en un circuito: el inductor y el condensador se anulan, solo queda la resistencia, la corriente y la tensión entran en fase, y Q vuelve a ser la relación entre la energía almacenada y la disipada.
El ejemplo que todo el mundo utiliza es erróneo
El puente de Tacoma Narrows es la ilustración habitual, y no se trató de una resonancia. No había ninguna excitación oscilatoria a la frecuencia natural del puente. El viento era constante, y el propio movimiento de torsión del tablero modificó el flujo de aire para aportar más energía a dicho movimiento, una inestabilidad autoexcitada denominada flameo aeroelástico.
Esta distinción no es una pedantería. La resonancia es una respuesta a una frecuencia externa y se corrige desplazando la frecuencia o añadiendo amortiguamiento. El flameo no requiere ninguna frecuencia externa y, por encima de la velocidad crítica del viento, crece de todos modos.
Los soldados rompiendo el paso en los puentes es el ejemplo auténtico: una excitación periódica genuina, deliberadamente desajustada en frecuencia.
Medir Q sin encontrar el pico
Q también es igual a f₀ / Δf, donde Δf es el ancho de la respuesta entre los puntos a ambos lados de la resonancia en los que la potencia se ha reducido a la mitad.
Esta es la vía práctica y evita el problema anterior. Localizar un pico agudo implica buscar la parte más plana de la curva, donde la amplitud apenas cambia y el ruido predomina. Los puntos de media potencia se sitúan en los flancos pronunciados donde la señal varía más rápido, por lo que son precisamente donde la medición resulta más precisa.
Con ζ = 0,02, la ganancia es 25 y el ancho de banda es el 4% de la frecuencia central. Que sea estrecho y alto es la misma afirmación.