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A ressonância é uma relação de fase, não um pico
O pico de ressonância não se situa na frequência natural e, com amortecimento suficiente, deixa mesmo de existir. O desfasamento de 90 graus está sempre exatamente lá.
SHM Resonance Lab abre com uma única leitura: desfasamento φ, que se lê "fi", de 1,5708 rad, que converte utilmente para 90,0°.
Esse número é π/2 e é o aspeto mais fiável da ressonância.
O pico não está onde lhe disseram
Um oscilador forçado e amortecido responde com maior intensidade não na sua frequência natural ωn mas em ωn√(1 − 2ζ²), onde ζ, que se lê "zeta", é a razão de amortecimento. O pico situa-se abaixo da frequência natural e desloca-se à medida que o amortecimento muda:
- ζ = 0,02 → pico em 0,9996 ωn
- ζ = 0,10 → pico em 0,9899 ωn
- ζ = 0,30 → pico em 0,9055 ωn
- ζ > 0,707 → sem qualquer pico
Além de ζ = 1/√2, a curva de resposta simplesmente diminui desde o início. O sistema continua a ter uma frequência natural, continua a oscilar quando percutido e não tem qualquer pico de ressonância.
Assim, "a ressonância é onde a amplitude é maior" falha como definição. Dá a frequência errada em todos os casos reais e nenhuma frequência numa grande classe deles.
O que não se desloca
Agora a fase. Excitando o oscilador exatamente a ωn, a resposta fica atrasada em relação à excitação em exatamente 90°, para qualquer valor de ζ. Não aproximadamente, nem apenas para um amortecimento reduzido. Tanto o caso de 0,02 como o de 0,7 dão 90,000°.
A razão é visível na equação. Em ω = ωn, os termos da mola e da inércia anulam-se exatamente, porque um varia como ω² e o outro é constante, sendo iguais a essa frequência. Não resta nada a não ser o termo de amortecimento, que é o que está em quadratura com o deslocamento. Uma resposta governada puramente pelo termo de amortecimento fica exatamente um quarto de ciclo atrás.
É por isso que a definição que vale a pena guardar é a da fase. É exata, subsiste a um amortecimento elevado e não se desloca.
Por que razão isto importa na prática
A 90°, a força de excitação está em fase com a velocidade em vez do deslocamento, e força vezes velocidade é potência. Assim, na ressonância, cada impulso realiza trabalho positivo ao longo de todo o ciclo, sem devolver nada.
Esse é o mecanismo, e também explica a amplitude. A energia acumula-se até que o amortecimento a dissipe tão rapidamente quanto a excitação a fornece, pelo que a amplitude em regime permanente é determinada apenas pelo amortecimento: o ganho é 1/(2ζ), ou 25 vezes para ζ = 0,02.
Os engenheiros chamam a isto o fator de qualidade, Q, e encontrar a ressonância observando o cruzamento dos 90° em vez de procurar um pico é a prática corrente, porque perto de um pico agudo a amplitude é plana e difícil de localizar, enquanto a fase varia rapidamente.
RLC Resonance é a matemática idêntica num circuito: o indutor e o condensador anulam-se, resta apenas a resistência, a corrente e a tensão ficam em fase, e Q é novamente a razão entre a energia armazenada e a dissipada.
O exemplo que todos usam está errado
Tacoma Narrows é a ilustração padrão e não foi ressonância. Não havia qualquer excitação oscilatória na frequência natural da ponte. O vento era constante, e o próprio movimento de torção do tabuleiro alterou o fluxo de ar de modo a injetar mais energia nesse movimento, uma instabilidade autoexcitada chamada flutter aeroelástico.
A distinção não é pedantismo. A ressonância é uma resposta a uma frequência externa e resolve-se alterando essa frequência ou adicionando amortecimento. O flutter não precisa de frequência externa e, acima da velocidade crítica do vento, cresce independentemente disso.
Soldados a quebrar o passo nas pontes é o exemplo honesto: uma excitação periódica genuína, deliberadamente desajustada.
Medir Q sem encontrar o pico
Q também é igual a f₀ / Δf, onde Δf é a largura da resposta entre os pontos em ambos os lados da ressonância em que a potência se reduziu para metade.
Esta é a via prática e evita o problema referido acima. Localizar um pico agudo significa encontrar a parte mais plana da curva, onde a amplitude quase não varia e o ruído domina. Os pontos de meia potência situam-se nos flancos íngremes onde o sinal varia mais rapidamente, por isso são exatamente onde a medição é mais precisa.
Para ζ = 0,02, o ganho é 25 e a largura de banda é 4% da frequência central. Estreito e alto são a mesma afirmação.